1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Аналогично две другие составляющие вектора г и две другие составляющие векторного оператора — ИЧ являются эрмитовыми операторами, а также и операторы вида Р(г), 6( — ИЧ), если Р и б как функции своих аргументов действительны. Рассмотрим выражения для средних значений; полученных с помощью функции Ч" (уравнения (13), (20), (15) и (17)).
Все онн имеют одну форму. Величине, среднее значение которой мы вычисляем, соответствует некоторый линейный оператор ГЛ. НЬ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 128 (эрмитов) А, и искомое среднее дается выражением вида $ Ч'"АЧ' 1!г, (22) в котором, согласно общему правилу, оператор действует на функцию, стоящую справа от него. Этот оператор получается с помощью простого правила соответствия: если речь идет о функции Р(г) координат частицы, то соответствующим оператором является сама функция; если же мы имеем функцию 6(р), то оператор получается из этой функции подстановкой в 6 вместо составляющих р соответствующих составляющих векторного оператора — И 17. Мы вновь встречаем здесь правило соответствия (П.17) между импульсом Р и оператором — И 7, которое нам помогло установить уравнение Шредингера. Каждое из средних значений может быть вычислено с помощью Ч" нли с помощью Ф; выражения (21), (14), (18), (16), построенные с помощью функции Ф, соответственно эквивалентны выражениям (13), (20), (15), (17), в которые входит функция Ч'.
Между первым и вторым рядом формул имеется и формальная аналогия. Во втором случае величине, среднее значение которой вычисляется, также соответствует линейный (эрмитов) оператор В, действующий в данном случае на функции от р, и искомое среднее дается выражением типа ~ Ф"ВФ ар. (23) Оператор В получается на основе правила соответствия, сходного с тем, которое служит для нахождения А: если речь идет о функции 6(р), то оператором является сама функция, если же мы имеем функцию Р(г), то оператор получается подстановкой В Р ВМЕСТО Г ОПЕратсра И7, ((ггям (д/др„, д/др„, д/др,). Как волновые функции Ф и Ч' являются эквивалентными представлениями одного и того же динамического состояния частицы, так и операторы В и А являются эквивалентными представлениями одной и той же физической величины, причем вычисление рассмотренных здесь средних значений может производиться формально тождественно в том или другом из этих представлений. Это наводит на мысль, что квантовая теория может быть формулирована самым общим образом независимо от конкретного представления.
Такая общая формулировка будет дана в гл. ч!1 и Ъ'!!!. й й. Системы многих частиц Определения и результаты предшествующего рассмотрения без труда могут быть распространены на случай квантовых систем, состоящих из многих частиц. % к системы многих частиц 129 Пусть в самом общем случае Ч'(дь ..., да; 1) есть волновая функция квантовой системы в Л-мерном пространстве, причем динамическими переменными системы являются 1с координат дь ..., да и )с канонически сопряженных импульсов рь ..., Ра.
Предположим, что мы имеет дело с декартовыми координатами, и обозначим с помощью йт = Нд, ... с(Чч и Ив = др~ ... Нра злементы объемов в д- и р-пространствах соответственно. Волновая функция в р-пространстве есть 1 — Р.Ф~ 'Э(рь ° ° Ра О= ап ~Ч (% ° ° ° Ча' Ое )Ч'~'~1т есть вероятность найти координаты д в области (т,т+Нт); )Ф~ада есть вероятность найти импульсы р в области (е, в+ оа). Исходя из зтого, можно повторить все рассуждения предшествующих параграфов.
Рассмотрим в качестве примера систему из двух частиц. Пусть г,(хъ дь а,), гз(х„уь аз) суть векторы положения, э Р~(рм Ри р,), рз(рх„рм, Р,,) — векторы импульсов частиц соответственно. Величина Р(гогз)дг,багз есть вероятность найти частицу 1 в злементе объема (гь г, + пг~) и частицу 2 — в элементе объема (гь ге+ йг,). Величина П(рь рз)пр~ Ирз есть вероятность найти импульс частицы 1 в интервале (рь Р~+ Ыр~) и импульс частицы 2 — в интервале (рь рз+Лрз). Можно ввести также плотность вероятности присутствия частицы 1 в точке гь Р;(г~), если положение второй частицы не фиксировано; зта величина есть статистическое распределение, получаемое при измерении положения частицы 1 без учета положения частицы 2. Очевидно, что Р, (г~) = ~ Р(гь гт) Ыгм Сходным образом можно ввести плотности вероятности Р,(г,), П~(Р~), Пз(рз).
Все зти статистические распределения являются существенно положительными величинами, удовлетворяющими условиям нормировки ~ Р (гь гз) Ыг, Ыг, = 1, ..., ~ П,(р,') др, = 1 символ )) 0г,дг, означает шестикратный интеграл, распро( страиенный на все конфигурационное пространство, символ Нр, — тройной интеграл, распространенный на импульсное пространство частицы 2 и т. д.). Динамическое состояние системы из двух частиц в данный момент времени определяется волновой функцией Ч'(гь гз), в А. мессиа гл. пл соотиошяния неопределенности взятой в тот же момент времени. С помошью преобразования Фурье мы получаем волновую функцию в импульсном пространстве: Ф(рь р )= — „, ~~ е '~ее+Рспп"Ч1(гь гз) г(г, аг„ 1 ! 2 (2~я)з Ч~(г г ) ~~ е1ог,+Рг1и~Ф(р р ) т(р Обобшениями определений (2) и (6) очевидно являются следуюшие соотношения: Р(гь г,)=~Ч'(гь гз) ~~, П(р„р,)=)Ф(рь р,)1~, (24) причем условия нормировки вероятностей приводят к условию нормировки волновых функций 1 1 ~ Чр (го г2) р пг1 Йгз = 1 1 ~ Ф (Рь Р2) р пр! ДР2 = 1.
Это условие нормировки действительно может быть реализовано и каждый момент времени, если гамильтониаи, входящий в уравнение Шредингера, является эрмитовым оператором. Легко проверить, что дело обстоит именно так, Волновые функции Ч' и Ф, таким образом, определяются с точностью до произвольного постоянного фазового множителя. Из указанных определений можно получить и другие распределения, введенные выше. Так, например, Р1 (гр) = $)Ч" (гь гз) )здг,. Аналогичным путем вводятся определения средних значений функций Р(гь г,) и П(рь ра) координат или импульсов двух частиц.
Так, например, (х,) = ~ ~ Чг х|Ч~ Йг, дгз = — —. Ф вЂ” др, йрм др (р ) = ~ ~ Ф"р Ф с(р1 йрз = —. ~ ~ Ч" — йг~ дга. Все замечания, сделанные в конце $5 сохраняют свою силу. Когда волновая функция Ч'(гьгз) представима в виде произведения двух функций (факторизуется) Ч'(гь г,)=Ч',(г,)Ч',(г,) (при этом Ч",(г,) и Ч'з(гз) предполагаются нормированными на единицу), то и волновая функция в пространстве импульсов и распределения Р и П также оказываются факторизованными: Р (гь га) = Р~ (г~) Р, (г,), П(рь рз) = П~ (р ) П, (ра). 1з| $ К СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ Это следует непосредственно из самого определения этих величин.
Мы видим, что в этом случае не существует никаких корреляций между статистическими распределениями результатов измерений, проведенных для каждой из.этих частиц. Статистические предсказания о результатах измерения величин, относящихся, например, к частице 1, будут такими, как если бы она находилась в динамическом состоянии, определяемом волновой функцией Ч',(г,), Нетрудно проверить, что Р,(г,)=)Ч"1(г,))' и П,(р,) = (6р,(р1))6, где Ф~(р1) есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая Ч'ь Во всех вычислениях, касающихся измерений, проведенных с этой частицей (средние значения, флуктуации и т. д.), можно просто игнорировать существование второй частицы и рассматривать только одну частицу с волновой функцией Ч"~(г1).
Если две частицы не взаимодействуют между собой или по той или иной причине мы можем пренебречь этим взаимодействием, то свойство факторизации волновой функции сохраняется с течением времени. Действительно, гамильтониан системы в этом случае может быть записан в виде суммы двух членов: Н = Н1 + Нм из которых первый — Н, действует только на функции переменной гь а второй в Нз — на функции переменной гь Предположим, что в начальный момент времени Р(ги гз~ ~а) =% (г1 ~о) Чаз(бм ~о) и пусть Ч'~(гь 8) и Ч'6(гв 1) являются решениями уравнений Шредингера ')Гй — — Н11 Ч"1 — -О, )Гй — — НТ~ Ч'т — О с начальными условиями Ч",(гь 16) и Ч',(гм 16) соответственно. Факторизоваиная волновая функция Ч" (гь гз; 1) =Ч'1 (гь г)Ч'6(гз, 1) удовлетворяет уравнению Шредингера системы, так как дГ™~ дГ 6 1 дГ) = Н1%ЧГХ+ Н6%ЧГТ = (Н~ + Нг) Ч"~Ч"6 = НЧГ.
Движения каждой из частиц, как этого и следовало ожидать, остаются совершенно независимыми, так что никаких корреляций между статистическими распределениями измере'ний, проведенных над каждой из них, ни в какой момент времени ие возникает. 132 ГЛ, !У, СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Раздел !1, СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕИЗЕНБЕРГА З 7. Соотношения неопределенности координата-импульс квантовой частицы Вернемся к определениям вероятностей 5 2.
Распределения Р (г) и П(р), будучи определены на основе одной и той же волновой функции Ч"(г), не являются независимыми друг от друга, хотя функция Ч" (г) может а ргзог! быть любой функцией с интегрируемым квадратом. Одно из этих распределений всегда может быть выбрано произвольно с помощью соответствующего выбора функции Ч": если, например, мы задаемся некоторым распределением Р(г), то достаточно выбрать волновую функцию с абсолютным значением, равным 4Р, а именно Ч'(г)= зу!Р(г)ете!'1, при этом фаза а(г) остается, конечно, полностью неопределенной.
Но с помощью соответствующего выбора а(г) мы уже не можем получить любое наперед заданное распределение П(р), хотя П(р), рассматривремое как функционал а(г), может изменяться в достаточно широких пределах. Тот факт, что всегда существует некоторая корреляция между распределениями Р(г) и П(р) является характерным для квантовой теории '). Эта корреляция количественно выражается соотношениями неопределенности Гейзенбереа. Рассмотрим для начала частицу в одном измерении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
