1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Можно возразить, что точность измерения х определяется не размерами дифракционного пятна, а точностью измерения центра этого пятна. Эта точность тем более велика, чем больше число Ж фотонов, принимающих участие в образовании пятна. По законам математической статистики ошибка при вычислении х должна быть в Х/У раз меньше, чем приведенная выше 1 Л Ах ж=— ч/у мва Однако если передача импульса каждым фотоном характеризуется неопределенностью (й з(п 9/Л), то неопределенность в импульсе, передаваемом Аг фотонами, будет в Л/Ж раз больше (сложение квадратичных ошибок), т.
е. Ьр — Л/Ж вЂ” з1п9. а Л Следовательно, й 14. Измерения импульса Аналогичным образом импульс частицы может а рг1ог1 быть измерен с любой наперед заданной точностью, ио операция измерения всегда сопровождается возмущением, которое увеличивает неопределенность в знании координаты, измеряющей положение, так что соотношения неопределенности всегда выполнены. Покажем это на двух примерах. а) Отклонение в магнитном поле. Импульс заряженной частицы обычно измеряется по отклонению в постоянном магнитном поле. Количество движения р связано с радиусом кривизны 14 траектории частицы хорошо известным соотношением р = — 31э)х, С где Я вЂ” величина магнитного поля, а е — заряд частицы.
Исследуем процесс измерения импульса электрона этим методом. На рис. 20 представлена схема эксперимента. Электрон попадает в поле магнита через диафрагму А и покидает его через диафрагму В после отклонения на 180' (этот угол отклонения выбран для удобства рассуждений).
В момент, непосредственно предшествующий началу измерения (т. е. непосред- $!С ИЗМЕРЕНИЯ ИМПУЛЬСА !47 ственно перед прохождением диафрагмы), направление движения (ось Оу) и координата электрона в этом направлении (Лу = 0) по предположению точно известны. Эти начальные условия р, = р, = О, у = уя в принципе всегда могут быть реализованы с помощью коллиматора, снабженного обтюратором с достаточно коротким «временем пропускания». Радиус кривизны равен половине расстояния между двумя диафрагмами: если 24( и 24(' — соответствующие ширины этих диафрагм, то гт измеряется с точностью до 47+ + д', Таким образом, импульс электрона известен с точностью до Л и = — ', М (4(+ (') = ф (а+ 4('). Измеряемой в опыте величиной является составляющая импульса в направлении оси Оу.
По- ряс. 20. Измерение импульса кажем, что в результате измере- методом отклонения з магнитном ния кос4рдината электрона у будет характеризоваться неопределенностью Лд, причем Лу Лр ) 71. Квантовым эффектом, существенным в этом опыте, является дифракция электронной волны при прохождении диафрагмы А (читатель без труда убедится в том, что дифракция на диафрагме В роли не играет). Если бы указанного эффекта не было, то импульс электрона на входе в область действия поля был бы строго направлен по Оу, далее электрон описывал бы полукруг, и время движения от А к В, равное итс/еЮ, не зависело бы от величины р.
Квантовый эффект дифракции приводит к тому, что угол между направлением импульса на входе и осью Оу характеризуется неопределенностью а ж 71/е( = й/рг(; траектория электрона (в приближении геометрической оптики) есть дуга окружности, определяемая с точностью до 2а; момент прихода в В характеризуется неопределенностью Л1 = 244вгс/еЯ6, а неопределенность Лу в р/гп раз больше, следовательно Лу ж 2а — 26 —. рс с еез еЖЯ ' Отсюда получаем Лу ° Лр ж 26 (1 + — „) . б) Столкновение с фотоном.
Следуюший метод измерения импульса основан на изучении процесса столкновения рассмат- ГЛ, 1Ч. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ !48 Рис. 21. Измерение импульса влек трона при комптоиовском столкнове нии с фотоном. Схема столкновении р = тс, + — (и'+ т), р' = тс, — — (т'+ ч1, т'+т 2с ' и'+и 2с причем точность определения этих величин связана с точностью определения т' соотношением з Ьт' ЛржЛр жтс У +У Положение у электрона после измерения может быть вычислено, исходя из того, что в начальный момент у = ул, скорость электрона до столкновения равна р/т, а после столкновения р'/т.
Если положение и импульс рассеянного фотона можно было бы измерить одновременно с большой точностью, то был бы строго определен и момент столкновения, а тогда неопределсииогли в значениях р и у могли бы быть сделаны одновременно сколь у1 одно малыми. Читатель проверит это без труда. Однако измерение ч' есть измерение частоты; чем точнее это измерение, тем больше неопределенность в определении момента прохождения фотоном какой-либо точки, в частности в определении момента столкновения: Лч' Л! ) 1. В то же время неопределенность Лу в положении электрона после столкновения равна по меньшей мере произведению Лг ризаемой частицы с дру~ой частицей, например, с фотоном, начальный импульс которого известен точно; измеряется импульс, передаваемый при столкновении второй частице.
Рассмотрим электрон из предшествуюшей задачи с начальными данными р, = р, = О, у = ул. Для определения импульса электрона р„ будем облучать его идеально монохроматическим светом частоты ч, распространяю- а щимся параллельно оси у. Один из световых фотонов ис- .3 з пытывает комптоновское столкновение и измеряется его конечный импульс. Чтобы упростить рассуждения, предположим, что конечный импульс у — ~ фотона также параллелен оси у, но направлен в противоположную сторону (рис.
21). Пусть и' — частота фотона после столкновения; теория комптоновского рассеяния позволяет выразить начальный р и конечный р' импульсы электрона через частоты Р и и'. Предположим, что реализуются условия нерелятивистского приближения (р, р' « тс и т, т'« тсв/Й). В результате вычислений находим Ь 1Е ПРОБЛЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ 149 на изменение скорости, т, е. > (Р— Р'! Л ~+Т' т АР' тс Ам' что дает Лу Лр н Лу Лр') й. В этой измерительной операции, как и в предшествующей, измеряемая величина р„сама меняется в процессе измерения.
Это изменение не следует смешивать с непредсказуемым и неконтролируемым возмущением, испыгываемь5м системой при измерении, Действительно, указанное изменение известно точно, во всяком случае значения р и р' величины р„до и после столкновения известны с одинаковой точностью, которая может быть сделана сколь угодно большой. Напротив, ввиду невозможности предсказать и контролировать возмущение, испытываемое частицей при осуществлении измерения (неопределенность в определении момента передачи импульса и энергии), величина у после столкновения известна только с неопределенностью Лу, причем эта неопределенность тем больше, чем точнее измерение р. Подчеркнем еще раз универсальность характера соотношений неопределенности. Действительно, что бы произошло, если величина кванта действия для фотонов была бы равна некоторой величине й', значительно меньшей йй Все наши рассуждения относительно измерения типа б) можно было бы повторить„ заменяя всюду Ь на й', это привело бы нас к соотношению Лу Лр' = в' « й.
Соотношении неопределенности оказались бы нарушенными и вся развиваемая нами статистическая интерпретация теории пришла бы в противоречие с опытом. Оба метода измерения импульса, обсуждавшиеся выше, требуют некоторого временнбго интервала. Этот интервал может быть вообще говоря уменьшен (при увеличении поля ыэ" в первом случае, при увеличении частоты т во втором; см. задачу 7) без изменения точности измерения р„. Но как бы то ни было, вероятности, определенные в %9 2, 5, вычисляются с помощью нолновой функции, заданной в момент времени Л Поскольку само измерение не мгновенно, следует точно определить этог момент времени: Г есть момент начала измерения, так что распределение вероятностей, данное в б 2 (уравнение (6)) относится к импульсу р„, т. е.
к импульсу до измерения. Раздел 1у. ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. донолнительность и ЙРичин ность В 15. Проблемы статистической интерпретации Несомненно, что представление состояния квантовой системы волновой функцией имеет абстрактный характер, а статистическая интерпретация теории с трудом поддается интуитивному гл. нл соотношвния ивопгяделвниости восприятию. Однако попытки описания микроскопических явлений на основе более конкретных и интуитивно ясных моделей неизбежно сталкиваются с рядом противоречий.
Рассмотрим, например, атом гелия. Чтобы не усложнять картины, допустим, что ядро атома неподвижно и масса его бесконечно велика. Это значит, что мы трактуем атом как систему, состоящую из двух электронов с волновой функцией Ч'(гьгз., 1). Проще всего представить себе две корпускулы (два электрона), движущиеся более или менее сложным образом вокруг массивного ядра. Однако при этом подразумевается, что каждый электрон следует вполне определенной траектории, в то время как волновая функция Ч' позволяет иам найти только статистическое распределение координат при измерении положения и статистическое распределение составляющих импульса при измерении импульса. Поскольку мы допустили, что динамическое состояние атома полностью определяется волновой функцией Ч', неизбежен вывод, что корпускулярная модель атома частично неверна.
Можно, наоборот, мыслить себе два электрона как непрерывное распределение электричества в пространстве, окружающем ядро, или, лучше, как непрерывную волну, «заряженную» электричеством. Но эта картина также не свободна от трудностей. Во-первых, волна Ч" определена в конфигурационном, а ие в обычном трехмерном пространстве, поэтому оиа не может быть отождествлена с той конкретной волной, о которой мы говорим. Точное определение этой последней есть задача, до сих пор не получившая своего решения.
Во-вторых, образ непрерывной волны не может быть согласован с некоторыми явлениями, такими как ионизация атома, где проявляется существование отдельных и в какой-то мере локализованных корпускул. Разумеется ничто ие доказывает, что согласованное и вполне предметное представление микроскопических явлений не можес быть сформулировано.
Тем не менее, до сих пор никому не удалось этого сделать. Впрочем, следует отдавать себе отчет в том, что с точки зрения логики более или менее абстрактные концепции физической теории вовсе не обязаны выражаться на конкретном языке. Вся наша интуиция, все наше чувство конкретного основываются на каждодневном опыте, и понятия и образы, используемые для конкретного описания явления, каким бы оно ни было, также взяты из этого опыта. Нет никаких оснований думать, что язык таких понятий может быть без противоречий использован для описания явлений микроскопической физики, столь удаленных от повседневного опыта. Эти явления дают только один пример подобных трудностей. Аналогичным образом некоторые результаты теории относительности также й М, ПРОБЛЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ 151 противоречат нашей интуиции '), таковы, например, явления сокращения длин и растяжения времени, когда относительная скорость двух систем отсчета близка к скорости света с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
