1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В разделе Ш та же проблема рассматривается в более общем случае, когда спектр собственных значений оператора содержит область, где спектр непрерывен. В разделе И с формальной точки зрения рассматривается проблема нахождения волновой функции квантовой системы, если осуществлено одновременное точное измерение полного набора совместных переменных. Если такое «максимальное наблюдение» не реализовано, информация относительно динамического состояния физической системы является неполной.
В этом случае исследование поведения системы может быть продолжено на основе статистических методов, причем слово «статистических» следует понимать уже в обычном смысле, Операторы, сопоставляемые двум совместным динамическим переменным, коммутируют между собой. Если бы все операторы попарно коммутировали, то все динамические переменные могли бы быть одновременно точно определены.
Эта ситуация характерна для классической теории. В квантовой механике некоторые пары динамических переменных несовместны и соответствующие коммутаторы отличны от нуля. Поэтому коммутаторы операторов играют первостепенную роль в квантовой теории. Раздел Ч посвящен изучению коммутаторов, явному вычислению некоторых из них, а также выводу и исследованию некоторых уравнений, в которых понятие коммутатора особенно полезно.
Р а »дал 1. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Всякий раз, когда нам потребуется пример для иллюстрации излагаемых положений, мы будем обращаться к примерам квантовых систем в одном измерении (см. гл. 1П) или в трех измерениях (системы, содержащие одну частицу). Следует однако помнить, что все результаты справедливы и в общем случае квантовых систем с любым числом измерений. 5 2. Пространство волновых функций Волновые функции, представляющие состояние квантовой системы, принадлежат функциональному пространству, которое следует точно определить.
Для того, чтобы вероятностные 164 ГЛ Ч. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОИ МЕХАНИКИ распределения Р(г) и П(р), введенные в $1Ч.2, имели смысл, необходимо и достаточно, чтобы волновая функция удовлетворяла условию нормировки (1ьг.З). Это приводит нас к следующему определению пространства волновых функций: волновые функции, рассматриваемые в волновой механике, являются квадратично интегрируемыми функциями в конфигурационном пространстве, т. е. функциями вида ф(дь ..., ул), такими, что интеграл ~)ф(дь ..., ая))тдт сходится' ) (здесь дт обозначает элемент объема конфигурационного пространства: дт =— йц~йг)я ... Йг)л), Можно было бы еще более ограничить функциональное пространство, требуя выполнения условия нормировки на единицу (1ьг. 3).
Однако удобнее отказаться от этого ограничения. Как мы увидим ниже, это можно сделать, несколько модифицируя определения статистических распределений и вероятностей. На языке математики определенное нами функциональное пространство называется пространством Гильберта. Действительно, оно обладает всеми свойствами, характеризующими пространство Гильберта. Перечислим эти свойства. Во-первых, это линейное пространство. Если фг и фт квадратично интегрируемые функции, то их сумма, произведение каждой на комплексное число и вообще любые линейные комбинации вида А|ф~ + Атфв, где А~ и Ав — произвольныс заданные комплексные числа, также являются квадратично интегрируемыми функциями. Во-вторых, в этом пространстве можно определить скалярное произведение.
По определению скалярное произведение функции ф на функцию ф выражается формулой (ф. ф>= — ~ ф*(ць ", ул) ф Ыь ", у ) д (1) Если скалярное произведение равно нулю, говорят, что функции ф и ф оргогональны. Норма Л' функции ф есть скалярное произведение функции саму на себя Л~Ф-(Ф ф>. Основные свойства скалярного произведения таковы: а) скалярное произведение ф на ф есть величина, комплексно сопряженная скалярному произведению ф на ф, именно (ф, ф> = (ф, ф>', (2) ') Преобразование Фурье ф(рь ..., р„) такай функции всегда существует: зто тоже квздрзтично интегрируемая функция, облвдвющзя той же нормой, что и функция ф(дь ..., Чя).
Вообще соответствие между ф и ф является взаимооднознвчным, если условиться считать тождественными функции, отличающиеся значениями только нв множестве меры нуль, что мы и будем делать в дальнейшем (см. Дополнение А). 4 2. пРОстРлнстВО ВОлнОВых Функгп!и б) скалярное произведение зр иа ф линейно по ф, иными словами <!р А!ф!+А фз>=А <!р ф!>+Аз<ф* Фз> (3) в) норма функции ф есть неотрицательное вещественное число <ф, ф>)О (4) и если <ф, ф> = О, то') ф = О. Все эти свойства становятся очевидными, если обратиться ,к самому определению скалярного произведения. Пользуясь свойствами а) и б), легко видеть, что зависимость скалярного произведения <!р, ф> от функции !р не линейна, но «антилинейнахс <АГр, + А,ф„ф>=Л",(ро ф>+ А,'<ф,, ф>.
(3') Из свойств а), б) и в) следует очень важное свойство скалярного произведения, а именно неравенство Шварца (см. задачу 1) !<ф, ф>( ( 1% ф><ф ф> (5) Знак равенства в формуле (5) имет место в том и только в том случае, когда функции гр и ф пропорциональны друг другу. Неравенство Шварца очевидно, обеспечивает сходимость интеграла (1), если функции ф и ф являются квадратично интегри.руемыми. Помимо свойства линейности и возможности определения скалярного произведения пространство квадратично интегрируемых функций обладает еше «войством полноты; именно зто обстоятельство позволяет отождествить его с пространством Гнльберта.
Свойство полноты означает, что всякая последовательность квадратнчно интегрируемых функций, удовлетворяющая критерию Коши, сходится (в смысле среднего квадратичного) к квадратично интегрируемой функции. Обратно, всякая квадратично интегрируемая функция может рассматриваться как предел (в смысле среднего квадратичного) последовательности квадратично интегрируемых функций, сходящейся в смысле Коши (селарлбельлость) з), з) Строго говоря, функция ф может принимать аиачения, отличные от нуля на множестве значений аргументов меры нуль. По соглашению, упомянутому в сноске '), такие функции це отличаются от нуля. ') Строгое н детальное исследование пространства Гильберта можно найти в книге: М. Н. Иоле, 1дпсаг 1гапз1оппа1!опз !и Н!!Ьег1 Брасе, Атег. Ма(Ь.
Бос. (Ыету-уогй, 1932). Основные свойства пространства Гнльберта рассматриваются в книгах; А. й!сйлегоы!сз, А!ВеЬге е( Апа!узе Е!пйа!ге, Маззоп (раз(з, 1947); И. фон Нейлон, Математические основы квантовой механики, «Наука», 1964. Понятие сходимости в смысле среднего квадратичного определяется в Дополнении А, сноска '). 166 ГЛ. Ч. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ и 3.
Определение средних значений В й 1Ч. 5 каждой динамической переменной вида Р(г) или 6(р) мы сопоставили некоторый линейный оператор А, соответственно равный Р(г) или 6( — 1ВЧ); кроме того, было указано — это следовало из определений Р(г) и П(р),— что среднее значение каждой динамической переменной определяется выражением (1Ч.22), которое в новых обозначениях может быть записано в виде (Ч", АЧ'). Если волновая функция не нормирована на единицу, то выражения (1Ч.2) и (1Ч.6) для Р(г) и П(р) должны быть разделены на норму (Ч', Ч') волновой функции и тогда выражение для среднего значения принимает вид (Ч', АЧ')/(Чт, Ч').
Все это можно обобщить на случай произвольной динамической переменной. Постулируем, что: а) Любой динамической переменной .Ф = А (дь ..., да, Рь ..., Ра) сопоставляется линейный оператор б) Если система находится в динамическом состоянии, определяемом волновой функцией Ч'(дь ..., да), то среднее значе. ние динамической переменной есть (А) = (ч', Ач) (6) Соответствие между классической функцией Гамильтона и гамильтонианом уравнения Шредингера ($ П.15) является частным случаем соответствия а) между динамическими переменнь>ми и линейными операторами.
Замечания, сделанные в ф П.15 по поводу этого соответствия, имеют силу и в общем случае. Следует иметь в виду, что координаты и являются декартовыми координатами. Далее, в самом определении оператора А имеется некоторая неопределенность, связанная с тем, что, используя принцип соответствия, мы заменяем величины, для которых справедливы законы обычной алгебры, операторами, которые, вообще говоря, могут не коммутировать; на практике эта неопределенность снимается в соответствии с эмпирическими правилами, указанными иа стр. 77.
Если динамическая переменная М представляет физическую величину, то она является вещественной функцией д и р; все результаты измерения Ф, а следовательно и среднее значение (А) также являются вещественными. Таким образом, (Ч', АЧ') есть вещественная величина (Ч", АЧ')=(АФ, Ч'), Э 3. ОпРедвление сгвдних знхчнинй 167 каким бы ни было динамическое состояние системы, т. е, какой бы ии была волновая функция Ч". Иначе говоря (ср.
стр. 123), оператор А должен быть эрмитовым (нли самосопряженным). Нетрудно видеть, и мы это констатируем во всех встречающихся примерах, что поскольку операторы рл и — Ид(дд являются эрмитовыми, по принципу соответствия (а) любой вещественной динамической переменной всегда можно сопоставить эрмитов оператор; правило «симметризации» на стр. 77 и было сформулировано для этой цели. Свойства эрмитовых операторов будут систематичесни изучены в ф 5 и далее. Укажем уже сейчас одно важное свойство этих операторов. Если оператор А эрмитов,-то среднее значение переменной зэ, вычисленное с помощью линейной комбинации Ф + ЛЧ' двух функций Ф и Ч' из функционального пространства, в котором действует оператор А, есть величина вещественная. Следовательно, выражение (Ф+ ЛЧг А (Ф+ ЛЧг))= (Ф АФ) + Л(Ф АЧс) + Л*(Чг АФ) + ~ Л 12(Чг АЧ~) вещественно.
Это должно быть так для любого значения комплексного числа Л. Ввиду того, что (Ф, АФ) и (Ч', АЧ') являются вещественными величинами, мы делаем заключение, что ем(Ф, АЧ') + е-"(Ч', АФ), где а — фаза комплексного числа Л, есть величина веществен- ная. Иными словами, е'*((Ф, АЧ') — (АФ, Ч')) = е-ы((АЧ'„Ф) — (Ч', АФ)) и, поскольку это уравнение должно выполняться при любых сг, находим, что величины в скобках в обеих частях равенства равны нулю.
Таким образом, если Ф и Ч" являются функциями из функционального пространства, в котором определен оператор А, то (8) (Ф, АЧ') = (АФ, Ч') или, что то же самое, (8') (Ф, АЧ')=(Ч', АФ)". Равенство (8') часто рассматривается как определение эрмитовости оператора А. Постулаты а) и б) позволят нам определить статистическое распределение значений физической величины Ф. Конец этого раздела н два последующих посвящены этой задаче.
1вв ГЛ. Ч.ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ $4. Отсутствие флуктуаций и проблема собственных значений Флуктуации искомого статистического распределения определяются величиной среднего квадратичного отклонения ЬА (бА)т = ((А — (А))5 = (А') — (А)' ~) О (величина Аз является динамической переменной того же рода. что и А, поэтому ее среднее значение дается постулатом б)). Когда отклонение ЬА равно нулю, флуктуации отсутствуют, и можно с определенностью утверждать, что Ф принимает значение, равное <А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
