1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Выясним, какие требования иа функцию Ч" накладывает условие ЬА = О. Применяя определение (6) к средним значениям операторов А и А', можно привести условие к виду (Чг, АзЧ')(Ч', Ч') =(Чг, АЧ')т. Однако величина (Ч', АзЧ') = (Ч', А(АЧ')) равна (АЧ', АЧ") Для доказательства достаточно применить свойство (8) эрмитового оператора А и функциям Ч' и АЧ', Таким образом, имеем (Ч", АЧ')э =(Ч', Ч')(АЧ', АЧ'). Следовательно, мы находимся в ситуации, когда неравенствО Шварца сводится к равенству, поэтому функции Ч' и АЧ' пропорциональны друг другу. Флуктуации статистического распределения эФ обращаются в нуль для динамических состояний Ч' таких, что АЧ', = аЧ'„ Я где а — некоторая постоянная. Уравнение (9) есть уравнение задачи на собственные значения для оператора А. Примером такого уравнения является уже рассмотренное нами уравнение Шредингера, не зависящее от времени.
Таким образом, мы приходим к заключению: Физическая ввличина .Ф обладает с достоверностью (т. е. с вероятностью, равной 1) определенным значением в том и только в том случае, когда динамическое состоянии физической системы представляется функцией Чг„т, е, собственной функцией. эрмитового оператора, сопоставляемого э~, и это значение есть собственное значение оператора, соответствующее данной собственной функции. Сказанное справедливо, в частности, по отношению к энергии О(лс р~) системы. Соответствуюший оператор — гамильтониан Шредингера — действительно сопоставлялся энергии системы, когда мы рассматривали уравнение Шредингера, не зависяшее от времени (гл.
И, раздел !П). Тогда мы приняли, что энергия системы принимает вполне определенное значение Е, когда си- $ П ОТСУТСТВИЕ ФЛУКТУАЦИИ 169 стена находится в стационарном состоянии, а ее волновая функция есть собственная функция оператора Н, соответствующая собственному значению Е; все это полностью согласуется с общими постулатами, введенными в этом параграфе. Во всех рассуждениях, приведших нас к уравнению (9), предполагалось, что функции Ч', АЧ', АзЧ', входящие в скалярные произведения, принадлежат пространству Гильберта. Само уравнение (9) предполагает, что неизвестная функция должна быть квадратично интегрируемой, Однако при такой постановке задача на собственные значения вполне может и не иметь решений.
Именно так обстоит дело в случае уже рассмотренных операторов д, и — гйдг4ддь Действительно, исследуем задачи на собственные значения для этих двух операторов в случае системы в одном измерении. Для оператора 41 имеем (и — и') ф(д)=9, что возможно только если ф(4)) равна нулю всюду, кроме точки чу = 41'. Не существует ни одного квадратично интегрируемого решения, удовлетворяющего такому условию; искомое решение должно было бы быть очень странной функцией, равной нулю всюду, кроме одной точки. Мы вернемся к этому вопросу в 9 8.
Для оператора — гй д/дд4 задача иа собственные значения имеет вид — й — „'ф( )= р'ф Ы. Она имеет единственное решение, определенное с точностью до постоянного множителя, каким бы ни было значение р'. им является функция е4ла!а. Это решение не является квадратично интегрируемым. Мы видим, что для двух рассмотренных операторов указанная выше постановка задачи на собственные значения не имеет смысла.
Чтобы получить достаточно общие результаты, следует рассматривать решения задачи на собственные значения (9), не являющиеся квадратично интегрируемыми. Ранее мы уже исследовали одно уравнение на собственные значения частного вида, а именно уравнение Шредингера для одномерных систем (см. гл. П!), и можем основываться на результатах этого исследования, Спектр собственных значений гамильтониана Шредингера в общем случае состоит из двух частей: ряда дискретных собственных значений, собственные функции которых имеют конечную норму, и непрерывного спектра собственных значений, собственные функции которого ограничены во всем пространстве, но имеют бесконечную норму.
Путем суперпозиции собственных функций непрерывного спектра, принадлежащих со- )то ГЛ. Ч,ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ седним значениям энергии, можно построить квадратично интегрируемые функции, соответствующие энергии, которая, как это подсказывает интуиция, если и не имеет точного значения, то во всяком случае определяется со сколь угодно малой квадратичной ошибкой.
Уточним это утверждение, возвращаясь к обозначениям 9 П!.13. Исходя из собственной функции у(х; е), принадлежащей собственному значению е непрерывного спектра оператора Н Ну(х; е)=еу(х; е), (1О) мы строим «собственный дифференциал» ') ееае Уе(Х; бв)=(6Е) А ~ у(Х; Е')С(В'. е (11) Это — квадратично интегрируемая функция, и вычисленные с ее помощью величины (НУ и ЬН имеют вполне определенный смысл.
Пользуясь уравнениями (10) и (11), легко видеть, что (Н) = <",, ' — е+ 0 (бе), () е р) е) <у Оу) (Н') = ' ') - е'+ е0 (бе). ') Множитель (6е)-Чр ввалится в определение «собственного дифференциала» для того, чтобы норма оставалась конечной при бе-н О. с ю р р ен «Гн~~ — (ну при бе- О ведет себя как (ебе)чр. Оно может быть сделано сколь угодно малым. Этот результат может быть выражен следующим образом. С помощью суперпозиции собственных функций (с бесконечной нормой), принадлежащих собственным значениям, лежащим в ограниченной области (се,а + бсе) непрерывного спектра оператора А (если он существует), можно построить квадратично интегрируемые функции, причем квадратичное отклонение распределения значений А от среднего значения (жа+ 0(ба)) может быть сделано сколь угодно малым, если выбрать достаточно малыми размеры бее области.
Ясно, что задача на собственные значения, выражаемая уравнением (9), должна играть фундаментальную роль не только в области дискретного спектра, но также и в области непрерывного спектра, когда собственные функции уже не принадлежат пространству Гильберта. Займемся поэтому систематическим изучением этой задачи на собственные значения, % а. эРмитов опнРАтОР 1У! Р а вдел 1!. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА 9 5.
Собственные значения и собственные функции эрмитового оператора Рассмотрим уравнение на собственные значения Аф,=аф,. (9) В этом разделе мы будем рассматривать только собственные функции тф„принадлежащие пространству Гилоберта. Следовательно, всюду подразумевается только дискретный спектр собственных значений, Общее исследование, включающее и непрерывный спектр (если он существует), будет проведено в разделе 111.
Поскольку А есть линейный оператор, то: 1, Если тр„ есть собственная функция, то сфщ где с — произвольная постоянная, также есть собственная функция, принадлежащая тому же собственному значению. Чтобы фиксировать эту постоянную, обычно собственные функции норлсируюг на единицу: (ч'а~ фа) После этого функция ф, определена с точностью до произвольной постоянной фазы.
2. Если две линейно независимые функции ф<,",ф!т>а) принадлежат одному и тому же собственному значению, то то же самое имеет место для любой линейной комбинации этих функций. Говорят, что в этом случае имеется вырождение. Мзксимальное число линейно независимых собственных функций, принздлежащих одному собственному значению, называется порядком (или кратностью) вырождения данного собственного значения (мы уже встречали примеры вырождения второго порядка в гл. 111 при изучении непрерывного спектрз). Из определения эрмитовости и свойства (8) получаем двз фундаментальных результата.
1'. Все собственно!е значения вещественны. В самом деле, умножая скалярно обе стороны уравнения (9) слева на функцию ф„ обнаруживаем, что а равно среднему значению А в динамическом состоянии трв (Фа лфа) (ф»т) ' а эта величина, по определению эрмитовости, вещественна. ') Две фунхннн ф~ н фт линейно неаавнснмы, если не существует отлнчных от нуля постоянных Хь Хт таких, что )чф1 + Хтфт = О. ГЛ. Ч.ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МВХЛННКН 2'.
Две собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу (см. $111. 13) Пусть Аф) = а,ф), Афе = азф2. Умножая первое уравнение слева на )()2, а второе уравнение — справа на ф> и вычитая, получаем, учитывая свойство (8)„ О =(ф„Аф)> — (Аф„ф)> = (а, — а,) ()))„ф)>. Следовательно, если а, чь а,, то <ф„ф)> = о. Таким образом, две собственные функции ф), )()„принадлежащие различнь)м собственным значениям, линейно независимы. Действительно, предположим, что можно найти даа числа Л) и Л2 таких, что Л)ф) + Ле)() = О.
Умножая каждый член левой части уравнения слева на >р), по- лучаем, учитывая свойство ортогональности, Л)<ф), Р >= О и следовательно Л) равно нулю. Аналогично показываем, что л =о. Если собственное значение а вырождено и кратность вырож- дения равна и, то каждая собственная функция, соответствую- щая этому собственному значению, может быть представлена в виде линейной комбинации и линейно независимых собствен- ных функций ф)1>, )()12>, ..., ф)'> какого-либо частного выбора.
Существует большой произвол в выборе этих базисных соб- ственных функций. Однако всегда можно добиться, чтобы они были нормированы на единицу и были ортогональны друг дру- гу. Для этого, исходя из произвольной совокупности линейно независимых функций ф11>, ф)2>, ..., ф">, можно, например, про- вести следующие операции (процесс ортогонализации Шмидта): определяем )р)'> равенством с )р)'> = ф)1>, 1 находим постоянную с) из условия (ф)", ф"»=1, так что ) с, 12 — (фо> ф)п> Определяем ф1" равенством сгф(п — )р(2) )р'1) ()рп) >)))2)> Левая часть не равна нулю, поскольку )ри> и )()12> линейно не- зависимы.
Ясно, что (ф' >, ф11» = О. Выбираем ст из условия з к влзложвнив волновои фтнкции в вяд >тз '(<р(4>, <р<а>) = 1. Далее, определяем <р<а> равенством с>,р<а>=,ьа> — «ра>(,р<(> ф<а>) — ~р<х>(<рсл фа>) Эта функция, очевидно, не равна нулю, ортогональна к <р<(> и «р<'> и может быть нормирована соответствующим выбором сь И тзк далее. Полученные таким образом и функций (р((>, ..., <р<"> удовлетворяют п(п+1)/2 соотношениям ((р<'>, (р<"'>)=б(,„(1, в<=1, 2, ..., и), где б( — символ Кронекера: ~ 1, если 1=в<, б "" (, О, если 1чьт.
Говорят, что эти функции образуют совокупность ортонормированных функций, Изучение вырожденных собственных значений должно быть дополнено следующим утверждением, которое мы примем без доказательства а). Если кратность вырождения бесконечна, т. е. если можно найти произвольно большое число линейно независимых собственных функций, принадлежащих этому собственному значению, то всегда можно построить последовательность (бесконечную счетную) <р('>, <р<'>, ..., <р<'>, ... ортонормированных собственных функций, такую, что всякая собственная функция, принадлежащая данному собственному значению, может быть разложена в ряд по этим функциям.
Можно также показать а), что собственные значения образуют дискретную последовательность (конечную или бесконечную счетную) аь аь ..., ае, ... Это свойство является характерным для собственных значений, собственные функции которых принадлелсат пространству Гильберта. й б. Разложение волновой функции в ряд по ортонормированным собственным функциям Как мы видели, каждому собственному значению ае оператора А соответствует последовательность ортонормированных собственнь(х функций <р(1> <р(Ф ч>(«> содержащая один элемент, конечное число элементов или бесконечное число элементов, если собственное значение является соответственно невырожденным, вырожденным с конечной кратностью или вырожденным с бесконечной кратностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
