1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть х есть ее координата, а Р— импульс и пусть ф(х) и +гг ф (Р) =, ~ ф (х) е-згх!а дх 1 (2 тй)'ь суть волновые функции, представляющие ее динамическое со- стояние в пространстве х н пространстве р соответственно. 4) В этом пуакте имеется существенное отличие между статистическими 6.. аспределеннамн Р(г) н П(р) н соответствующнмн распределениями Р„,(г) н „(р) в классической статистической механике, сходства с которыми можно было бы искать.
Этк последние получаются с помощью плотности в фазовом пространстве р(г, р): Рка (г) ~ р (г. Р) ЕР, П„а (Р) ~ р (г, е) г(г, Здесь р(г, р) есть положительная фунндня, подчяняющаяся условию ~ р(г. Р) г(гг(Р=! В классической статистической механнне можно одновременно произвольно выбирать распределення Р„.(г) н Пг,(р); действнтельно, существует по крайней мере одна плотность в фазовом пространстве р(г, р) = Р (г)П..
(Р), позволяющая это сделать. Э х соотношения нвопппдвлпнности )ЗЗ Результат Гейзенберга опирается на тот математический факт, что протяженность волны зР и ее образа Фурье ф в соответствующих пространствах не могут одновременно быть сделаны произвольно малыми. Если волна зр занимает область порядка ах в пространстве х, а волна цз †облас порядка Ар в пространстве р, то произведение Ьх йр остается все время больше некоторой величины порядка » Ьх Ар)», (25) Этот результат мы уже встречали при построении волновых пакетов в теории волн вещества.
Ои проявился также, хотя и не столь явным образом, при обсуждении эволюции волновых пакетов, построенных с помощью состояний непрерывного спектра, в гл. 1П. В справедливости соотношения (25) можно убедиться путем следующих полуколичественных рассуждений, которые только перефразируют аргументы, приведенные на стр. 60. Любая волна зр(х) может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн е"" с длиной волны 2п/А. Пусть Лй характеризует размер области изменения параметра А в этой суперпознции. Чтобы волна ф(х) оказалась локализованной в пространственной области ах, необходимо, чтобы «конструктивное» согласие между фазами различных волн в суперпозиции осуществлялось именно в этой области, а вне ее интерференций между волнами должна иметь «деструктивный» характер. Число длин волн 2п/К содержащихся в Ах, равно »ах/2п.
Чтобы различные плоские волны, формирующие зр(к), могли взаимно погашать друг друга на границах интервала Ьх, необходимо, чтобы это число волн изменялось по крайней мере на единицу, когда А пробегает область своего изменения, т. е. должно выполняться условие Лх Ья ~ 2п. Поскольку дело идет только о порядке величин, опустим множитель 2п и напишем просто бх ° бй )~ 1.
Отсюда, используя соотношение между импульсом и волновым вектором (р = »й), получаем неравенство (25). Обычно величины Ьх и ар называются неопределенностями координаты и импульса соответственно, и результат Гейзенберга выражается следующим образом: произведение неопределенностей координаты и импульса частицы всегда остается больше некоторой величины порядка». Проиллюстрируем этот результат несколькими примерами. Гауссовый пакет волн (не нормированный на единицу) г ! (х — корт $(х) =ехр ~ — рох— Е» эйз Д ГЛ, 1У СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ занимает область поРЯДна а около точки хо Волна $ Г1 1 йо Ф (Р) = = ехр 1Ь вЂ” хо(ро — Р) — — †' (Р— Ро~' ) й (й й в пространстве импульсов, нагорая ему соответствует, занимает в пространстве импульсов область порядка й(а около точки ро. Уменьшая а, мы уменьшаем ах, но при этом увеличиваем йр, так что их произведение остается порядка й.
В качестве другого примера рассмотрим «прямоугольный сигнал» а~роз(а, ЕСЛИ ) Х) < а, ф(х) = О если )х) >а, который отличен от нуля в области шириной 2а, окружающей точку х = О. В этом случае имеем ф (р) о1п Ч(2Ыл . (р — ро) а Р Ро Функция (ф(р) )о обнаруживает наличие резкого максимума в точке ро, окруженного с двух сторон последовательностями нулевых минимумов (прн р = = р, -1- пнйуа), разделенных максимумами, величина которых убывает как (1/(р — ро))о. Можно сказать, что волна ф(р) сконцентрирована между первымн нулями 1Ф(р)1о по обе стороны центрального максимума, т. е, в области Ьр сн 2яй/а. Величина Ьр тем больше, чем меньше протяженность сигнала Ьх ю 2а, т. е, Ьх Ьр ом 4кй, Ыа рис. 17 представлены графини )ф(х))о как функции х и )ф(р))' как функции р для двух волновых пакетов, поторые мы рассмотрели.
Все рассуждения, касающиеся протяженности волны ф в сравнении с протяженностью ее образа Фурье в соответствующем пространстве, без труда переносятся на трехмерный случай. Обозначим с помощью Лх, Лу, Лг неопределенности трех пространственных координат, а с помощью Лр„Лр„, Лр,— неопределенности составляющих импульса. Корреляции между статистическими распределениями р(г) =(Чг(г) )а и П(р) = = ~Ф(р))з проявляются в существовании соотношений неопределенности: Лк ° Лр„) й, Лу Лр„) й, Лг Лр,) В.
(26) До настоящего времени мы представляли соотношения неопределенности как соотношения по порядку величины. Это неизбежно, пока не установлено точное определение величин Лх, Лр„и т. д„измеряющих различные неопределенности. Установив подходящее определение этих величин, мы придем к более строгим заключениям.
Но хотя они и имеют определенные преимущества, необходимо особешю подчеркнуть, что главный смысл и значение соотношений неопределенности уже прояв- 5 В ТОЧНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СООТНОШЕНИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 13$ ляются в формулах, верных только по порядку величины. Ни при каких обстоятельствах мы не можем приписать квантовой частице одновременно строго определенной координаты и строго определенного импульса, Представлять частицу как объект, ) р(х)1' )(а (х))' -а о а м х $(о(о)1х )р(р)(л оо о Ро а) Д Рис.
17. Квадраты модулей волновых пакетов ф (л) и ф (р) в случаях: а) гауссова волнового пакета; б) прямоугольного сигнала. обладающий точно определенными положением и импульсом, можно только в случае, когда величина кванта действия й может считаться пренебрежимо малой, т. е. в области справедливости классической теории. й 8. Точное выражение соотношений неопределенности координата-импульс Чтобы сократить изложение, мы рассмотрим детально только случай частицы в одном измерении. Примем следующее определение з): Лх и Лр являются средними квадратичными откло- з) Это несомненно, наиболее удобное определение.
В большинстве случаев определенные так величины Лх и Лр дают хорошее представление о неопределенностях в х и р. Однако иногда случается, что это математическое определение существенно отличается от оценок по порядку величины. Примером может служить разобранный выше случай «прямоугольного снгналахс величина Лр по формуле (27) оказывается бесконечной, но мы видели, что грубая оценка дает 2ЛЛ(а. 1за гл ол соотношения неопгвдвлвнности 1(Л) = ~ )хф+ ЛйЯ ( г(х (1(Л) ~0 при любом Л). Раскрывая это выражение и интегрируя по частям, последова- тельно получаем 1(Л) — ~ !х$ ~тдх+ Лй ~ ( — хф+ хф — ) дх+ — ОР + +~Ю + Ю +со +Лэй' ~ ~ — „" ~ дх= ~ ф"х'фдх — Лй ~ ф*ф Их — Лзй' ~ ф* — „, Их, что дает, предполагая ф нормированной иа единицу и используя результаты $ 5, 1 (Л) = (х') — Лй + Л'(р'), (29) Ввиду того, что полипом второго порядка 1(Л) является поло- жительно определенным (или равным нулю), его дискриминант йз — 4(рэ)(х') отрицателен (или равен нулю), следовательно (х5 (рт) 3: й~/4, (30) Условие (30) менее ограничительно, чем объявленное выше условие (28).
Но можно провести аналогичное вычисление, исходя из слегка отличного выражения для 1(Л), а именно, заменяя в формуле для 1(Л) величину х на х — (х) и й(д/дх) на й(д/дх) — 1(р) или, что то же самое, заменяя ф(х) на х -нм —, е "ф(х+(х)). Результат аналогичен уравнению (29): 1(Л) = (Л )з — Лй+ Лз(йр)э~о. Условие (28) выражает тот факт, что дискриминант этого мно- гочлена второго порядка по Л не может быть положительным, пениями распределений ) ф (х) )' и )Ч~(р) !'. Применяя обозначения $5, имеем ь* „/я~ — "я', ° р ьэ — <ру. (27) Величина Ьх, таким образом, непосредственно связана с измерением положения частицы: это статистическая флуктуация результата измерения около среднего значения (х); то же замечание относится к йр, если иметь в виду измерение импульса.
Мы покажем, что при самых общих предположениях гъх ° йр )~ й12. (28) Рассмотрим положительно определенное выражение + Ч м. соотношгнне неопРеделенности ВРемя. энеРГия 137 Предшествую!цее доказательство применимо также и к случаю частицы в трехмерном пространстве. Волновая функция Ч'(г) есть функция трех координат частицы в этом пространстве и интегралы, встречающиеся по ходу доказательства, суть интегралы по трехмерному пространству конфигураций; читатель легко проверит, что все манипуляции с этими интегралами остаются в силе. Само определение (27) средних квадратичных отклонений обобщается без труда.
Таким образом, получаютси соотношения неопределенности Гейзенберга Лх ° Лр, й/2, Лу ° Лре ) 6/2, Лг ° Лр, )~ Щ2. (3!) 9 9. Обобщение: соотношения неопределенности для сопряженных переменных В общем случае квантовых систем в )г-мерных пространствах имеют место аналогичные соотношения неопределенности. Используя обозначения $ 6 и-цо аналогии с определением (27), будем характеризовать неопределенности д! и р; квадратичными отклонениями, соответствующими их статистическим распределениям: Рассуждения предшествующего параграфа могут быть повторены без изменений, и в результате мы получим соотношения неопределенности между сопряженными (декартовыми) переменными; Ла! ° Лр!~)Л/2 (!=1, 2, ..., Д). (32) 5 1О. Соотношение неопределенности время-энергия Существование соотношений неопределенности координата- импульс связано с тем, что импульс с точностью до постоянного множителя определяется как характеристическое волновое число плоской волны, а плоская волна, строго говоря, заполняет все пространство; попытка локализовать импульс частицы в некоторой определенной точке пространства столь же безуспешна, как попытка локализовать плоскую волну.
Ио подобно тому, как импульс, будучи пропорционален волновому числу, не может быть локализован в пространстве, так и энергия, пропорциональная частоте, не может быть локализована во времени. Поэтому в соответствии с требованиями принципа относительности существует соотношение неопределенности |зв гл. пл соотношения нвопгадвленностн время-энергия, аналогичное соотношениям неопределенности координата-импульс, а именно Л~ ЛЕ> д. (33) Однако физическая интерпретация этого соотношения иная. В соотношениях неопределенности координата-импульс переменные положения и импульса входят симметричным образом: как те, так и другие могут быть подвергнуты измерению в данный момент времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
