1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Всюду отрицательная функция 41 стремится к нулю не медленнее, чем е-й". Решение Р есть решение, обращаю- щееся в нуль на бесконечности, которое мы ищем. Не существует других решений, обладающих этим свойством, так как если !' ~ — С, то решение у(х) может быть записано в виде у -Р+ ([+ С) г, и его асимптотическое повеление совпадает с поведением функции Я с точ- ностью цо отличного от нуля множителя ) + С.
й 1О. Структура спектра собственных значений Пусть О+ и У являются предельными значениями У(х) при х-ь+оо и х-ь — со соответственно. Дальнейшие выводы остаются справедливыми, если одно и (или) другое предельные значения оказываются равными +со. Величины У+ и У делят область изменения з на три области, в которых спектр собственных значений имеет различную природу. Положим, для определенности, что с(+ У .
В области е ) У разность з — У(х) остается положительной на обоих концах интервала ( — оо, +со). Всякое решение уравнения (5), ограниченное при х - ~оо, допустимо в качестве собственной функции, поэтому з есть двукратно вырожденное собственное значение. Спектр собственных значений непрерывный и вырожденный. С другой стороны, в обеих асимптотических областях собственные функции бесконечно осциллируют между двумя противоположными конечными предельными значениями: они представляют несвязанные состояния. В области (! ) и ) У+, где разность в — У(х) в пределе х- — сю отрицательна, существует только одно ограниченное (экспоненциально убывающее) решение, в отрицательной асимптотической области.
Это решение остается ограниченным и бесконечно осциллирует в другой асимптотической области, так как разность в — 0(х) в этой области положительна. Следовательно, это решение допустимо в качестве собственной функции и представляет несвязанное состояние. Спектр собственных значений непрерывный лево!рожденный. Когда с)+ ) з, разность з — (1(х) отрицательна в обеих асимптотических областях, Ограниченное решение, если оно су- э и, состояния неппврывного спектра 109 ществует, обращается в нуль (эспоненциально) на обоих концах интервала ( — оо, +со) и представляет связанное состояние.
Но оно существует только при некоторых определенных дискретных значениях в. Действительно, пусть р есть решение, обращающееся в нуль при х- — оо, а 9+ — решение, обращаюшееся в нуль при х-ь+ оо, ) и Г+ соответственно их логарифмические производные в некоторой точке иа оси х. Величина в есть собственное значение в том и только в том случае, если Э и рь равны (с точностью до постоянного фактора), т. е. если =)+.
Но, рассматриваемые как функции энергии е, ) есть монотонно убывающая функция, а )+ — монотонно возрастаюшая функция (следствие 3)4). Они могут быть равны друг другу только при некоторых изолированных значениях а. Спектр дискретный и невсчрожденный. Число собственных значений дискретного спектра сушественно зависит от формы функции У(х). Оно может изменяться от 0 до бесконечности. Число дискретных собственных значений очевидно равно нулю, если функция У(х) всюду превосходит наименьшее (()+) нз двух асимптотических значений. Вообще же можно показать (здесь мы это примем без доказательства), что число дискретных собственных значений оказывается порядка величины где интегрирование распространено ка ту область оси х, где 0(х) ( (т+, В частности, если этот интеграл расходится, число собственных значений дискретного спектра бесконечно.
$ ! 1. Состояния непрерывного спектра: отражение и прохождение волн Собственные функции непрерывной и двукратно вырожденной части спектра позволяют представить движение частично проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле потенциала 0(х). Чтобы избежать трудностей, предположим, что У(х) стремится к своим асимптотическим значениям ') Леле идет о распространении следствия 3 иа случай, когда и = +ос илн а = — оо. Нетрудно видеть, что следствие по-прежнему справедливо, если только несколько изменить определение функции у(х,е). Эта функция должна быть решением уравнения (5), обращающемся в нуль (вместе со своей пРоизводной) в точке о( = ~со). Заметим, что ) и (+ при некоторых значениях е могут обладать вертикальными асимптотами.
ио гл. ш. квлнтовып системы в одном измврении О+ и У быстрее, чем 1/х, так чтобы можно было использовать асимптотическую форму (29) вещественных собственных функций. Интересующие нас волновые пакеты могут быть построены с помощью собственных функций двух типов. Функции первого типа и(х) суть функции, поведение которых в двух асимптотических областях выражается соотношениями Волновой пакет вида (9) представляет падающую волну е' -", ~а « движущуюся из — оо в положительном направлении, которая затем попадает в зону действия потенциала 0(х) и разделяется на отраженную волну )т„е ' -". движущуюся в противоположном направлении и прошедшую волну З„е' +", распространяющуюся в направлении +оо (рис. (б,а). Функции второго типа п(х) асимптотически представляются формулами а) и — З„е '-*, «.ь— и е +" +)с„е +" «.++ Рис. !6.
Отражение и прохождение волны через потенциал: а) рещение типа н: волна, приходящая что позволяет Описать аналогичсо стороны отрицательных х; ный волновой пакет, расцростраб) рещение типа о; волна. прнхо- няющийся в противоположном дЯщаа со стоРоны положитель- направлении (рис. )б, б). ных х. Функции и, и и комплексно сопряженные функции и', п' являются решениями одного уравнения Шредингера. Рассмотрим вронскиан, образованный двумя из этих решений, он ке зависит от х (следствие 2). Записывая условие его тождественности в двух аснмптотических областях, можно получить соотношение между коэффициентами )х„, Зч, Яв, Зв или комплексно сопряженными величинами.
Существует столько соотношений этого вида, сколько можно построить различных пар из функций и, п, й, и', т. е. всего шесть соотношений, не зависящих от конкретной формы потенциала У(х). $ Н. СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА Получаем '): — ((Г(и, й)=й (1 — 1В„!')=й 1О„1а, (37) — % (О, 6 ) = — 7с 18е ~ = — й+ (1 — 1)че ~ )~ (38) (39) 1 иУ(и, О*) = — й )7„3* =й В„)7'„, (40) а также еще два соотношения, получаемые из двух последних переходом к комплексно сопряженным величинам. Уравнения (37) и (38) называются соотношениями сохранения патока; мы их уже проверили ранее в конкретных случаях (уравнения (13) и (24)). Происхождение названия следует из следующего истолкования волновой функции 1р несвязанного состояния в асимптотической области (обоснованность этого истолкования мы подробно рассмотрим в гл.
Х при изучении проблем рассеяния). Пусть Ае""+Ве-"" есть форма волновой функции 1р в одной из асимптотических областей, скажем при х- — оо. Если с помощью этой волновой функции образовать волновой пакет вида (9), то он будет состоять из двух членов; один, образованный из Ае'а", имеет относительную интенсивность )А)а н распространяется в направлении возрастающих х со скоростью И/т, другой, образованный из Ве А", имеет интенсивность ~В~1а и распространяется с той же скоростью в противоположном направлении.
Полный поток частиц в некоторой точке в направлении возрастающих х есть разность между потоком (И/т)1А(а частиц, движущихся в положительном направлении, и потоком (йй/т) (В(а частиц, движущихся в отрицательном направлении. С точностью до постоянного множителя он равен вронскиану (Г(Ч1,чр*): — (~ А ~~ — 1 В (~) = — — йУ (чР, чР*), Тот факт, что на концах интервала ( — оо, +со) вронскиан имеет одинаковые значения, означает, что число частиц, входящих в зону действия потенциала в единицу времени, равно числу частиц, выходящих из этой зоны в тот же промежуток времени. Согласно этой интерпретации каждое из уравнений (37) и (38) может быть записано в виде: падающий поток — отраженный поток = проходящему потоку.
') Вычисление особенно упрощается, если учесть свойство антиснмметричности вронскиана н равенства 1Р (е1А" е1ал) 1р(е 1А", е 1ал) О, МГ(е 1"», е1А") 2!М 112 гл. и! кВАнтОВые системы в одном изменении Следуя той же интерпретации, можно определить коэффициент прохождения Т отношением проходящий поток падающий поток В частности, имеем й А Т„= +)я„)х, Т,==!я (з Учитывая равенство модулей обеих частей уравнения (39), получаем равенство (41) Т„= Т,.
При заданной энергии коэффициент прохождения волны не зависит от направления распространения. Это — свойство взаимности коэффициента прохождения, отмеченное уже на стр. 92 и 100. Можно сказать, что проницаемость барьера в обоих направлениях одинакова. Равенство модулей обеих частей уравнения (40) вместе с соотношениями сохранения (37) и (38) вновь дает соотношение взаимности (41). Из уравнений (39) и (40) можно получить также соотношения между фазами комплексных амплитуд отражения и прохождения: фаза (Яи) =Фазе (Я») фаза ( — ") и — фаза ( — ").
Эти соотношения могут представить интерес, если связывать фазы с некото. рым «запаздыванием» в распространении волновых пакетов. Мы несколько раз отмечали, что величина ад (фаза)(дЕ, т. е, умноженная на а производная фазы комплексных амплитуд отражения или прохождения по энергии (величина с размерностью времени), может быть интерпретирована как «запаздывание» волны в явлениях отражения и прохождения. Это истолкование распространяется и на общий случай. й 12. Число узлов связанных состояний Рассмотрим теперь собственные функции (если они существуют) дискретного спектра. В этом случае нет вырождения; следовательно, зти функции наверняка действительны с точностью до постоянного фазового множителя.
Вернемся к обозначениям иа стр. !03. Предположим, что функции у~ и уз действительны, в, ) Е1 и применим соотношение (27), взяв в качестве пределов интегрирования два последовательных нуля функции уь Получаем ь ь узу', ~ = (ез — е,) ~ у,у йх. пз 5 13. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ В интервале (а, Ь) функция у1 сохраняет свой знак.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
