1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Для этого, предполагая, что атом совершает гармонические колебания с круговой частотой ю и средней кинетической энергией порядка '/гйТ, сравнить среднюю длину волны атома с амплитудами этих колебаний. Рассмотреть сначала случай молекулы водорода в условиях обычных температур; Т = 300 'К, йТ 0,025 зе, йю = 0,5 эв, а затем случай молекулы из тяжелых атомов с массой в 200 масс водорода, предполагая, что возвращающая сила в обоих случаях одинакова.

Сделать это для Т .=- = 300'К и Т = 1О'К. 4. Электрон движется по круговой траектории в постоянном магнитном поле йй. Применить для этого вращательного движения условие резонанса де Бройля. Показать, что кинетическая энергия электрона кваитуется, уровни энергии эквидистантны н расстояние между ними равно (гй/тс)йэ" — этот результат отличается от результата строгой квантовой теории только смещением всех уровней на величину (гй/2тс)эе. Вычислить радиус орбит, количество движения и кинетическую энергию квантоваиных траекторий для поля в 1О' гс.

Сравнить радиус орбиты с квантовым числом единица с радиусом боровской орбиты атома водорода в основном состоянии. Примечание. Следует различать импульс р и количество движения то в этой задаче. Если А есть векторный потенциал поля, то р = тэ+ (г/г) А. б. Используя тот факт, что произвольная волна может рассматриваться как суперпозиция плоских волн, показать, что в отсутствие поля волна вещества тр(гз, гэ) в точке г, в момент гз может быть получена из значений Ч"(гь11), взятых в момент гь с помощью операции чг(т'з, гз)= ~ К(гз гп гз — 11)чг(гь 1Пйгь где — „1РО-ит1 К(р; т)= — г пр, В этом выражении Е как функция р равна энергии соответствующей частицы с нмпульсоы р.

Показать, что для нерелятивистской частицы с массой т з1м лНР К(рг т) в ~ — ь — ) е ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Вывестн отсюда, что главный вклад в интеграл (1) дает область, около / 23 гэ — В) ту1 точки г, с линейным размером порядка б. Как изменить метод решения предыдущей задачи, чтобы он мог быть применен к случаю частицы в одном взмеренииу Пользуясь этим методом, найти волновую функцию в момент времени Г свободной нерелятивистской частицы массы т, если волновая функция в момент Г = О есть )тнтеисивность (квадрат модуля) втой волны в момент Г О выражается гауссовой кривой ширины кз.

Показать, что форма кривой интенсивности остается гауссовой в любой последующий момент времени, но ширина кривой увеличивается согласно закону ~~( + тч) (расплывание волнового пакета). ГЛАВА 1Н КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ й 1. Введение Чтобы познакомиться ближе с уравнением Шредингера до рассмотрения проблем истолкования и интерпретации квантовой теории, мы изучим волновую механику физических систем в одном измерении.

Одномерные задачи интересны не только как простые модели, позволяющие обнаружить некоторые особенности, которые встретятся нам в более сложных случаях, но также и потому, что многие задачи после соответствующих преобразований могут быть сведены к проблеме решения уравнений, аналогичных одномерному уравнению Шредингера. Рассмотрим частицу массы т, способную перемещаться по оси х под действием некоторого потенциала У(х).

Уравнение Шредингера записывается в виде М в Ч (х, Г)= ( — ~, ~у.+ У(х))Ч (х, 1). (1) Мы займемся исследованием стационарных состояний. Если Ь' есть энергия стационарного состояния, то Ч' (х, г') = ф (х) е ' (2) причем функция ф(х)является решением стационарного уравнения Шредингера, ( В*,'Р, + У(х)) Ф=ЕФ (3) В этой главе мы используем обозначения ЯЗ йз У(х) = — У(х), Š— е, (4) что позволяет переписать предшествующее уравнение в форме ф" + (а — У (х)) ф = О. (5) Это дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля; мы интересуемся ограниченными, непрерывными и дифференцируемыми его решениями во всем интервале ( — со,-)-оо).

з к ОБщие свопстза Если такое решение существует, то всякое другое решение, получаемое умножением на постоянный коэффициент, будет обладать аналогичными свойствами, поэтому мы не будем различать решения, отличающиеся иа постояныый множитель. Если допустимы два линейно независимых решения, то всякая их линейная комбинация также будет допустимым решением.

. В этом случае говорят, что собственное значение имеет вырождение кратности ияи порядка 2; по определению кратность или порядок вырождения есть число линейно независимых собственных функций, принадлежащих данному собственному значению. Уравнение (5) вещественно ()Г(х) есть вещественная функция х).

Если ф есть собственная функция, то ее действительная н мнимая части также являются собственными функциями (в случае отсутствия вырождения они отличаются только на постоянный множитель). Поэтому для нахождения всех собственных функций, соответствующих данному собственному значению, достаточно знать все действительные собственные функции. Это замечание существенно упрощает вычисления.

В первом разделе мы рассмотрим точно решаемую задачу на собственные значения в случае некоторых прямоугольных потенциалов. Особенное внимание будет обращено на различия между квантовыми и классическими движениями, а именно на квантование уровней энергии связанных состояний и явления отражения волн, резонанса и прохождения потенциальных барьеров несвязанными «частицами». Во втором разделе мы подвергнем систематическому изучению уравнение (5) для произвольного потенциала У(х).

Это позволит нам распространить на общий случай некоторые результаты, полученные в первом разделе, Раздел Ъ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ й 2. Общие свойства Для проявления типично квантовых эффектов необходимо, чтобы потенциал 0(х) заметно изменялся на расстояниях порядка длины волны. Наиболее простым типом потенциала, отвечающего этому требованию, является прямоугольный потенциал: это потенциал, обладающий разрывами непрерывности первого рода (т, е. резкими скачками конечной величины) в некоторых точках, а между этими точками постоянный. Ось х таким образом подразделяется на некоторое число интервалов, в каждом из которых потенциал имеет вполне определенное постоянное значение.

Наличие разрывов первого рода у потенциала (У(х) не изменяет условия регулярности, которым должна удовлетворять 86 ГЛ. ПЬ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ функция ф. Действительно, согласно уравнению Шредингера, ф"=(У вЂ” В)ф. Следовательно, в точках скачков потенциала функция ф" также разрывна, но первообразная ф', а также ф остаются всюду не; прерывными функциями. Пусть теперь У; есть значение (постоянное) потеицнала 0(х) в 1-ом интервале (1= 1,2,...,н). Общее решение в этой Области есть линейная комбинация экспоненциальных функ-' ций.

Но поведение решения существенно зависит от знака  — Уь Если В Уь то мы имеем комбинацию экспонент с мнимыми. показателями. е' ~" и В * "(/г,=~ — О,), т. е. фактически комбинацию синуса и косинуса; поведение решения имеет «осцилляторный» характер. Если же е < Уь то имеет место комбинация действительных экспонент е"~ и е ~ч" (н~ — — 1/(У,— е). В этом случае мы говорим, что решение имеет «экспоненциальный» характер пове.

дения. Чтобы написать общее решение дифференциального уравнения, сначала выражают его в виде линейной комбинации экспонент (действительных или мнимых) в каждом из и интервалов. Параметры этих комбинаций (число их равно 2п) находятся из условий непрерывности функции и ее производной в точках разрыва непрерывности потенциала. Это дает 2(п — 1) условий, поскольку имеется п — 1 точка разрыва. Общее решение таким образом, оказывается зависящим от двух произволь« иых параметров, что и следовало ожидать, Чтобы получаемое решение было собственной функцией необходимо, чтобы оно было ограничено на всей оси, т.

е. оказывалось ограниченным в каждом из пределов х- + ао и х-» — РО. Заметим„что если энергия е меньше значения потенциала во всем интервале ( — сО,+ос), то общее решение всюду имеет экспоненцнальный характер. Вторая производная ф" всюду имеет тот же знак, что и сама функция ф. Отсюда нетрудно вывести, что общее решение экспоненциально растет при х-э.— со илн х-»+ Оо илн же в обоих случаях.

Задача на собственные значения при этом не имеет решения. Отметим, что и в классической механике движение возможно только, если энергия превосходит значение потенциала хотя бы в некоторой части интервала ( — ОО, +Ос). Если В превосходит хотя бы одну из величин Уь то существование и число собственных функций зависят от характера поведения (осцилляторного или экспоненциального) общего решения в двух бесконечно удаленных концах осн х.

$ 3. ОтРажение и НРохождение Волн зт й 3. Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн Простейшим примером прямоугольного потенциала является резкий скачок потенциала (а = 2), представленный иа рис. 8. ~ (/ь если х > О (область 1), (/(х) = ( Па, если х < 0 (область !/). Будем считать для определенности, что (/а > (/ь Возможны два случая: а) (/а > е > (/ь Общее решение имеет осцилляторный ха- рактер в области 1 (х > 0) и экспоненциальный характер в об- ласти П (х < 0).

Чтобы это решение могло явиться приемле- мой собственной функцией необходимо, чтобы в области П оно было экспоненциально затухающим. Всегда существует одно и только одно решение, удовлетворяющее этому условию. Каждое значение е в указанном интервале является невырожденным собственным значением: спектр энергии непрерывный иввырождениогй. Общее решение имеет вид: (6) у — А,еи,а А~ з1п(/г~х+ ф) х ) О, х < О. л Рис.

3. Скачок цотеициааа ф определяется с точностью до слагаемого ли, так как замена ф на ф+и эквивалентна замене знака амплитуды А1 Примем для ф значение ь~ ф= агс(д —, на (ба» причем агс(д выражает значения этой функции в интервале ( — и/2, +и/2) . Непрерывность функции определяет отношение Аа/А„ именно Аа . Ь~ / е — сг1 ''А/и/+ "а (6б) Условия непрерывности определяют у с точностью до постоянной. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывность функции и ее производной, удобнее потребовать непрерывности функции и ее логарифмической производной у'/у.

Характеристики

Список файлов книги