1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Теорема в рон с к и а н а. Если г, и гз являются соответственно решениями уравнений г" ,+ Р, (х) г, = О, (25') г" + Р,(х) г =О (25") в интервале (а,б), где 4ункиии Р~(») и Рз(х) непрерывны или имеют разрывы только первого рода, то изменение вронскиана на этом интервале дается выражением ь гз) ~а = ~ (Р1(х) — Р, (х)) г1гз й». з Чтобы доказать эту теорему, умножим уравнение (25') на гз, а уравнение (25") — на г~ и вычтем полученные выражения одно из другого. Получаем (гзг1' — г,г,") + (Р, — Р;,) г,г, = О.
Первый член в круглых скобках есть (с точностью до знака) производная вронскиана по х. Интегрируя равенство по х в ин. тервале (а, Ь), получаем соотношение (26). !04 гл. ш. квантовые системы в одном измсвании Эта теорема оказывается особенно полезной, когда уравнения (25') или (25") являются уравнениями типа (5) с одним н тем же потенциалом (7(х) и с заданными значениями энергии з. В этом случае получаем три важных следствия: Следствие ). Если у! и ут являются решениями уравнения (5), соответствующими значениям а! и ат постоянной з, то для всяких двух значений а и Ь переменной х из области определения решений имеем )(т (уы уз) ~,=(з! — ет)~ у!уз!(х. а (27) Следствие 2.
Если у и г являются двумя решениями уравнения (5), соответствующими одному значению а, их вронскиан не зависит от х ЯУ(у, г)=сопи(. Следствие 3. Пусть У(х; в) есть решение уравнения (5), логарифмическая производная которого (по переменной х) имеет определенное значение (, в точке х = а, и пусть 7(х; в) есть логарифмическая производная этого решения в произвольной точке х. Рассматриваемая как функция з, величина 7(х;з) является монотонной функцией этой переменной, растущей при х ( а и убывающей при х) а, причем производная равна х де У'(х; е) ~ а (28) (как функция в, величина )(х;з) ведет себя подобно тангенсу или котангенсу при наличии вертикальной асимптоты в каждой точке, где У(х) обращается в нуль).
Следствия ! я х непосредственно вытекают из теоремы вронскиана. Доказательство следствия 3 таково. Если е фиксировано, то решение уравнения (б) полностью определяется прн задании значения решения и его производной в некоторой точке х = а иа оси х. Пусть У(х; е) есть зто частное решение: У(а; е)=рш У (а; е)=уш Если теперь изменять е, сохраняя неизменными указанные условия, то У(х; е) будет некоторой непрерывной функцией е (и х). Двум бесконечно близким значениям е, е+ бв соответствуют два бесконечно близких выражения У„ У+ бу. Применим к ним следствие ! на интервале (и, Ь): » И'(У, У+ бк) (» — бз ~ Ут т(х.
а )об аз. лсимптотичнскои повпдениа ввшинин При и а согласно предположению йг(У, У+ бу) = О. Для всякого другого значения х (Р(У, У+ б )-Убу' — У'ОУ= У'б à — "" 'з =У'бй ~У / Здесь мы положили г' = У'/У. Логарифмическая производная й подобно У, является непрерывной функцией е и и. Позтому з — У«Щ!з з бз ~ У'Их а нли д) ! — — — У' (к) и'х, азиз)(з)э что и требовалось доказать. Свойства решений уравнения Шредингера, вытекающие из уназанных трех следствий теоремы вронскиана, имеют большое значение, так как эти свойства не зависят от конкретной формы потенциала 0(х).
9 9. Асимптотическое поведение решений Асимптотическая форма общего решения уравнения (5) на краях интервала ( — со,+со) существенно зависит от знака разности е — У при х, стремящемся к одному из пределов ~со. Рассмотрим аснмптотическую форму решении при х- +со. Аналогичные результаты получаются и при х-~- — оо, Допустим, что и†(з(х) не меняет знака, когда х превосходит некоторое значение хз. При этом возможны два случая. !) з) 0(х), когда х) хз. Предположим (так обычно бывает на практике), что при х- со функция (г'(х) монотонно стремится к конечному пределу ()+. Положим й = ~Уз — У+. Мы покажем, что при х-з. со: — вещественные решения уравнения (5) остаются ограннченнымн н бесконечно осциллируют между двумя противоположиымн значениями; — если, кроме того, (у(х) стремится к ()+ быстрее, чем 1)х, то р - А,. з(п(йх+<р+), (29) где А+ и ф+ суть две вещественные постоянные.
для доказательства заметим, что уравнение (5) «асимптотически стремит«из к уравнению з" + Ыз = О, общее решение которого есть А з!п(йх+ф), т. е. зависит от двух произвольных постоянных А п ы. Чтобы найти 100 гл. 1и. квантовые системы в одном измипении х А (х) А (хз) ехр 1 2й — з(п 2 И + Ф ($)) Л$ Г и(3) — и+, 131) х х) ) — Г „""' + Ф) "ь. Г и(ц — и, х, (32) Интеграл в правой части (31) сходится, поэтому при х-ьсо функция А(х) стремится к конечному пределу Аз. Далее, поскольку ф' — ьО, функция з(п(ух+ ф) з выражении (30) осцнллирует с периодом, который асймптотически стремится к 2и/Д Это доказывает первый из формулированных выше результатов. Если, кроме того, и(х) стремится к ие быстрее, чем 11х, то сходится и интеграл в правой части уравнения (32); в этом случае обе функции А и ф стремятся к конечным пределам Аг и ич., соответственно, что доказывает справедливость асимптотической формы (29).
2) и( и(х), когда х> хо. Результаты, которые мы получим, не зависят от поведения У(х) на бесконечности. Предположим только, что У(х) — п>Мт> 0 при х > хо. Этот случай соответствует экспоненциальным решениям в задачах с прямоугольным потенциалом. Мы покажем, что при х- со: — существует одно частное решение (определенное с точностью до постоянного множителя) уравнения (5), стремящееся к 0 не медленнее, чем е™; — все другие решения стремятся к оо не медленнее, чем е"'. Поскольку решения определены с точностью до постоянной, фиксируем эту постоянную условием у(хз) = 1 и рассмотрим поведение решений, удовлетворяющих этому условию нормировки.
Некоторые из таких решений представлены на рис. 15. Обозначим через У(х) и 2(х) частные решения, определенные условиями У(хз) =1, У'(хз) 0 и 3(х~) О, Я'(х ) =1; тогда искомые решения можно записать в виде у(х) У(х)+ (2(х), (33) Параметр г = у'(хз) может принимать все значения между — со и -(-со. асимитотическую форму у, введем (метод вариапии постоянных) функпии А(х) и гр(х), определенные равенствами у = А з(п (йх + ф), у' = Ай соз (йх + ф).
(30) Уравнение (5) эквивалентно двум дифференциальным уравнениям первого порядка: А и — и+ и — и+ А 2й з1п2(ах+ ф), ф' — з(пз(ух+ ф). Отсюда интегрированием получаем 4 9. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕЛЕНИЕ РЕШЕНИИ )ОУ поэтому — > М Уп М (х — хо). У' ! ИнтегРируя, получаем У ) сЬ М (х — х,). Рис. 15. Диаграмма, представляющая не- Аналогично доказываем, что которые решеии уравнения (5), улов- Я ) эи М(х — х,). Заметим по- л воряющие у овию р ( ) = 1 в упутно, что чае, когда (!(х) — з )~ М' > О аля х > «9. У') МУ !АМ(х — х,), поэтому на бесконечности У' ) МУ; аналогично на бесконечности 3' =в МЯ. С другой стороны (следствие 2) 3'У вЂ” У'Я = 1 при любом х. (34) Введем функции У У' и (х) =- —, и (х) — —,. г' Из равенства (34) и того факта, что У и Я являются решениями уравнения (5), следует: 1' 1" 1 =Т г' гл' ' У'3 — УГ 1 и' 39 гз' (35) В интервале (х,,се) и есть убывающая функция, а о — функция возрастающая, причем их разность на бесконечности обращается в нуль.
Поэтому онн имеют общий (положительный) предел С при х-ь се и о(х) < С < и(х). Учитывая (35), зто неравенство можно переписать в виде 1 1 — —, < о — С < О < и — С < —,. гг ы' (36) Решения У(х) и Я(х) остаются положительными вовсем интервале («9, се) и стремятся к бесконечности не медленнее, чем е"". Действительно, как всякое решение уравнения (5), зтн функции всюду имеют тот же знак, что и их вторые производные. Отсюда следует, если учесть начальные условии, что они могут только бесконечно расти, причем график все время остается выпуклым вниз. Чтобы оценить скорость возрастания, заметим, что Уч ~ МЧ' и 2" ) М93 и сравним этн функции с решениями дифференциального уравнения и" — М'и = О, удовлетворяющими тем же начальным у(х) условиям в точке хо, а именно сй М(х — хе) и зЬМ(х — »9), соответственно, У и 3 всюду больше этих решений (нлн равны им).
Применяя теорему вронскиана, имеем )р(У, сй М(» — «9)) <О, 108 ГЛ. 1Н. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ Частное решение р (х) = 1' — СЯ = [и (х) — С) Л (х) н его производная Р' (х) — = У' — СЯ' [о (х) — С[ Е' (х) удовлетворяют всюду неравенствам ! 1 — — <р'<0<р< — ' 2 Л'' Всюду положительная функция у стремится к нулю не медленнее, чем 1/Я' и, следовательно, не медленнее, чем е-"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
