1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы "видели, что такие пакеты следуют законам движения классических частиц в некоторых предельных случаях, когда применимо классическое приближение. Однако даже в отсутствии поля волновой пакет ие может бесконечно долго сохранять это сходство с частицей, так как с течением времени он расплывается и в конечном счете может занять сколь угодно большую часть пространства (см.
задачу 6) "). В этих условиях вызывает удивление тот факт, что вещество столь часто проявляется в форме хорошо локализованных частиц, Но трудности чисто волновой теории такого рода становятся еще более ясно видны, если внимательно исследовать сами эксперименты по дифракцин волн вещества. Рассмотрим пучок монозиергетических электронов, проходящий через поликрнсталлическую мишень; на экране, расположенном за мишенью, мы наблюдаем центральное темное пятно, соответствующее проходящей волне, которое окружено концентрическими кольцами, образованными дифрагировавшей волной. Предположим, что падающая волна есть волновой пакет чр(Г, 1), хорошо разграниченный в пространстве; этого можно добиться, поместив (рис.
7) интенсивный источник 5 катодных лучей за диафрагмой 1г), снабженной обтюратором с фиксированным временем пропускання. Эта волна проходит через пластинку С, разделяется на проходящую и днфрагнровавшую волны и, наконец, образует на экране описанную выше ннтерференционную картину. По предположению мы имеем дело с непрерывной протяженной волной, то же самое можно сказать об интерференционной картине. Если при прочих равных условиях уменьшать интенсивность падающей волны (например, удаляя источник 3 от диафрагмы й), то пропорционально должна уменьшаться интенсивность интерференционных пятен, но сами они по-прежнему должны оставаться непрерывно распределенными.
Опыт полностью опровергает этот ") Исключевием из вФВГегв правила является гармонический осциллятор (см. гл. Л). Ч 8, УНИВЕРСАЛЬНЫИ ХАРАКТЕР ДУАЛИЗМА ВОЛНА — ЧАСТИЦА 57 вывод. Оказывается, что интерференционная картина образована болыпим числом отдельных дискретных точек. При уменьшении интенсивности падающей волны пропорционально уменьшается число этих точек. В пределе очень слабой интенсивности можно наблюдать до одной точки, расположенной либо на месте центрального пятна, либо же на дифракционных кольцах. Естественно приписать каждую точку воздействию прошедшего через систему одного электрона, т.
е. одной частицы вещества. Заметна полная аналогия между ситуацией, описанной здесь, и опытами по рассеянию света на решетке, обсуждавшимися в Рис. 7. Дифракция электронов на поликрнсталлическок пластинке. Пучок электронов из источника 5 коллимируется диафрагмой а затем дифрагирует на полнкрнсталлической пластинке С. Дифракцнонная картина наолю- дается на экране Е. первой главе.
Можно продолжить эту аналогию и сделать вывод, что наиболее простое истолкование дуализма волна — частица имеет статистическую основу в том смысле, что интенсивность волны в каждой точке экрана дает вероятность попадания электрона в эту точку. й 8. Универсальный характер дуализма волна в частица Из всего предшествовавшего мы делаем вывод„что микроскопические объекты обладают чрезвычайно общим свойством обнаруживать себя в двух на первый взгляд несовместимых аспектах: с одной стороны, как суперпозиция волн, с другой— как частица, т. е.
локализованная порция энергии и импульса. Между этими аспектами поведения микроскопических объектов существует вполне универсальное соотношение соответствия, выражаемое формулами (б). Кроме того, связь между корпускуламн и ассоциированными волнами имеет статистическую природу, которую мы уточним в дальнейшем. 68 ГЛ.
!!. ВОЛНЫ ВЕШЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРГДИНГЕРА р а г А ел 1!. РРЛЕИ ЕНИЕ ШРПдИИ ГЕРА $ й. Закон сохранения числа частиц вещества Все, что было сказано ранее, выясняет и подчеркивает замечательное подобие свойств света и вещества. Следует, однако, отметить одно очень важное различие. Даже в простейших ситуациях число присутствующих фотонов может изменяться во времени благодаря процессам испускания и поглощения. Напротив, число электронов и вообще число элементарных частиц вещества остается постоянным.
На это указывают многие факты атомной физики, да и сами успехи квантовой механики систем частиц подтверждают справедливость этого важного закона сохранения. На самом деле мы не имеем здесь абсолютногозанона сохранения, и различие между веществом н светом в этом пункте не столь очевидно, как это может показаться. С момента открытия (Андерсон, 1932 г.) познтрона — частицы той же массы,что и электрон, но противоположного заряда — стало известно, что в некоторых обстоятельствах возможно образование электронпознтронных пар (нспускание вещества), с другой стороны элек.
трон и позитрон при столкновении могут анннгилировать (поглощение вещества), освобождая энергию в виде излучения. Со. гласно закону эквивалентности массы н энергии, энергии, необ ходимая для порождения пары электрон — позитрон, по меньшей мере равна 2н!сг (ж1 Мэе). Другой пример испускания электронов (или позитронов) дает 6-распад атомных ядер. Но если ограничиться явлениями атомной физики, то позитроны отсутствуют, ядра устойчивы, а все передачи энергии по величине ниже порога образования электрон-позитронных пар; в этой си. туацни закон сохранения числа частиц строго соблюдается. В дальнейшем мы будем рассматривать только этот случай.
Закон сохранения числа частиц существенно упрощает построение и истолкование квантовой теории вещества. Различные квантовые системы, изучаемые нами, обычно состоят нз данного числа частиц вещества. Простейшая система включает только одну частицу (напрнмер, электрон во внешнем поле); ассоцинро ванная волна Ч"(т; !) в каждый момент времени есть функция координат, характеризующих положение этой частицы в пространстве. Атом водорода есть система из двух частиц (электрона и протона), находящихся во взаимодействии; соответствующая волна Ч" (т„т; г) зависит от положений т, и т этих двух частиц.
Сложный атом состоит из ядра с зарядом Яе в точке гг и с электронов в точках ть тм ..., Рг, ассоциированная волна выражается некоторой функцией Ч"(гг, ть тг, ..., тг',1). Сходным образом определяются волновые функции более сложных систем. З м, нвовходнмость волнового хтквнвння й 10. Необходимость волнового уравнения и условия, которым оно должно удовлетворять Мы видели, что интенсивность ассоциированной волны в данной точке в данный момент времени дает вероятность найти частицу в этой точке в этот момент времени. В квантовой механике мы постулируем, что волновая функция Ч' квантовой системы полностью определяет динамическое состояние системы, т.
е. что все предсказании, которые могут быть сделаны относительно различных динамических свойств системы в данный момент времени й следуют из значения функции Ч' в этот момент времени 1. Основная задача теории может быть сформулирована так: зная волновую функцию в начальный момент времени 1ь определить ее значения в последующие моменты времени. Для этого необходимо знать уравнение распространения волны Ч'. Вполне очевидно, что искомое уравнение не может быть получено путем какого-либо дедуктивного рассуждения.
Как всякое уравнение математической физики оно должно быть постулировано; единственным оправданием того или иного выбора служит сравнение теоретических предсказаний, получаемых с помощью уравнения, с результатами эксперимента. Тем не менее выбор уравнения лимитируется а рпоп' некоторыми условиями, вытекающими из требований, налагаемых на функцию Ч": А) Уравнение должно быть линейным и однородным; тогда волна удовлетворяет принципу суперпозиции, характерному для волновых процессов в общем случае. Именно, если Ч'1 и Ч"х являются решениями уравнения, то и всякая линейная комбинация Л~Ч'1 + Л,Ч"з этих функций есть решение того же уравнения. Б) Уравнение должно быть дифференциальным уравнением первого порядка относительно времени; именно в этом случае знание Ч' в данный начальный момент времени оказывается достаточным для определения последующей эволюции Ч', согласно гипотезе о том, что динамическое состояние физической системы полностью определяется заданием Чг.
С другой стороны, предсказания теории должны совпадать с предсказаниями классической механики в области справедливости последней. Другими словами, уравнение должно приводить к тем же законам движения волновых пакетов, что и теория де Бройля в приближении геометрической оптики. Это значит, что искомое уравнение должно обладать формальным сходством с некоторыми уравнениями классической механики (аринина соответствия). тО ' гл и. волны ввщвствл и ээхвнзннв шевдингвэл Следуя этим указаниям, мы довольно просто придем к уравнению Шредингера. Но прежде нам следует ввести одно математическое понятие, которое окажется чрезвычайно полезным в дальнейшем: понятие оператора. й 11.
Понятие оператора Рассмотрим функцию дЧ"/д1, т. е. производную по времени от Ч', можно сказать, что оператор д/д/, действуя на функцию Ч', дает функцию дЧ"/дй В общем случае, если некоторая операция позволяет сопоставить каждой функции Ч' в некотором функциональном пространстве одну и только одну вполне определенную функцию Чи в том же пространстве, то говорят, что Ч"' есть функция, получаемая в результате действия некоторого оператора А из этого пространства на функцию Ч', и записывают это так: '1'= АЧ'.
Оператор А является линейным, если его действие на функцию Х1Ч'1+ ХрЧ'ь т. е. на линейную комбинацию Ч'1 и Ч'е с постоянными (комплексными) коэффициентами (Ч', и Чгз принадлежат одному пространству) „выражается формулой А (А~Ч", + ЯчЧгз) = А~ (АЧ',) + Д, (АЧ'з). Среди операторов, способных действовать на волновые функ- ции Ч' Ч'(г;1) = Чг(х, у, г; /), ассоциированные с частицей, можно выделить два особенно важных типа линейных опера- торов: 1' дифференциальные операторы д/дх, д/ду, д/дг, д/дг и 2' операторы вида /(г, /), действие которых состоит в умно- жении функции Ч' на функцию /(г, 1). Исходя из некоторых линейных операторов, можно получать другие линейные операторы с помощью следующих алгебраиче- ских операций: а) умножения оператора А на постоянную с (сА) Ч' = с (А Т); б) составления суммы 5 = А + В двух операторов ВЧг == АЧ'+ ВЧ', в) получения произведения Р = АВ, где оператор В умно- жается вв оператор А РЖ вЂ” А ВЧ' — = А (ВЧ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
