1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 42
Текст из файла (страница 42)
д. В общем случае говорят, что наблюдаемые А, В, ..., Т. образуют полныи набор коммутирующих наблюдаемых, если они обладают общей базисной системой и эта система единственна. В этом случае любая наблюдаемая, коммутирующая с каждой наблюдаемой полного набора, по необходимости обладает той же базисной системой, поэтому ее собственные значения являются вполне определенными функциями собственных значений а, Ь, ..., 1 наблюдаемых А, В, ..., 1,; иными словами, эта наблюдаемая может рассматриваться как функция наблюдаемых набора.
Динамические переменные, представляемые полным набором коммутирующих наблюдаемых, могут быть одновременно точно измерены и образуют полный набор совместных переменных (5 )ХУ, 17). Если осуществить одновременное точное измерение значений этих переменных, то волновая функция системы будет собственной функцией наблюдаемых А, В, ..., Т., принадлежащей собственным значениям а, Ь... 1, обнаруженным в результате измерения. Лоскольку существует только одна собственная функция, обладающая этим свойством, то выполнение этих измерений полностью определяет волновую функцию физической системы.
Говорят, что динамическое состояние физической системы полностью определяется задание.и квантовых чисел а„Ь, ..., 1. В действительности, эта функция определяется только с точностью до постоянного множителя, но поскольку физически измеряемые величины, а именно статистические распределения результатов различных возможных измерений не зависят от выбора этой постоянной, можно придать ей любое значение, не меняя физической значимости волновой функции. Обычно волновую функцию нормируют на единицу, что оставляет произвольной постоянную фазу, не имеющую физического смысла. Осуществление физического эксперимента можно описать следующим образом. В начальный момент времени 1ь мы чприготовляем» систему, выполняя одновременное измерение полного набора совместных переменных, Таким образом, динамическое состояние физической системы в начальный момент времени оказывается полностью определенным.
еоз Э КЧ ЧИСТЫЕ И СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ В дальнейшем волновая функция физической системы эволюционирует во времени, подчиняясь уравнению Шредингера. В каждый последующий момент времени динамическое состояние системы таким образом точно известно, по крайней мере до того момента, когда оно будет возмущено вмешательством измерительного прибора. Наконец, в некоторый момент времени ~ мы осуществляем данное измерение. Поскольку волновая функция Ч" (1) в момент измерения известна, можно точно указать статистическое распределение результатов измерения. Повторяя опыт на очень большом числе г тождественных систем, мы получаем экспериментальное распределение, которое можно сравнить с теоретическим. й 16. Чистые и смешанные состояния На практике полное «приготовление» системы, упомянутое выше, осуществляется редко.
Чаще всего измеренные динамические переменные не составляют полного набора, и динамическое состояние системы известно не точно. В этих случаях прибегают к статистическим методам. Вместо строго заданного динамического состояния системы мы имеем статистическую смесь состояний. Не имея возможности описать состояние системы одной определенной волновой функцией, мы рассматриваем статистическую смесь волновых функций, причем каждая волновая функция входит со своим статистическим весом.
Подобно классической статистической механике, существует квантовая статистическая механика. Когда «приготовление» полное и, следовательно, динамическое состояние системы известно точно, говорят, что мы имеем дело с чистым состоянием, в противном случае говорят, о смеи1анном состоянии. В предсказании результатов измерений при смешанном состоянии статистика играет двойную роль: с одной стороны она отражает наличие чисто квантовых неопределенностей, связанных с неконтролируемым возмущением системы в операции измерения, с другой стороны — учитывает неполноту информации о динамическом состоянии физической системы.
Предположим, что в момент «приготовления» системы (, она может быть описана совокупностью волновых функций Ч'и>(~»), ..., ЧИАН(1»), ... со статистическими весами рь ... ..., р„, ... (2 р»=1) Пусть Чни(1), ...,Ч'<»1(1), ... решения уравнения Шредингера, соответствующие начальным значениям Чн" (1о),, Ч"1»1((») .. В момент времени ~ система представляется ансамблем этих функций Ч«И(1), ... ..., Ч'1»1(1), ... с теми же статистическими весами р1, ... ГЛ. Ю ФОЕМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ ..., рл, ...
Пусть (А)ь есть среднее значение результатов измерения некоторой величины ль в том случае, когда система находится в динамическом состоянии Чг™(Ц: (А (А)А = Тогда среднее значение результатов измерения Ф при статистической смеси состояний в момент времени 1 дается формулой (А) = 2 рь(А)А. Аналогично, если в;~А> есть вероятность получить результат аг, когда динамическое состояние системы представляется функцией Чпе>(1), то вероятность найти этот результат при измерении на смеси равна тнг= ЕРАти) .
(56) Важнейший пример квантовостатистического смешанного состояния дает система, находящаяся в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т. Здесь возможными динамическими состояниями являются собственные состояния гамильтониана Н системы, статистический вес данного собственного состояния зависит исключительно от соответствующего ему собственного значения Н и равен с точностью до нормировочной постоянной фактору Больцмана е-егьг, где Š— собственное значение Н, а й — постоянная Больцмана. Раздел У. АЛГЕБРА КОММУТАТОРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ й 17.
Алгебра коммутаторов и основные свойства коммутаторов Пока мы оперируем с коммутирующими наблюдаемыми, можно без ограничений пользоваться правилами обычной алгебры. Однако не все наблюдаемые заданной квантовой системы обладают свойством коммутировать друг с другом. Например, наблюдаемые квантовой системы размерности гт' являются некоторыми функциями наблюдаемых положения дг (1= 1,2,...,гт) и. наблюдаемых импульса р; (1= 1,2,...,)Х) ш), т.
е. наблюдаемых, не коммутирующих между собой. Коммутаторы д и р играют фундаментальную роль в теории. Они имеюг ы) Это верно постольку, поскольку квентоваи система имеет классический аналог. В дальнейшем мы введем дополнительные переменные типа спине, которые не имеют классического аналога. % !Т. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОММУТАТОРОВ 205 ВИД [7н д,[=о, [р„р,) =о, (57) [до рг) = !йбор (58) Соотношения (57) очевидны, прн этом второе следует из того факта, что операции дифференцирования переставимы, Соотношение (58) есть обобщение (53), причем подразумевается д р = — !й —.
дпл ' Ввиду того, что д и р не коммутируют, определение динамической переменной .Ф = А(дь ..., да; рь ..., ре) требует указания порядка расположения и и р при явном выражении функции А(дь ..., да, рь ..., ра). На практике А обычно выражается в виде полинома от р или бесконечного ряда по степеням р, коэффициенты которого суть функции д. Каждый член имеет вид произведения компонент р; и функций от д, расположенных в определенном порядке. Функция А, рассматриваемая как оператор, вполне определена только тогда, когда точно указан порядок операторов в каждом члене разложения. Важно установить, какой вид имеют коммутаторы д и р с заданной операторной функцией А. Если мы имеем дело с функциями только от д или только от р, то нетрудно получить соотношения: [дОР(дь ..., 1а)[=О; (59) [р,, а(р,, ..., р,)[=0; (60) д.' (61) Ин 0(рн, ра)[=+!й— до (62) др Соотношения (59) и (60) являются частными случаями общего правила, установленного в конце 9 14.
Чтобы доказать равенство (61), необходимо выписать оператор р, в явном виде и проверить действие левой и правой частей равенства на некоторую волновую функцию (см. уравнение (!!.9)). Уравнение (62) допускает ту же проверку, но в пространстве импульсов; напомним, что если Ф (рь ..., ра) есть волновая функция в пространстве импульсов, соответствующая Ч'(дь..., др), то функция в пространстве импульсов, соответствующая О~ЧТ(дь..., да), имеет вид др д Тот же результат можно получить, воспользовавшись правилами алгебры коммутаторов. Приведем здесь четыре основных 266 правила.
Они следуют из определения коммутаторов, и читатель без труда может проверить их непосредственным вычислением. Пусть А, В, С вЂ” некоторые линейные операторы. Тогда имеем: ~д, р"1=лгйр" '. Соотношение (62) доказано, таким образом, если О представляет собой одночлен от р, но согласно формуле (64) оно доказано и для случая, когда 6 выражается полиномом или, в общем случае, сходящимся рядом по степеням р. Для произвольных функций от г) и р можно написать [Ро А] = — Ей— дА дп [ди А]=(л —, (68) где правые части получаются формальным дифференцированием функции А, причем подразумевается, что порядок операторов р и д при явном выражении функции Л выбран правильно. Проиллюстрируем это иа примере квантовой системы в одном намерении.
Пусть [(д) есть некоторая функция д. Коммутаторы д и каждой иэ функций я(п) р~(ч)р, г*(д)рэ могут быть получены дифференцированием по р этих функций, однако это будут различные операторы. Действительно, повторным применением правила (62) находим: (ф рЧ (ч)) = 2(йИ (ч); (ч Ир) (й (г'р+ р)) (ч (р') 2(й[р. Аналогичным образом (р.
Ф'Л вЂ” — (йр')'; (р Ир) =-(йИ'р; (р (р') - — (йГЛ'. ГЛ. Ч,ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОН МБХАИИКИ [А, В] = — [В, А]; [А, В + С] = [А, В] + [А, С]; [Л, ВС] = [А, В] С + В [А, С]; [А, [В, СЦ+ [В, [С, АЦ+ [С, [А, ВЦ = О. Повторным применением правила (65) получим также л — 1 ]А, В"1 = 2 В'[А, В] В" ' '. В частности, для системы в одном измерении имеем (63) (64) (65) (66) % !8. СООТНОШЕНИЯ КОММУТАЦИИ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА йет й !6.
Соотношения коммутации для момента импульса В качестве приложения правил (63) — (65) алгебры коммутаторов вычислим коммутаторы составляющих момента импульса частицы: 1— = [гр[ Имеем: [1„, 1а[= [ур, — гр„, гр — хр,[ = [Уры гры[ + [гру хры) =у[р„г] р„+ ру [г, р,)х = 15 (хр„— ур,) = 151,. правило (64) правило (65) Складывая ати равенства, имеем (правило (64)) [1„18[ = О, где оператор (70) 1'=1~+1„'+4 (71) есть квадрат длины вектора 1. Операторы 18 и 1, коммутируют; следовательно, они могут ,быть одновременно точно определены..Пары (18, 1,) и (18,1 ) обладают тем же свойством. м) Слова «в общем случае» имеют важное значение. Три компоненты не имеют общей базисной системы, ио обладают общими собственными функ. киями, теми для которых 1, =)ы =- 8« = О; эти фувккии зависят только у р '"'-«т««*. правления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
