1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Мы увидим, что, исключая некоторые особые случаи, сопоставляемый частице волновой пакет с течением времени «расплывается» и через достаточно большой промежуток времени может занимать сколь угодно значительную область пространства. Поэтому полученный классический образ частицы приемлем только на конечных интервалах времени. Другой подход основан на отождествлении квантовой системы со статистическим ансамблем классических систем.
Точнее, с помощью волновой функции определяется классический статистический ансамбль, плотность которого в каждой точке пространства конфигураций равна плотности вероятности присутствия в данной точке квантовой системы, а затем доказывается, что в пределе л - 0 эволюция этого ансамбля подчиняется законам классической механики. Этот подход мы рассмотрим в $4. С математической точки зрения эта формулн- 214 Гл. ее !(ллссическое ПРНБлижение и метод ВкБ ровка классического приближения') имеет ряд преимуществ, так как уравнения классической механики при этом подходе получаются как предельный случай уравнения Шредингера; условия применимости этого приближения совпадают с условиями справедливости приближения геометрической оптики. Классическое приближение тесно связано с одним методом приближенного решения уравнения Шредингера, известного как метод ВКБ з) и применимого, когда уравнение Шредингера может быть заменено своим классическим пределом всюду, кроме некоторых областей пространства около сингулярных точек.
Метод ВКВ излагается во втором разделе этой главы. и 2. Теорема Эренфеста Теорема Эренфеста выражает закон изменения во времени средних значений координат д и сопряженных импульсов р квантовой системы. Теорема утверждает, что уравнения движения этих средних величин формально тождественны уравнениям Гамильтона классической механики, если только все величины, фигуриру!ощие в обеих частях классических уравнений, заменить на соответствующие средние значения. Теорема Эренфеста непосредственно следует из общего урав.нения (т(.72), если применить его к переменным положении и импульса. Пусть П!, ..., дн — координаты (декартовы), рь ..., ря— сопряженные им импульсы и Н(г(!, ..., дл, р!, ..., ря) — гамиль-тониан системы.
Согласно уравнению (Ъ'. 72), (й — „т (д;)=((дн Н)), (й и (р()=$рп Н)). Вычисление коммутаторов в правых частях уравнений было проведено в гл. эг' (уравнения (Н.87), (ьг. 68)). Отсюда следует результат 4): др! '1 Сушествует несколько вариантов указанной формулировки, ибо опреде.яение классического статистического авсамбля по заданной волновой функции неоднозначно (см. задачу 4). В $4 приводится простейший из этих вариантов. з) Математические приемы метода ВКВ были введены лордом Рэлеем (1912 г.) при решении некоторых проблем распространения волн. Первые применения к задачам квантовой механики принадлежат Г.
Ггжеффрису (!923 г.); в дальнейшем метод был одновременно развит Г. Веитнелем, Г. А. Крамерсом и Л. Вриллюэиом (!926 г.). дН дН ') С учетом правильного определении операторов †, — , см. стр. 206. др,. ' дя 2!о- 5 т. теорема эрепоестА Следует хорошо понимать связь между системой уравнений (1) и канонической системой Гамильтона. Вообще говоря, нельзя утверждать, что средние значения (йч> и (ру> следуют законом классической механики. Производные по времени классических величин йч и рт являются вполне определенными функциями дН/дрь — дН(дд; этих величин; эволюция последних с течением времени полностью определяется заданием их значений в начальный момент.
Согласно же уравнениям (1) производные. с((д;>/Ж, а((рг>/Ж равны некоторым средним значениям, вычисление которых в общем случае требует знания волновой функции Чг(1). Средние значения (д,>, (р;> следуют законам классической механики только в той мере, в какой можно заменить в правых частях (1) средние значения функций на функции. средних значений, именно (др. ()ы ' ' ' ' тл' ' ' ' ' ' ' Рл)у' на ~ Н((с)а> (а)л>; (Ра> (Рл>), (2а)- (зч ь '''' )л' 'ь '''' л)у' на д Н((а)~> ... () >; (р~> . (рл>), (2б): Эта подстановка справедлива только в том случае, если гамильтониан есть поливом второго порядка по д и и (свободная частица, гармонический осциллятор, заряженная частица в постоянных электрическом и магнитном полях, см.
задачи 1 и 2). Во всех остальных случаях, делая подстановку, мы пренебрегаем флуктуациями д и р оноло их средних значений. Рассмотрим в качестве примера случай частицы в потенциальном поле: уу = + 1'(г). р 2ал Введем силу )т — Кгаб 1'(г). Уравнения Эреифеста в этом случае таковы." — (г) —, — (р) = ()т) (р) а(г ла ' пт нли ла "а т (а) (ЗЬ что является квантовым аналогом уравнения Ньютона. Чтобы среднее положение (г) = — ~ ар" (б т) г'р (г, 1) Лг э(е ГЛ.
гг. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕтоп ВКБ действительно удовлетворяло классическому уравнению Ньютона, необходимо в уравнении (3) заменить среднее значение силы (р) = ~ ч ' ( . В р (г) ч (, () дг на значение (г((г) ) силы в точке (г) . Если сила вообше равна нулю (свободная частица) или линейно зависит от радиуса-вектора г (гармонический осциллятор), то справедливо точное равенство (г) = г"((г) ). Во всех остальных случаях указанная замена оправдана только, если волновая функция остается локализованной в достаточно малой области пространства„ где величину силы можно считать практически постоянной.
$3. Движение и расплывание волновых пакетов Для того чтобы движение волнового пакета ьюжно было сопоставлять движению классической частицы необходимо, вопервых, чтобы изменения во времени положения пакета в пространстве и его импульса следовали законам классической механики, а во-вторых, чтобы размеры пакета в пространстве были достаточно малыми в любой момент времени. В действительности, как это предсказывает теорема Эренфеста, первое условие редко выполняется без второго; рассмотрим поэтому второе условие.
Основные результаты можно получить, исследуя движение волнового пакета в одном измерении ф(д,г). Пусть гамильтониан имеет вид Н= й' + 1~(Ч). Выясним, как изменяются во времени средние значения (д) и (р), а также соответствующие дисперсии К = (Лц)'= (Ч ) — (р)' ю — = (йр') = (р') — 0»' В классическом приближении пакет представляет частицу, имеющую координату и импульс Чкл = (Ф, ркл = (р) соответственно' ).
Отметим, что энергия этой классической частицы Е„= й + гг((д)) не равна среднему значению (Н). Если классическое приближение справедливо, Е,„постоянна во времени вместе с разностью е = (Н) — Еею (4) ') При рассмотрении волнового пакета в одном измерении в гл. П положение центра пакета определялось из условия стационарностн фазы; здесь же применяется среднее значение (д). В классическом приближении различие ме1кду этими определениями пренебрежимо мало, $ 3.
ЕВижение и РАсплыВАние ВолнОВых пАкетОВ 2!Т (6) Используя эти разложения, можно получить общие результаты, ие зависящие ат конкретной формы потенциала У(п). Величины (а) и (р) подчиняются уравнениям Эренфеста; — <ц> =— <р> г(Г ш ' г< — <р) = — (1"). г<! (9а) (96) Эти уравнения будут тождественны классическим, если правая часть уравнеиия (9б) может быть заменена первым членом своего разложеипя (8), т. е.
г/у ~ когда можно пренебречь членом ХУ у2 н членами более высокого порядка малости. Соответствующие члены исчезают, если У"'(и) всюду равно аулю, т. е. если У(д) является полииомом самое большее второго порядка по д и, в частности, при У(а) = саз (гармонический осциллятор) или У(а) = 0 (свободная частица). В общем случае необходимо, чтобы потенциал У(д) даста. точно медленно изменялся на расстояниях порядка Ч/Х, т. е. иа расстояниях порядка протяженности волаового пакета, так чтобы влияние У"' н проазводных более высокого порядка в разложении (8) было достаточно мало.
Если предположить выполнение этих условий (что эквивалентно предположению о быстрой скодимасти разложений (7) и (8)), то аля постоянной е (см. уравнение (4)) получаем выражеаие ы ! г е = — + (У) — У, — — (е+ т~„~х) сапа(, ( 10) связывающее квадраты флуктуаций ы и Х. Ограничимся исследованием эволюции Х с течением времени. Величина у„ есть среднее значение оператора дт — (д) ', явно зависящего от времени, так как (д> есть функция времени. Применяя соотиошеиие (Н.72) к этому оператору, получаем после вычислений 1 — К вЂ” ((РЧ + г<Р) — 2 (Р) (Е>). ш Повторяя такие же вычисления для г<у<г<Г, находим г(эх 2 го 1 — — — — ((У'ц + ЕУ'> — 2 (ц> (1" >).
лГК пт ш Если протяженность пакета Ь72 остается малой, естественно замените функции У(9), У'(д) их разложениями Тейлора около точки (а), именна (Ч) У +(Ч (д))Укл+ 2 < (Ч>) Укн+''" (бг 1' И)-Ук.+ <9 — (Е>) У.,+ 2 (Š— (Е» Укл+"" 1 Здесь Ук, 1/к.... равны значениям функций У, У', ... в точке и = = (д). Если усредвить обе части равенств (5) и (6), то получится своего рода разложение средних величин в ряд по степеням величины 79 <У)-1„,+-., ХУ'„'.+ ..., (7) (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
