1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 52
Текст из файла (страница 52)
У!!. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 264 Поэтому, если а Ф Ь, то (о ~ и)=0. Во всех этих рассуждениях молчаливо предполагается, что собственные векторы принадлежат пространству Гильберта. Но такая постановка проблемы собственных значений оказывается слишком ограниченной и не может удовлетворить всем потребностям квантовой теории. В качестве допустимых собственных решений мы должны рассматривать также и векторы с бесконечной нормой, удовлетворяющие условиям, упомянутым в конце 5 4.
Эти векторы принадлежат собственным значениям из непрерывного спектра. Трудности, возникающие при исследовании непрерывного спектра, подробно обсуждались в гл. ТГ и мы не будем возвращаться к ним здесь. Основные результаты могут быть без труда выражены в наших новых обозначениях.
Свойства 1), 2) и 3) остаются справедливыми в случае непрерывного спектра. Что же касается свойства ортогональности, то его удобно записывать с помощью б-функции Дирака. Вернемся в качестве примера к эрмитовому оператору из 9 'у'. 9, спектр собственных значений которого содержит ряд дискретных значений а, и непрерывную часть а(т). Собственные функции !р!„', относящиеся к собственному значению а„, представляют ортонормированные кет-векторы, которые мы обозначаем символом (пг).
Аналогично собственные функции Ч!!')(н, р) представляют кет-векторы (трг). Соотношения ортонормированности между различными кет-векторами записываются в виде (уравнение (ТГ. 38) ): ( ~п'г')=б„„б„, (пг ~ ч'р'г') = О, (трг ! т'р'г') = б (ч — ч') б (р — р') б„. (30а) (30б) (30в) Если множество собственных векторов растягивает все пространство, иначе говоря, если всякий вектор с конечной нормой может быть разложен в ряд (или интеграл) по этим собственным векторам, то говорят, что они образуют полную систему и что эрмитов оператор является наблюдаемой. Среди эрмитовых операторов пространства э только наблюдаемые допускают физическую интерпретацию.
Выяснение вопроса о том, является ли заданный эрмитов оператор наблюдаемой, часто является сложной математической задачей. Однако существует очень важный класс операторов, для которых эта задача решается просто — это операторы проектирования. З !0. ПРОЕКТОРЫ (ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ПРОЕКТНРОВАПИЯ! 2бб ф 1О.
Проекторы (или операторы проектирования) Пусть 5 — подпространство пространства Гильберта О', а 5х — его дополнение. Всякий кет-вектор )и) обладает проекцией на подпространство 5 и проекцией на подпространство 5"; эти два вектоРа )из) и ~изх) опРеделЯютсЯ единственным обРазом, так что )гг) — (и) 1 (их) (31) Каждому кет-вектору )и) соответствует, таким образом, один и только один кет-вектор ~ и,). Легко видеть, что это соответствие линейно. Оно определяет некоторый линейный оператор Рз, который называется оператором проектирования на подпространство 5 (нли проектором на 5): Р ~ и)=!и ). Это эрмитов Оператор. Действительно, каким бы ни был о), (и!Р !О)=(и!Оз)=(и ~ оз)=(и !и), следовательно, (и~Р =(и, ~.
Очевидно, что Рз является наблюдаемой с двумя собственными значениями (> и 1, подпространствами которых являются, соот- ветственно, 5х и 5. Кроме того, поскольку при любом ~ и), Р' !и)= Рз(Р )и))= Р ~и ) =~и ) = Р ~и), Рз удовлетворяет операторному уравнению Рз = Рз. Обратно, можно утверждать, что всякий эрмитов оператор Р, удовлетворяющий уравнению Р'= Р, (32) является проектором. Подпространство 5, на которое он проектирует, является подпространством, принадлежащим его собственному значению 1, Действительно, если р есть собственное значение етого оператора, а )р) — одни из соответствуюпгих собственных векторов р~р>=р!р>, то, согласно уравнению 132), о=(Р— Р>~ р>=(р' — р>!р>, и, поскольку кет-вектор )р) не равен нулю, рз — р= О.
Иначе говоря, возможными собственными значениями явля!отса голько О и Е Гл. Р11. мАтемАтическии АппАРАт 266 1и)=(и )+ !и"). (35у Согласно предположению (а(и,") =О, (и„) = с) а). Оператор Р есть наблюдаемая, так как всякий вектор (и) может быть представлен в вкде суммы собственных векторов оператора Р. Действительно, можно написать 1и) Р! и)+ (1 — Р) !и). (ЗЗ) Вектор Р(и) есть собственный кет-вектор оператора Р, принадлежащий собственному значенн1о 1, так как по уравненн|о (32) Р'! и) — = Р (Р1и)) = Р ! и).
Вектор же (1 — Р))а) есть собственный вектор, принадлежащий собственному значению О, нбо Р (! — ! ) ! н) = (Р— ! ') ! и) = О, Нетрудно проверить, что векторы Р)и) н (1 — Р) !и) ортогональны друг другу, а поэтому сумма нх норм равна норме вектора !и). Таким образом, это векторы с конечной нормой, онн принадлежат пространству Гнльберта. Пусть 5 есть подпространство собственных векторов Р, относящихся к собственному значению 1. Дополнительное к 8 подпространство он есть подпространство векторов, ортогональных векторам подпространства 8; оно образовано множеством собствепкых векторов Р, првнадлежащнх собственному значению О. Согласно разложению (ЗЗ), действие Р на произвольный вектор (и) сводится к проектнрованню этого вектора на Я. Поэтому оператор Р и называется оператором проектирования на 5. Тогда ясно, что оператор (1 — Р) есть оператор проектнровання на 8".
Свойство, касаюшееся нормы Р~!и), упомянутое выше, может быть переписано в виде О~<(и 1Р! и)<(и!и). (34) Если (и! Р!и) = О, то вектор !и) содержится целиком в 5". Если (и!'Р~и) = (и!и), то вектор !и) содержится целиком в 5. Заслуживают упоминания два предельных случая, Когда подпространство 5 совпадает с самим пространством Ю, всякий кет-вектор ~ и) является своей собственной проекцией: имеем (и!Р!и) = (и!и) прн любых !и); подпространство 5к пусто. Это случай Р = !. Другой крайний случай реализуется тогда, когда подпространство 5 пусто (дополнительное подпространство 5" совпадает с самим пространством ю): (и~Р!и) = О прн любом ~и).
Это случай Р = О. Приведем несколько типичных примеров операторов проектирования. Пусть кет-вектор (а) нормирован на единицу. Он растягивает одномерное подпространство. Обозначим символом (и,) проекцию произвольного вектора !и) на зто подпространство 1 )О. ПРОЕКТОРЫ (ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ) 257 Умножая слева Обе стороны уравнения (35) на (а!, получаем с = (а!и).
Следовательно ! и,) = ! а) (а ! и). Таким образом, оператором проектирования на !а) является оператор является оператором проектирования на э!. До сих пор рассматривались только векторы с конечной нормой. Но как мы знаем, можно рассматривать и последовательности кет-векторов !$), зависящих От непрерывного индекса, изменяющегося в некоторой области (9), 9!). Предположим, что собственные дифференциалы, образованные из этих кет-векторов, имеют конечную норму и принадлежат исследуемому пространству Гильберта. Поэтому, как было выяснено ранее, любая линейная комбинация этих векторов также принадлежит пространству Гильберта, а множество линейных комбинаций образует подпространство полного пространства Гильберта; это подпространство Юе натянуто на кет-векторы !$). Предположим, далее, что векторы !$) удовлетворяют условию «ортонормированности» (е' ! 9> = б (е' — 9).
Очевидно, что оператор (38) (39) есть оператор проектирования на д'ь На самом деле, вектор 9 А. Месс»с Р„= ! а) (а ! ((а ! а) = 1), (36) Операторы проектирования этого типа мы будем называть элементарными проекторами. Рассмотрим теперь последовательность ортонормированных векторов )1), )2), ..., !)))') (и) !и) =Ь „(т, и = 1, 2, ..., Л)). На эти векторы натягивается некоторое подпространство О ! (с числом измерений ))!) того пространства, которому принадлежат указанные векторы. Нетрудно показать, что оператор Р, = =~!П))(т ! (37) пс ! гл.
хи математическим аппдпат 258 получаемый прн действии оператора Рз на произвольный вектор !и), несомненно принадлежит вг, ибо выражается в виде линейной комбинации векторов ~й); напротив, разность (1 — Рз)~и) ортогональна каждому вектору последовательности )$): (й')(! — Рз)!и) = н Ф =(К')и) — ~ (Ц')К) г!й($)и)=(К')и) — ~ 6(й' — 5)г/й(К) и)=0 $ и, следовательно, ортогональна Ез. ф 11. Алгебра проекторов Проекторы, действующие в пространстве Гильберта, имеют простой геометрический смысл и поэтому представляют большой интерес'). Приведем здесь основные положения алгебры этих операторов.
Ввиду того, что доказательства в большинстве случаев вполне элементарны, мы ограничимся указанием только принципа, оставляя читателю возможность провести рассуждения до конца. Пусть Рь Р/ — операторы проектирования на подпространства д'ь Е/ пространства Гильберта и/. Чтобы произведение Р!и! = — Р;Р/ также было оператором проектирования необходимо н достаточно, чтобы Р/ и Р/ коммутировали, Условие это необходимо, ибо без него Ррл/ не был бы эрмитовым оператором.
Но оно н достаточно, так как в этом случае Р!//! эрмитов оператор, причем з 2 з Ри/, — Р,Р/Р,Р/ — Р,Р/ — Р,Р, — Р! / Соответствующее подпространство 8'!гн есть пересечение подпространств Ю/ и /й„т. е. подпространство векторов, обгцих для д'г и 8'/. Здесь возможны два крайних случая: тот, когда д'!//! идентично одному из двух указанных подпространств, и тот, когда д"!//! пусто. В первом случае, например, д/ является подпространством Ю'ь во втором — подпространства К и Р/ ортогональны. Нетрудно, далее, доказать следующие два положения. з) Рассмотрение проблемы непрерывного спектра методом фон Неймана основано на систематическом изучении свойств проекторов в пространстве Гильберта; этот метод дает возможкость преодолеть все трудности непрерывного спектра, не выходи из пространства Гильберта (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
