1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В частности, решение в представлении К) проблемы собственных значений оператора Б есть задача, математически эквивалентная нахождению преобразования 5, диагонализующего. матрицу (Я)о. Аналогично решение в представлении (В) проблемы собственных значений оператора Я эквивалентно нахождению преобразования 5т, диагонализуюшего матрицу (Гг) . Важно выделить те величины и те соотношения, которые могут быть определены независимо от вида представления.
Этим качеством обладают величины и соотношения, определяемые непосредственно с помощью векторов и операторов. Так, скалярное произведение двух векторов есть величина, инвариантная. относительно изменения представления. Соотношения эрмигового сопряжения и все алгебраические уравнения между векторами и между операторами также облада>от этим свойством инвариантностн. Отметим еще сохранение следа: след (если он сходится) матрицы, представляющей оператор, сохраняет свое значение независимо от выбранного представления; эта величина характеризует сам оператор.
Нетрудно показать, что (задача 6) 8р( и)(и /=(и ~и), (88) Бр~ и)(о (=(о ~и). (89~ й 22. Унитарные преобразования операторов и векторов Матрица 5, введенная в предшествующем параграфе, не представляет никакого оператора. Матрица, представляющая некоторый оператор, определена в заданном представлении, в. то время как матрица преобразования зависит как бы сразу от двух представлений. Это хорошо видно на примере, разобранном выше, ибо матрица 5 не является квадратной. Тем не менее в некоторых случаях может оказаться, что существует взаимооднозначное соответствие между базиснымш ГЛ. Юс МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ векторами двух разных представлений.
В этом случае векторы обеих базисных систем нумеруются одной системой индексов. Рассмотрим, например, представление Я> с базисной системой ~и), нумеруемой дискретным индексом и, и представление Я> с базисной системой ~а), нумеруемой тем же самым индексом.
Два кет-вектора 1и) и 1й), нумерусмые одним индексом, как-то соответствуют один другому. Пусть это соответствие выражается оператором и: ! п) = и1и). и = и(2:~ а>(а ~) = 2".(и><а ~ и'=2:~ а) <.~; Тогда (90) и ~ а>=и 1и>, (92) можно осуществить преобразование самих векторов и операторов пространства м, поставив в соответствие каждому вектору )и) вектор 1й) = и)и), а каждому оператору А — оператор А = иАит. Ввиду того что оператор и уннтарен, очевидно, что преобразование и сохраняет соотношения сопряжения и уравнения между векторами н операторами.
В частности: а) сохраняется скалярное произведение: <й1А1д) = <и)А 1о); б) сохраняется эрмитовость. Если А — наблюдаемая, то .А есть наблюдаемая с тем же спектром собственных значений, ибо уравнение на собственные значения А ! а) = а ~ а) переходит в уравнение А!й> =а!й). (93) поэтому, учитывая условия ортонормированности )и) и )й), получаем ии» = и~и = 1. (91) Следовательно, и есть унитарный оператор. Вообще же унитарная матрица (т1и>, опоеделяющая переход от представления (<>> к представлению (я), есть матрица, представляющая и в представлении (ф. В том случае когда можно построить унитарный оператор и, можно определить операцию, которая является в некотором смысле дополнительной к операции изменения представления.
Вместо того чтобы преобразовывать базисную систему (ф в новую базисную систему (ф, векторы которой даются уравне- нием ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Собственные кет-векторы А, принадлежащие заданному собственному значению а, являются преобразованными собственными кет-векторами А, принадлежащими тому же собственному значению. Заметим, что матрица, представляющая А в (О), совпадает с той, которая представляет А в (сг).
Аналогично вектор [й) имеет в (1;)) те же компоненты, что и вектор !а) в Щ. Произвести последовательно два преобразования с операторами У и У значит то же самое, что произвести одно преобразование с оператором Ф' = )гУ. Поскольку оператор ()У унитарен, результирующее преобразование будет унитарным. Иными словами, произведение двух унитарных преобразований есть унитарное преобразование. Если оператор У, определяющий унитарное преобразование, «бесконечно близок» едннице, то преобразование называется инфинитезимальным.
Оператор У принимает вид У вЂ” = 1+ йеР, (сц) где е есть бесконечно малое вещественное число. Условие унитарности (91) принимает вид (1 — !еГ ) (1 + геР) = (1 + !еР) (1 — !еР ) = 1 или, сохраняя только члены первого порядка по е, Р= Рт. Следовательно, оператор Р эрмитов. При инфинитезимальном преобразовании векторы и операторы преобразуются по формулам ! й) маг ! и) + б ! и) = (1 + !еР) ! и), А = А+ЬА=(1+ !еР) А(1 — геР) =А+!е[Р, А) или б ! и) = геР ! и), бА=!е[Р, А1.
(95) (96) ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ к (и ! Р, ! и) ((и ! и) г 1 для каждого вектора !и) в пространстве Гильберта. Е Пусть заданы два проектора Рь Рь По определению Р~ не превосходит Рь если Р,Р, = Рп при этом пишут Р~ < Рь Показать, что если Р~ < Рь то (и(Р~!и) «< (и!Р~!и) при любом )и), и обратно. Показать либо непосредственно, либо используя это последнее свойство, что установленное неравенство действительно удовлетворяет аксиомам неравенств, а именно: а) если Р,<Р,и Р~<РьтоР =Рги б) если Р~<Р~ и Р,<Рмто Р~<Рь 2.
Пусть Рь Рь ..., Р» — проекторы. Показать, что нх сумма также является проектором в том и только том случае, если гл ч!! млтнматическии АИЛАРАТ 3. а) Наблюдаемая А обладает конечным числом Н собственных значений. Обозначим этн собственные значения буквами аь аь ..., аа н положим )(А)=(А — а,)(А — а) ... (А — а )=(А — а„)л„(А) Показать, что !(А) = О и что оператор проектирования Р. иа падпростран- ство и-го собственного значения дается выражением Р„= Кч (А)!д„(ал) б) Доказать обратное свойство, а именно.
если А есть эрмитов оператор, удовлетворяющий алгебраическому уравнению порядка У !'(А)ам (А — а,) (А — а ) ... (А — а ) = О, и если он не удовлетворяет никакому другому алгебраическому уравнению более низкого порядка, то зто наблюдаемая, обладающая Ф собственными значениями, которые суть корни (обязательно вещественные и различные) уравнения )(х) = О.
4. Показать, что матрица порядка Кч а) есть матрица, кратная единичной, если она коммутирует со всеми матрицами порядка Ф! б) есть диагональная матрица, если она коммутирует со всеми диагональными матрицами порядка Н. б, Показать, что: а) для того чтобы преобразование сохраняло комплексную сопряженность матриц необходимо и достаточно, чтобы матрица преобразования была вещественной; б) для того чтобы преобразование сохраняло транспоннроваиность матриц необходимо и достаточно, чтобы матрипа преобразования была ортогональной. 6. Пусть (и) и (о) — два вектора с конечной нормой Показать, что Яр(и)(и(=(и(н), Зр(и)(о(=(о(и).
7. Пусть Н есть положительно определенный эрмитов оператор. Показать, что при любых )и) и )о) ((и ( Н ( о) Р (~ (и (Н ) и)(о( Н ( о), и что равенство (и!Н)и) = О необходимо влечет за собой Н)и) = О. Пока. зать, кроме того, что Яр Н ) О, причем знак равенства реализуется толька, если Н = О. 8. Показать, что если Н и К являются двумя положительно определен- ными наблюдаемыми, то Зр НК > О, а равенство влечет за собой НК = О. й. Пусть А — некоторый линейный оператор.
Показать, что А4А есть положительно определенный эрмитов оператор и его след равен сумме квад- ратов модулей элементов матрицы, представляющей А в некотором произ- вольно выбранном представлении. Вывестн отсюда, что Бр А А > О, а равен. Ф ство выполняется только, если А = О. ГЛАВА ЧП1 ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Б. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ й 1 Введение В классической физике динамическое состояние физической системы в каждый момент времени определено, если известны значения динамических переменных, характеризующих систему. Этн значения могут быть в принципе определены все одновременно с любой степенью точности.
Поэтому задачей классической теории является определение динамических переменных физической системы и исследование уравнений движения, которым они подчиняются. В квантовой теории соответствие между динамическим состоянием и динамическими переменными оказывается далеко не столь прямым, В процессе измерения какой-либо динамической переменной динамическое состояние системы изменяется год воздействием измерительного прибора. Если в классической физике этим изменением обычно пренебрегают, то на микроскопическом уровне этого сделать уже нельзя; модификация состояния системы предстает как непредсказуемое и неконтролируемое возмущение, ограничивающее возможность одновременного измерения всех динамических переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
