1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Вообще всякая функция Щ) в этом представлении выражается диагональной матрицей (т ~7(Я) ~л)= ~(д„) 6 „. Операторы, коммутирующие с Я, также представляются простыми матрицами. Действительно, если [Х, Я) = О, то (д„— д )(щ ~Х ~л) =О и поэтому (т~Х/п) = О для всякой пары индексов (гп, п) таких, что д Ф и„. Иными словами, все элементы матрицы, индекс строки и индекс столбца которых относятся к различным собственным значениям ф равны нулю (ср. $ !5).
Все результаты без труда распространяются на всякое пространство д'1 Я д'ь получающееся путем тензорного умножения пространств д', и д',. Векторы и операторы, образованные тензорным умножением, могут быть представлены матрицами, которые являются тензорными произведениями матриц, представляющих векторы и операторы пространств К и д'ь й 20. Преобразования матриц Рассмотрим вновь матрицы конечного порядка.
Будем обозначать прописной буквой квадратные матрицы порядка М, а строчной буквой — йГ-мерные векторы (правые и левые). Пусть Т вЂ” несннгулярная матрица (Т-' существует). Эта матрица з ю. пгвовгхзовзння мхтгиц позволяет определить преобразование подобия матрицы А по. формуле А'=ТАТ '. (75~ Соответствие между А и А' взаимооднозначно; матрица А получается из А' в результате обратного преобразования А = Т 'А'Т. (76~ Такое преобразование сохраняет след (шпур) и детерминант матрицы ЗрА=ЗрА', йетА=де1А' (77). (это следует непосредственно из указанных выше свойств шпура и детерминанта произведения матриц).
Равным образом очевидно, что такое преобразование сохраняет всякое алгебраическое соотношение между матрицами. Если, например, мы имеем А = ХВС + 1хВЕЕ, то умножая почленно слева на Т н справа на Т ' и вставляя там, где это нужно, произведение Т вЂ” 'Т, получим ТАТ = ХТВТ ТСТ + 1хТОТ 'ТЕТ 'ТЕТ ', т. е. А' = ХВ'С'+ 1х0'Е'Е'. Аналогично можно определить преобразование правого вектора и и'=Ти, и=Т 'и' (78~ и левого вектора о о'=оТ ', о=о'Т (79). Нетрудно проверить, что указанное преобразование в самом общем случае сохраняет все алгебраические уравнения, в которые входят квадратные матрицы н векторы обоих типов. Заметим также, что если с — произвольная постоянная, то квадратная матрица преобразуется с помощью Т и еТ одинаково; правый вектор при этом умножается на с, а левый — на 1/с, В то же время это преобразование в общем случае не сохраняет соотношений сопряженности между матрицами (задача 5).
Посмотрим, например, какому условию должна удовлетворять матрица Т, чтобы преобразование сохраняло эрмитовую сопряженность. Чтобы из А'= ТАТ ' следовало А'~=ТА Т ', какой бы ни была матрица А, необходимо, чтобы ТАТ =(ТА Т ) =(Т ) АТ', ГЛ. Н!ь МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ или, если умножить равенство слева на Т и справа на Т, Т ТА = АТ Т. Необходимо, следовательно, чтобы матрица ТТТ коммутировала со всеми матрицами А, т. е. чтобы она была единичной с точностью до постоянного множителя Т Т=с1. Далее, для того чтобы из и' = Ти следовало и'т = и«Т-' при любом и необходимо, чтобы и = Т" Ти при любом и, т. е.
с = В Это значит, что матрица Т должна быть унитарной. Очевидно, что это условие, необходимое для сохранения условия эрмитовой сопряженности, является также и достаточным. Преобразование, матрица которого является унитарной, называется унитарным преобразованием. Поскольку в этом случае (1-' = (1т преобразования матрицы А, правого вектора и и левого вектора о выражаются формулами: А' = (1АУ~, А = (1~А'(1, и'=(1и, и=У и', (80) Как и всякое преобразование подобия, унитарное преобразование сохраняет след и детерминант матриц и все алгебраические уравнения между матрицами и векторами. Но, кроме этого, оно сохраняет и эрмитово сопряжение. Далее, имеют место две следующие фундаментальные теоремы, которые мы приведем без доказательства. А) Всякая эрмитова матрица Н может быль приведена к диагональному виду с помощью унитарного преобразования Н' = ((Н(1~, Н' — диагональная.
Диагональные элементы Н' суть «собственные значения» Н. Все они вещественны (Н' — эрмитова матрица) и являются решениями секулярного уравнения бе((Н вЂ” х1) = О. Б) Чтобы две эрмитовы матрицы Н, К могли быть одновременно приведены к диагональному виду с помощью одного унитарного преобразования необходимо и достаточно, чтобы они «оммутировали. Все эти определения и свойства, относящиеся к матрицам конечного порядка, без труда распространяются на случай бесконечных матриц. Всякая бесконечная матрица Т, обладающая обратной матрицей Т ', определяет преобразование подобия $2!.
сменА пгедстАВления квадратных матриц и векторов (правых и левых) при выполнении условий сходимости соответствующих сумм и интегралов. В противоположность случаю конечных матриц нет необходимости, чтобы Т была обязательно квадратной матрицей. Конечно, строки и столбцы матрицы (квадратной), подвергающейся преобразованию, должны нумероваться той же системой индексов что и столбцы Т, а также компоненты правых и левых векторов. Но строки и столбцы преобразованной матрицы и компоненты преобразованных векторов нумеруются той системой индексов, которой нумеруются строки Т.
Свойства сохранения следа (при условии его сходимости), алгебраических уравнений и эрмитового сопряжения (для унитарных матриц преобразования) справедливы н для бесконечных матриц. Что же касается фундаментальных теорем о диагонализации эрмитовых матриц унитарным преобразованием, то они не справедливы для всех эрмитовых матриц, но мы будем предполагать, что они выполняются в рассматриваемых нами случаях. 9 21. Смена представления Ра=— ~!$>Ж(11=1. (82) .
Базисные векторы одного представления могут быть разложены по базисным векторам другого представления в виде ~п)= ~! $)с(К(К!п), ~$)= ~Х !п)(п~В). (83) аа Вернемся к проблеме матричного представления операторов и векторов векторного пространства Ю. Каждой базисной системе векторов в этом пространстве соответствует некоторое представление. Следует научиться переходить от одного такого представления к другому. Имеются в виду, конечно, различные представления одного и того же вектора или оператора. Мы увидим, что переход от одного представления к другому совершается с помощью унитарного преобразования.
Возьмем для определенности две базисные системы: одну, образованную собственными векторами ~п) (и = 1,2...,,со) наблюдаемой Я из $19, и вторую, образованную собственными векторами ~$) другой наблюдаемой В, спектр которой будем предполагать непрерывным. Две эти системы определяют представления Щ и (В». Основные уравнения представления (1;а) уже были выписаны ранее (уравнения (73)и (74)). Аналогичные уравнения для представления (В) записываются в форме (В 1й=б(Ь вЂ” В').
(81) явв Гл. чп. мхтамхтический АппАРАт Кроме того, Х 6 ! и> (и Ф = (К В') = 6 й — Ь'), $ (и Я) с$ ($ 1 и') = (и ~ и') = 6„„. Иначе говоря, 55э= 7, ТТ вЂ” = 5э5 =7, (84 а) (84б) матрица 5 унитарна. Удобно обозначить символом (и)о правый вектор с компонентами (Ци), (2~и), ..., представляющий кет-вектор (и) в представлении Щ, и символом (и)а правгяй вектор с компонентами (5)и), представляющий тот же вектор (и) в представзении (Я). Применяя соотношение (74), имеем (~!и)=ХЯ!й)(/г ~и); другими словами (и) =5(и), . (85) Обозначим также с помощью (А)о и (А) в матрицы, соответствующие заданному оператору А в представлениях (ф и $Я); тогда ($ 1 А ~ $') = ~ ($ ~ й) (й 1 А 1 1) (1 ! Д или (А)а=5(А), 5~.
(86) Аналогично цля левых векторов (о)о и (о), представляющих адин и тот же бра-вектор (о~, имеем (")а (о)о5 ° (87) Уравнения (85), (86), (87) являются искомыми уравнениями, характеризующими унитарное преобразование 5 (ср. формулы ,(80)). Скалярное произведение (5~и), фигурирующее в качестве коэффициента разложения ~и), может рассматриваться как элемент 5($; и) матрицы 5, причем $ есть индекс строки, а и — индекс столбца; скалярное произведение (и)~) во втором разложении может рассматриваться как элемент Т(и; $) матрицы Т, причем и есть индекс строки, а  — индекс столбца. Впрочем, поскольку ($~и) = (и(в)', имеем $ Н.
УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРОВ И ВЕКТОРОВ 233 Таким образом, переход от представления (ф к представлению (В) осуществляется при помощи унитарного преобразования 5. Элементы полученной матрицы 5 обладают следующими замечательными свойствами: — рассматриваемые как функции индекса столбца н элементы ($~н) $-й строки являются компонентами левого вектора ($)о, представляющего собственный бра-вектор (~~ оператора В в представлении (ф; — рассматриваемые как функции индекса строки $ элементы Д~н) л-го столбца яв,тяются компонентами правого вектора (п)„представляющего собственный кет-вектор ~п) оператора Я в представлении (В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
