1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Поэтому приходится отказаться от основного постулата классической физики о том, что различныс физические величины, характеризующие систему, могут в любой момент времени принимать вполне определенные значения. Для каждой из этих величин можно указать только статистическое распределение значений, выражающее вероятность того или иного результата в случае возможного измерения. Согласно установившейся терминологии (й 1У. 17) говорят, что динамические переменные квантовой системы не все попарно совместны.
Однако к заданной динамической переменной можно присовокупить некоторое число других, ппкз не образуется полный набор совместных динамических переменных. По определению все члены такого набора совместны друг с другом, но вне набора не существует динамических переменных, совместных с каждым членом набора, кроме, конечно, каких-либо функций от переменных — членов набора.
Точное измерение динамических переменных полного набора дает наиболее пол- ГЛ, Юп. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 288 ную информацию, какую только можно иметь относительно динамического состояния физической системы. Таким образом, динамическое состояние квантовой системы определяется не заданием всех динамических переменных, присущих системе (как в классической теории), но заданием тех из них, которые входят в какой-либо полный набор совместных переменных. В качестве основного принципа принимается, что динамические состояния квантовой системы допускают линейную супер- позицию.
В согласии с этим принципом (см. $ 'н'П.1) квантовой системе сопоставляется некоторое векторное пространство д', так что каждое динамическое состояние представляется вектором в этом пространстве. Предполагается, кроме того, что ю есть пространство Гильберта. В дальнейшем мы используем обозначения н свойства пространства Гильберта, как они были изложены в гл. ьгП. Таким образом, каждому динамическому состоянию соответствует некоторый кет-вектор ~ и) пространства 4э. В то же время каждой динамической переменной сопоставляется некоторая наблюдаемая, действующая в пространстве д' '). Если динамические переменные совместны, соответствующие им наблюдаемые коммутируют, если переменные несовместны, наблюдаемые не коммутируют.
Обший формализм квантовой теории основан на указанном соответствии между динамическими состояниями и векторами, физическими величинами н операторами. В разделе! мы уточним это соответствие, покажем, как строить пространство Гиль- берта, и какой физический смысл имеют векторы и операторы из этого пространства. Далее, в разделе П обшая теоретическая схема дополняется введением уравнений движения. В разделе П1 будет показано, что существует столько конкретных формулировок теории, сколько есть различных конкретных матричных представлений векторов и операторов пространства э; волновая механика является одним из таких частных представлений.
Когда динамическое состояние квантовой системы известно не полностью, можно, следуя обычным методам статистической механики, представлять его статистическим ансамблем векторов гильбертова пространства. Эквивалентная процедура состоит во введении оператора особого типа — матрицы плотности; эти вопросы рассматриваются в последнем, четвертом разделе главы. ') Пространство о' играет в квантовой теории роль, аналогичную роли фазового пространства классической теории.
Каждая точка фазового пространства представляет классическое динамическое состояиве, каждый вектор пространства и' представляет квантовое динамическое состояние. Во втором случае, однако, соответствие не является взаимооднозначиым: двв коллинеарных вектора пространства е представляют одно состояние; см. ниже, $2.
$ Е ОПРЕДЕЛЕННЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Р а з я е л !. ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ $2. Определение вероятностей. Постулаты измерения Каждому динамическому состоянию соответствует некоторое статистическое распределение значений каждой из динамических переменных, характеризующих систему. Вычисление распределений основано на постулате: Среднее значение некоторой функции Р(А) от заданной физической величины А дается выражением (Р (А)) = (и ~ Р (А) ~и), (1) где кет-вектор !и) представляет динамическое состояние, а наблюдаемая А — заданную физическую величину.
В частности, характеристическая функция !($) статистического распределения А есть среднее значение функции еал: ) $) =(и)ецл ~и). (2) Поскольку статистическое распределение полностью определяется заданием характеристической функции, указанный постулат позволяет вычислить статистические распределения всех динамических переменных системы. Выясним, как основной постулат влияет на соответствие между динамическими состояниями и кет-векторами. Каким бы ни был оператор Р(А), выражение (1) не меняется при умножении вектора (и) на произвольный фазовый множитель е" (а — некоторое вещественное число). Следовательно, статистические распределения, относящиеся к двум векторам, различающимся на фазовый множитель, строго одинаковы: два таких вектора представляют одно динамическое состояние.
Другими словами, каждому динамическому состоянию соответствует вектор, определенный с точностью до фазового множителя. С другой стороны, поскольку !(0) = 1 (среднее значение 1 равно 1), необходимо, чтобы вектор ~и) был нормирован па единицу (и ~ и) = 1. (3) Часто бывает удобно отказаться от последнего условия. С этой целью определение (1) для средних значений заменяют более общим выражением (Р(А)) = (" ~ (4) (и ~ и) При таком определении два пропорциональные друг другу вектора представляют одно и то же динамическое состояние (подразумевается, конечно, что векторы, о которых идет речь, имеют ограниченную норму). ГЛ.
ЧН!. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ Чтобы получить статистическое распределение А в явном виде, следует вычислить выражение (2) для характеристической функции 1(й) (или выражение (4), если )и) не нормирован на единицу) в представлении, где наблюдаемая А диагональна. Этот метод уже был изложен в гл. Ч, правда, с незначительными отличиями в терминологии. Здесь мы не будем вновь повторять сказанное там. Ограничимся формулировкой результатовх): 1) Значения, которые может принимать величина А, принадлежат спектру собственных значений соответствующей наблюдаемой. 2) Пусть ю о есть подпространство, натянутое на собственные векторы А, принадлежащие собственным значениям, лежащим в некоторой области 0 спектра А; обозначим с помощью (ио) — = Ро~и) проекци!о кет-вектора )и) на юо.
Вероятностыао того,.что результат измерения А принадлежит области В равна ') ("о !ав) шв —— (Ро)= ( (а(и) (5) ') В некоторых книгах по квантовой теории два нижеследующих свойства называются соответственно принципом квантования и праняапом спектральногоо разложения. ') юв есть среднее значение проектора Ро, т. е. функции А, раввой ! дли всех собственных векторов А, находящихся в Ю'а, и равной нулю для всек собственных векторов А, ортогональиых к о'а.
Выражение (5) объединяет все результаты, полученные в частных случаях, рассмотренных в гл. ьг (задача 1). Действительно, 1) может быть одним собственным значением дискретного спектра и тогда (5) совпадает с формулой (ь!.21). Но й может быть также образована совокупностью нескольких различных дискретных собственных значений или быть частью непрерывного спектра, или же некоторой комбинацией двух предшествующих случаев.
В частности, если В есть бесконечно малый интервал (а (ч), а(ч+ с(ч) ) непрерывного спектра, как в примере в конце $ 'ьт.10, то тоо = ю(ч) г(ч, и плотность вероятности ю(ч), вычисленная с помощью формулы (5), совпадает с той, которая получилась из (У. 44). Остается определить динамическое состояние системы по окончании измерения, Оно, конечно, будет зависеть от конкретных условий эксперимента, ио может быть просто получено в случае идеального измерения (см.
в Ч.13). Если в предположении идеального измерения наблюдение показывает, что система находится в собственном состоянии А, принадлежащем указанной выше области О, то динамическое состояние системы после измерения представляется проекцией вектора ~ и) на пространство Ю о. Иными словами, изменение (некаузальное) $ 3. НАБЛЮЛАЕМЫЕ КВАНТОВОЙ Г!ИСТЕМЫ 291 вектора состояния в процессе измерения соответствует схеме: [и) — ь идеальное измерение, дающее результат Р-+Ро]и).
Этот постулат редукции волнового пакета может рассматриваться как определение идеального измерения. Если условиться всегда представлять динамические состояния векторами, нормированными на единицу, то вектор состояния системы после измерения есть РВ]и), умноженный на фактор нормировки, определяемый с точностью до фазы, квадрат модуля которого равен 1/шо или 17(и]РВ]и). 5 3. Наблюдаемые квантовой системы и соотношения коммутации (6) (7) 10' На первом этапе исследования квантовой системы следует установить динамические переменные системы и построить алгебру соответствующих наблюдаемых.
На деле различные наблюдаемые системы могут быть выражены как функции некоторого числа чосновных наблюдаемых>; тогда искомые правила алгебры наблюдаемых можно получить с помощью правил коммутации этих основных наблюдаемых. Когда квантовая система обладает классическим аналогом, что имело место во всех рассмотренных до сих пор случаях, можно установить самые общие правила, основанные на принципе соответствия. В классической системе Ж измерений самой общей динамической переменной будет функция 2У-независимых переменных — йГ пРостРанственных кооРДинат 7ь дь ..., дн и У импульсов рь рь ..., рн.
Те же самые динамические переменные приписываются квантовой системе. Вводятся йг переменных положения и ЛГ переменных импульса. Этим переменным соответствуют наблюдаемые, которые мы обозначим теми же символами дь ..., дн и р„..., рн. Постулируем, что единственными некоммутирующими наблюдаемыми являются йГ пар, в которые входят пространственная координата и ее канонически сопряженный импульс; для этих пар имеем [дОР„]=И.
Таким образом, [д„а,] = О. [р„р,] = О, [д„, Р,]=1аб„, (г, з=!, 2, . „ЛГ), Поскольку произвольные наблюдаемые являются функциями д и р, коммутаторы наблюдаемых находятся с помощью соотношений (6) и (7); их можно вычислить явно, пользуясь правилами алгебры коммутаторов (5 Ъ'.
17). Это соответствие между наблюдаемыми квантовой системы и величинами классической системы — аналога уже неоднократно коыментировв- гл. ши. описание эизичвских явлвнии 292 лось Ц П.15 и $ 7.3). Чтобы избежать неопределенности, еле. дует всегда исходить из декартовых координат в конфигурационном пространстве и руководствоваться эмпирическими правилами 9 П. 15. В частности, правило «симметризации», данное в этом параграфе, гарантирует, что всякой вещественной величине, принадлежащей системе, сопоставляется эрмитов оператор. Однако не все квантовые системы могут рассматриваться на основе принципа соответствия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
