1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 65
Текст из файла (страница 65)
шп, описании оизичвских явлении 3(в Поэтому элементы матрицы У(г) в представлении («) можно записать в явном виде так: («' ( У ( «") = ~ ~ («' ( г') Йг' (г' ) У (г) ( г") г(гп (г" ( «и) = =(2пй) $ $ е " с(гзУ(г')Ь(г' — г") г(гже ' =(2ид) ' $ У(г')е " с(г'. Положим г (ш)=(2ий) ' ~ У(г)е " с(г, тогда («' ~ у(«") =- у'(«' — «и), так что элементы матрицы оператора Н в представлении («) записываются в форме («(И(«) = Р Ь(« - «а)+ У(« - «-). Пусть Ф(«') есть волновая функция в импульсном пространстве динамического состояния (трр Ф («') = («'(тр) = ~ («'! г') с(г'(г'( ф) = = (2пй) Ь $ е " Ч'(г') с(г'* Тогда уравнение Шредингера, имеюшее в волновой механике вид (8 ~ Ч" (г; () = ~ — ~ Л + У (~)~ Ч'(т'; (), в представлении («) принимает форму интегро-дифференциального уравнения д~ («' ) 2т ((' )+~ 2 18.
Пример: движение свободного волнового пакета В качестве приложения вышеприведенных результатов изучим движение свободного волнового пакета (У = О). Пуста (ф) есть вектор состояния в момент времени ( = О, а ф(г) и (р) — волновые функции, выражавшие этот вектор в представлениях (г) и ) соответственно.
В момент времеви г динамическое состояние системы дается вектором э!э. представление, В кОтОРОм диАГОИАльнА энеРГип 319 где Н рз)2т есть гамильтониан свободной частицы. Поскольку импульс является постоянной движения, его среднее значение остается неизменным во времени; то же самое верно относительно групповой скорости в (Р>/ Мы знаем, что расплыванием пакета можно пренебречь при достаточно малых промежутках времени (3 Н1. 3).
Уточним здесь этот результат и покажем, что прн выполнении условий слабого расплывания волновой пакет распространяется практически без искажений и может быть в очень хорошем приближении описан функцией ф(г — Рг). Эта приближенная волновая функция представляет вектор ~Чг)=е )ф), в чем нетрудно убедиться, используя и обобщая свойство (16) или исследуя соответствующую волновую функцию в представлении (р).
Приближение тем лучше, чем ближе к единице вероятность для системы находится в состоянии )Ч'); иными словами, необходимо, чтобы ! — ) (Ч'(Ч'>!э С 1 Заменяя ! Ч') и (Чг) выражениями, приведенными выше, находим !(Ч', 'Чг>) = ~(ф ~ехр ( †„ 2 Г) ! ф)~. Матричный элемент в правой части просто вычислить в представлении (р); получаем )з < > гээр (ф | ехр ( — 1) ~ ф> = ~ ~ ф (р) )' е бр. Если предположить, что мы имеем дело с нолновым пакетом типа приведенного на рис.
17, то функция ф(р) имеет острый максимум линейных размеров ар около среднего значения р = тп; Ар есть модуль вектора Лр, дающего среднее квадратичное отклонение импульса частицы р. В этом предположении экспонента в правой части равенства близка к единице в области максимума, т. е.
при (др)э г 2лгй мли — 1 <( —. Лр 23 йр' Приближение справедливо, пока выполнено это условие. Но это неравенство выражает условие: расплывание С ширины пакета, которое мы уже получили при изучении расплывания волнового пакета в Е НЕ 3 (условие (Н1.16)). 9 19. Другие представления. Представление, в котором диагональна энергия Примеры, приведенные выше, показывают„что уравнения теории имеют различную форму в зависимости от выбранного представления; ввиду этого и вычисления в разных представлениях могут быть суп(ественно различными.
ГЛ, Ч!п. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 320 Среди представлений квантовой теории некоторые оказываются особенно удобными при рассмотрении консервативных систем из-за простой формы уравнения Шредингера: это те представления, в которых энергия Н диагональная). Базисные- векторы ~ Егз> такого представления отмечаются собственным значением энергии Е и набором а собственных значений других постоянных или интегралов движения, которые вместе с Н составляют полный набор наблюдаемых. Вектор ~ ф (1) ) «представления» Шредингера, описывающий динамическое состояние системы, в этом представлении дается «волновой функцией» ф(Е, а; 1) = — (Еа ! тр (1)), которая удовлетворяет уравнению Шредингера 1й — ф(Е, а; 1) =(Еа~ Н!тр(1))= Еф(Е, а; 1).
Таким образом, имеем ф(Еа; 1)=тр(Еа; !о) е Зная вектор состояния (Еа) в начальный момент времени„ легко определить его эволюцию с течением времени. На практике вектор в начальный момент времени часто дается в другом представлении, например, представлении (д). Уравнение движения' будет, следовательно, решено, если мы сумеем перейти от представления (4 к представлению, где Н диагонален.
С математической точки зрения задача построения унитарной матрицы, обеспечивающей эту смену представления, эквивалентна задаче о собственных значениях оператора Н в представлении («)), т. е. решению в этом представлении стационарного уравнения Шредингера. Раздел 1У. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА В 20. Системы с неполной информацией и смешанные состояния Когда динамическое состояние системы известно не полностью, некоторые предсказания о ее поведении все же могут быть сделаны, если прибегнуть к обычным статистическим методам.
Обсуждение этого вопроса, начатое в гл. У 5 16), без труда можно изложить в рамках общего формализма. з) В своей первоначальной форме матричная механика Берна, Гейзенберга н Иордана была частной формулировкой квантовой теорнн в «представленвн» Гейзенберга, выраженной в представлении, где диагональна внергня. 4 и млтеицл плотности 991 Динамическое состояние квантовой системы известно полностью, если удалось точно определить значения переменных, составляющих какой-либо полный набор совместных наблюдаемых; в этом случае состояние системы может быть представлено некоторым вектором ~ ). Если же сведения, которыми мы располагаем относительно системы, не являются полными, то можно только указать некоторые вероятности рь рж ..., р ...
того, что система находится в динамических состояниях, представляемых кет-векторами 11>, 12>, ..., 1т), ... Иначе говоря, состояние системы представляется не единственным вектором, а статистической смесью векторов. Предположим, что мы измеряем некоторую величину А. Среднее значение (А) результатов измерения имеет вероятность р быть равным (А) = <т1А1т)/(т1т). Поэтому, предполагая, что векторы 11), 12), ..., ~ т), ... нормированы на еди. ницу, можно написать (А) = ~ р„(т! А! т). (62) Та же формула дает среднее значение произвольной функции Г(А), если заменить А на г(А); отсюда мы получаем статистическое распределение результатов измерения. 5 2!.
Матрица плотности ") Смешанные состояния особенно удобно описывать с помощью оператора р = ~', ~ т) р„(т !. (63) В этом выражении векторы ~т) нормированы на единицу (но не обязательно ортогональны), а величины р„имеют характерные свойства статистических весов, т. е. р >6, Ер,.=1. (64) Оператор р называется матрицей плотности или статистическим оператором.
Среднее значение наблюдаемой А есть след РА (А) = Зр рА. (65) Действительно, Яр РА = Х, р Зр(~ т)(т!А), ") Полное изложение свойств матрицы плотности можно найти в работе 47. Голо, Иеж Мой. Рпуа. 29, 74 (1957). 11 А, Массне 322 ГЛ. ЧП1. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ и чтобы доказать эквивалентность формул (62) я (65) доста- точно показать, что Зр (~ и)(т1А) =(1п) А |т).
Поскольку оператор Р„=1т)(т! есть оператор проектирования н его след равен 1 (уравнение ('Л!. 88)), имеем 8 р Р А = 8 р Р А = Зр Р А Р = Бр 1 т) (т ~ А! т) (т 1 = =(т~А !т) Зрр =(т! А ~т). Те же выкладки, но в случае А =1, дают условие нормировки Зр р= 1. Конечно все эти выводы относятся и к любой функции наблюдаемой А, так что можно написать (Р(А)) = Зр рР (А), Зная р, можно вывести статистическое распределение результатов измерения А. Если Ро — оператор проектирования на подпространство, натянутое на собственные векторы А, принадлежащие собственным значениям, располагающимся в некоторой области А1 спектра А, то вероятность жэ найти результат измерения в области В есть ~ р (т~ Рр 1 1П) (см, уравнение (5)), т.
е. шв = Зр рРО. (66) В частности, вероятность найти систему в квантовом состоянии, представляемом вектором ~Х) (с нормой, равной 1), есть н1х = 8 Р (Р ! Х) (Х 1 ) .= (Х ! Р ~ Х). (67) Задания оператора р вполне достаточно для вычисления всех измеряемых на опыте величин, их средних значений и статистических распределений результатов измерения, поэтому в дальнейшем мы будем считать вполне одинаковыми два смешанных состояния, имеющих одну матрицу плотности: всякое смешанное состояние полностью определяется своей матрицей плотности. Чтобы завершить исследование случая смешанных состояний и применения к нему постулатов ~ 2, остается выяснить, какая матрица плотности представляет динамическое состояние системы после окончания некоторого измерения. Ограничимся, как и в $2, случаем идеального измерения.
Если измерение показало, что система находится в собственном состоянии наблюдаемой А, принадлежащем некоторой области спектра В, то матрица плотности после измерения равна с точностью до нормиро- $ М, ЭВОЛЮЦИЯ СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ 333 вочной постоянной проекции РорРо оператора р, который представлял смешанное состояние до измерения. Соответствующая постоянная должна находиться из условия равенства единице следа оператора; таким образом, она равна величине, обратной Ьр Рорро = 8р рРо = шо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
