1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Эта новая формулировка принципа соответствия оказывается чрезвычайно полезной при распространении на квантовую область основных результатов классической статистической термодинамики. Большинство классических выводов могут быть воспроизведены без изменения. Ограничимся тем, что укажем основные результаты.
Состояние квантовой системы в термодинамичесном равновесии при температуре Т представляется оператором ГЛ. ЧП1. ОПИСАНИЕ ФИЭИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1. Вывести из основного постулата о средних значениях выражение (5) для закона распределении вероятностей результатов измерения данной величины.
2. Рассматривается квантовая система, обладающая одномерным классическим аналогом. Вывести из соотношения коммутации [е, р] = 1Д, что спектр р — непрерывный, простой и заполняет интервал ( — со, +со). Соответствующим образом нормированные собственные векторы р образуют полную орто. нормированную систему в й, Показать, что при подходящем выборе фаз векторов )р') этой системы действие унитарного оператора ехр(гад/В) (ю— произвольная постоянная) на эти векторы дает ехр(1аргй)) р') (р'+ ю), и что матричные элементы р даются формулой (и (Ч)р? 1йб (р р ). Решить проблему собственных значений е в этом представлении.
й. Производная оператора А($), зависящего явно от непрерывного пара. метра $, по определению равна ~пя) ~а~ пь е-ьс в Показать, что: 1'. Если А ($) есть функция наблюдаемой или нескольких коммутирую. щих наблюдаемых, то производная находится по обычным правилам дифференцирования. В частности, если Π— наблюдаемая, то — [егО1) 10е1~1. Ай 2'. Если два оператора дифференцируемы, то (АВ) * В+ А —, Ы ФА ЫВ нй лй Аа ' в частности, — А'ь — А+ А — й-.
д АА ЫА Ы$ Ей пе ' 3'. Если А дифференцируем и обладает обратным оператором, то — А -А — А Ы ~ -гдА Ай г($ 4. Показать, что оператор В (1), определяемый выражением В (1) егл'Все 1'1', ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 329 где А и В, суть операторы, не зависящие от времени, является решением интегрального уравнения В л - В. с [с ] В Ь) с,~. с Решая это уравнение методом итераций, можно получить разложение оператора В(Г) по степеням А Доназать операторное тождество с1ЛВе ~л В+ т [А, В] + [А [А, ВЦ + В 2! л скобак тл ...
+ — [А, [А, ... [А, [А, В]] ...)) + .... Замечание. Условимся рассматривать [А, В] как оператор, получающийся при действии А на В, и обозначим этот оператор символом А(В), тогда А"(В) выражает действие А, повторенное л раз. Согласно этим обозначениям Ас(В) лл В, А(В! [А, В), Аз (В] — [А, [А, ВЦ и т. д., поэтому тождество можно записать в форме еглВе-гл ~ч 1 Ал (В) 1-г л! л з 6.
Пусть А(Е) — оператор, зависящий от непрерывного параметра с(А/Пй — производная оператора по $. Доказать операторное тождество сс л о (обозначения из замечания к задаче 4). 6. Если оператор У(Г), дифференцнруемый по й унитарен, то оператор Н (г) ~ гй — Ут йУ лс будет эрмитов. Обратно, если У(Г) подчиняется уравнению (й — и(г)-ну, В с(г где Н есть эрмнтов оператор, возможно зависящий от г', то уту не зависит от времени й а УУт есть решение уравнения (й — ", ууе-[Н, уут1 ГЛ, НП!. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ В частности, если У уинтарен при ! = гр, то он остается унитарным при любых Е 7.
Пусть )!), )2),,, (М) — последовательность векторов с нормой 1, но не обязательно ортогональных. Показать, что необходимым и достаточным условием того, что оператор матрицы плотности м С 1 представляет чистое состояние, является равенство всех векторов с точностью до фазового множителя 8.
Показать, что для того, чтобы положительно определенный зрмитов оператор р со следом ! представлял чистое состояние, необходимо и достаточно, чтобы Зр рз = !. Премулрость построила себе дом, вытесала семь столбов его, Заколола жертву, смешала вино с водой и приготовила у себя трапезу; Послала слуг своих провозгласить с возвышенностей городских: «Тот, кто прост, обратись сюдагь плкгчц гх,! — к ЧАСТЬ 11 ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ ГЛАВА 1Х РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЦЕНТРАЛЪНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ й 1. Введение Исследование физической системы по существу сводится к решению соответствующего стационарного уравнения Шредингера. В частности, с этим уравнением мы сталкиваемся прн решении двух наиболее часто встречающихся задач квантовой физики, а именно: а) определения уровней энергии связанных состояний, т.
е. собственных значений дискретного спектра гамильтониана; б) вычисления эффективных поперечных сечений рассеяния — как будет показано ниже (гл. Х), они находятся при исследовании асимптотической формы собственных функций, принадлежащих непрерывному спектру. Уравнение Шредингера волновой механики является уравнением в частных производных второго порядка. Для одномерной системы оно сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению; исследование проблемы собственных значений в этом простом случае уже было проведено в гл.
111. Задача становится гораздо более трудной, если физическая система обладает многими степенями свободы. Однако свойства симметрии, которыми может обладать гамильтониан, существенно облегчает решение уравнения. Может оказаться, что удачная замена переменных приведет к уравнению в частных производных с разделяющимися переменными; задача на собственные значения в этом случае распадается на несколько задач с меньшим числом переменных, т.
е. более простых. Именно это имеет место при решении задачи о частице, движущейся в центрально-симметричном потенциальном поле, когда потенциал зависит только от расстояния до центра г, но не от направления радиуса-вектора г. Если гамильтониан обладает сферической симметрией, то переменные полностью разделяются в сферических координатах; после отделения угловых переменных уравнение Шредингера сводится к обыкновенному дифференпиальному уравнению относительно радиальной переменной, которое всегда может быть проинтегрировано, хотя бы численными методами. зз4 гл. !х, центглльно-симметгнчнып поТенциАл Основная часть этой главы посвящена решению уравнения Шредингера для частицы в центрально-симметричном потенциальном поле.
Общее обсуждение задачи проводится в разделе 1. В разделе 11 рассматривается задача о свободной частице и частице в центрально-симметричной потенциальной яме. В разделе 111 исследуется еще один простой пример разделения переменных при описании движения центра масс системы частиц; как и в классической механике, это движение отделяется от относительного движения, если взаимодействие между частицами зависит только от относительного расстояния между ними. Р а а дел 1, ЧАСТИЦА Б ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ 5 2. Гамильтоииан частицы в сферических координатах В этом разделе мы изучим уравнение Шредингера для частицы с массой т, движущейся в поле центрально-симметричного потенциала У(г).
Если р — импульс частицы, а г — ее радиус-вектор, то гамильтониан частицы выражается формулой Н= Р +У(г) (1) и тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид Нф (г) — [ — — Ь + У (г)1 ф (г) = Еф (г). (2) Ввиду того, что гамильтониан обладает сферической симметрией, проведем исследование в сферических координатах. В качестве полярной оси, как обычно, выберем ось г, тогда декартовы координаты (х, у, г) выражаются через сферические координаты (г, О,~р) известными формулами (см.
рис. 27): х = г з1п О соз щ, у = г з1п О з(п ~Р, г = г соз О. (1) Выражение для потенциальной энергии У в сферических координатах нам дано; надо найти выражение для кинетической энергии ра/2т, иначе говоря, выразить в сферических координатах дифференциальный оператор ла ла Г да да да Х вЂ” — й= — — ~ — + — + — ).
зт з ~а' ау' ааа!' Это можно сделать непосредственно с помощью формул преобразования (1). Вычисление довольно длинно, но не представляет серьезных трудностей; мы не будем его здесь приводить. Вместо этого, чтобы лучше понять физический смысл результата, мы попытаемся выразить кинетическую энергию р'/2т не через дифференциальные операторы д/дг, д/дО, д/д~р, а через построен- й х. гхмильтонидн частицы ные из этих дифференциальных операторов эрмитовы операторы, которые имеют более наглядный физический смысл. Так, вместо того, чтобы использовать дифференциальный оператор д/дф, удобнее иметь дело с г-компонентой момента импульса, которая согласно уравнению (ьг. 49) выражается формулой 1, = хре — ур„= —.
— . н д (3) х 1 дф' Поскольку )г(г) не зависит от ш, очевидно, что 1, коммутирует с потенциальной энергией. Однако 1, коммутирует также н с кинетической энергией рх/2гп, что можно легко проверить (задача 4), пользуясь определением 1, и соотношениями коммутации') (гь р() = (йбн. (4) Таким образом, 1, коммутирует с гамильтонианом Н. ВыбиРаЯ в качестве по- д „'а 'в Р" дина лярных осей оси Ох и Оу, можно прийти к тому же заключению относительно 1, и 1„.
Следовательно три составляющие 1„, 1„, 1, момента импульса 1— = (тй = —. (ту) й (5) нотлмутируют с еамильтонианом. По этой причине мы будем использовать именно эти операторы, а не операторы д/дО, д/д<р, По тем же соображениям мы используем радиальный им пульс й 1 д Ьг д 1Х Р,= — —.— — Г = —. 1Х вЂ” + — г1 (6) ! г дг 1 ~ дг г т вместо оператора — 1й д/дг, который не является эрмитовым (см. задачу 1). Чтобы уточнить свойство эрмитовости р„выясним при каких условиях среднее (ф, р,ф), где ф(г) квадратичио интегрируемая функция, явлиется вещественным. Мы должны иметь О (Ф Ргф) — (ф. Р~ф) — ~ (ф (Р~ф) — (Ргф)" ф) дг — ~ а! п 8 дв ~ Н р ~ ) — ( гф )'1 дг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
