1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Следовательно, плоская волна ецм может быть разложена в ряд по этим функциям: е' ' = ~~', ~~' исш (й) У, (8, сР) 1,(йг). с-о ос--с (31) Если выбрать ось г в направлении й, то плоская волна может быть записана в форме е'А'"'о; она не зависит от ср и разложение (31) содержит только члены с лс = Ое). Положим р = сег, и=созй. Разложение плоской волны сводится к разложению в ряд по полиномам Лежандра (см. уравнение (Б.
94)): е'о" = ~ с,)с (р) Р, (и). с-о (32) Для определения коэффициентов сс, можно действовать следующим образом. Дифференцируя почленно ряд (32) по р, находим х с()с 1иесоо=~ сс — Рс. с)р (33) ') деа о, Л д С ехр (йг сох в) = —,— ехр (йгоохв) =О. с д~р заданному значению импульса Р. Каждая плоская волна определяется тремя непрерывно изменяющимися параметрами— тремя компонентами вектора й, которые могут принимать все значения от — оо до +оо. Волна е'е' представляет свободную частицу с импульсом лй и энергией Е = ох)сх/2лс. В то же время она не представляет состояния с определенным моментом импульса, подобно тому как сферическая волна (30) не представляет состояния с определенным импульсом. Это не удивительно, так как три компоненты импульса р, ро, ре не коммутируют одновременно с Р и 1,, $ О.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ Но это же разложение может быть записано и в другом виде, если учесть рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра (Б.78): ще!Ри ! ~~,' с!1!ЕР! ! =! г 1 — с1„!!!+!+ — с,,!1,)Р,. (34) Приравнивая коэффициенты при Р! в разложениях (ЗЗ) и (34) и используя рекуррентные соотношения (Б.53 — 54) для сферических функций Бесселя, получаем соотношения: 1 ! 1( с! — ! с! !)/! !(Р)= ! ( + ) 1.
й!+ 1 1+ й!+3 !+!) 1!+!(р)' Чтобы они выполнялись при любом р необходимо и достаточно, чтобы выражения в скобках равнялись нулю, т. е. чтобы 1 ! е! 3 ~!+!= е! ! с! (~=0~ 1> 2ю ' ' ' )э откуда с! = (21 + 1) !' со. Коэффициент со можно найти, записывая разложение для случая р= 0; тогда поскольку 1!(О) = 8!„получим со= 1. В заключение выпишем формулу разложения плоскойволны: ии е'"*=е"'ива= 2 (21+ 1) !!1! (йг) Р, (созй). !-о (35) Подставляя это выражение в разложение (35), имеем е'~'=4п ~ ~ !'1,(йг)У *(й)У.
(г). 1-о =-! (36) Для того чтобы получить это разложение в произвольной системе сферических координат, заметим, что угол 0, фигурирующий в разложении (35), есть угол между й и г. Обозначим символами й и г угловые координаты этих векторов. Согласно теореме сложения сферических функций (Б. 98) и-! Р, (соз 8) = 1+ ! ~~ У! (й) У~ (г). --! 848 гл. ~х, цвнтрлльно-симмвтоичнып потвицилл $10. Сферическая прямоугольная яма В качестве иллюстрации решения задачи о частице в центрально-симметричном поле сил, рассмотрим «прямоугольную яму» (рис. 28): — гав, У(г)= О г>а (37) Решение радиального уравнения совершенно аналогично случаю одномерной прямоугольной ямы.
Мы умеем писать общее решение уравнения Шредингера в ) каждой из областей (О, а) и (а, оо); это линейная комбинация сферических функций Бесселя. Условия регулярности в начале и на бесконечности и условие непрерывности функции и ее логарифмической производной в точке г = а позволяют определить допустимые решения. Пусть Š— энергия частицы.
Положим К = [2т(Е+ 1'о))т/8. Во внутренней области (О ~ г ( а) радиальное уравнение имеет вид ~ф+ -'++(К' — '"+, ) )1/ (г)=О. Рис. 28. Сферическая прямоугольная потеициальиая яма. Положив р = Кг, приходим к уравнению (25). Существует только одно решение, регулярное в начале: А/~(Кг) (А — постоянная нормировки). Во внешней области (г ) а) уравнение Шредингера есть уравнение для свободной частицы. Следует рассмотреть два случая: А) Е О. Дискретный спектр, связанные состояния. Положим х= т/ — 2тЕ/й. Единственным решением, ограниченным на бесконечности, является функция Вй)~~(геег), характерная для связанного состояния.
Условие непрерывности функции при г = а фиксирует отношение В/А, Непрерывность логарифмической производной дает — /е)~' ((мг)1 ~ = — /е (Кг) ~ ° (38) Ь)+~ряг) Иг /), „)е(дг) аг Это условие может быть выполнено только для некоторых дискретных значений Е. Оно определяет уровни энергии связанных состояний частицы в яме. Если речь идет об з-состояниях $ И, ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 349 то условие непрерывности функции в точке г= а определяет отношение В/А. Величина 61 находится из условия непрерывности логарифмической производной Ф1 (Ка) сое Ь1 ° 11(аа) + е)п Ь л (Аа) 1 (Ка) сое Ь1 1 (Аа) + еа Ь ° и (Аа) ' — й (40) б,— действительная величина и может быть названа сдвигом фазы сферической волны с моментом импульса 1.
Пользуясь выражениями (26), нетрудно проверить, что асимптотический вид решения (39) выражается формулой е!и (Аг — 1п/2 + Ь1) Б случае а-волны уравнение (40) принимает простую форму: Д с1я Ка = й С1ц (йа+ Ье). (40а) Р а з л е л 111. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ОТДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС й 11. Отделение движения центра масс в классической механике При изучении системы двух частиц в квантовой механике мы, вообще говоря, имеем дело с задачей в 6 измерениях. Однако если частицы не испытывают никаких других воздействий кроме их взаимодействия, зависящего только от вектора относительного положенив частиц г = г1 — гь то задача распадается (1= О), то уравнение имеет простой вид — на=Кас1пйа.
(38а) Это уравнение подобно уравнению (П1, 18) одномерной задачи из $ П1.6. Обсуждение вопроса о числе корней уравнения и числе узлов решений может быть повторено здесь без больших изменений. Аналогичные выводы можно сделать относительно значений момента импульса (задача 5). Б) Е О. Нелрерьсвный спектр, несвязанные состояния. Положим й = у12глЕ/й.
Общее решение уравнения Шредингера во внешней области всюду ограничено. Это линейная комбинация функций 11(яг) и л1(йг), Условия непрерывности в точке г = а фиксируют коэффициенты линейной комбинации. Каждому значению Е соответствует одна и только одна волновая функция (с точностью до постоянного множителя). Если внешнее решение представить в форме В(соя Ь1 ° 11 (йг) + з!и 61 л, (йг)), зео ГЛ, !Х, ЦЕНТРАЛЬНО.СИММЕТРНЧНЫЯ ПОТЕНЦНАЛ на две трехмерные задачи: задачу о свободной частице и задачу о частице в статическом потенциальном поле.
Пусть ть т2— массы, р!, р2 — импульсы, г2, г2 — векторы положения этих двух частиц. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид 2 2 + — + )' (г! — г2) 2!И! 2!И2 (41) Метод решения задачи состоит в отделении движения центра масс от относительного движения — в полной аналогии с состветствующим методом классической механики. Напомним вкратце, как выглядит классическое рассмотрение задачи. Положим: ИНГ!+ И22Г2 + щ +и, =Р! Рь М = т! + 2пм И22Р! — И2!Р2 !И! + !И2 т !!и2 И2, + !И2 г=г! — г,, т!П22 = тМ, — + — '= — +— (42а) (42б) (42 в) (42г) (42д) 2ИН 2И22 2И2 2М ' т,г', + т,г, '= тг'+ МЩ р,г, + рзгз=рг+ РК, 1! + 12 = 1+ Ь.
В уравнении (42д) мы ввели моменты импульса двух частиц и 1,, момент импульса относительной частицы 1 = '(гр) и центра масс Ь = (КР), Нетрудно видеть, что преобразование сохраняет скобки Пуассона; это — каноническое преобразование. Поэтому уравнения движения в новых переменных являются каноническими урав- При замене динамических переменных, согласно этим формулам, движение пары частиц представляется как движение двух фиктивных частиц. Одна из них есть центр масс, положение которого дается вектором Ас, импульс Р равен полному импульсу системы, а масса М равна полной массе системы.
Другая частица, сопоставляется относительному движению; ее положение г есть относительное положение первой частицы по отношению ко второй, скорость р/т равна относительной скорости р,ут! — р2/т2, масса т этой относительной частицы называется приведенной массой. Отметим несколько замечательных свойств преобразования (11): ЗЗ1 $!2. СИСТВМА ДВУХ ЧАСТИЦ пениями, полученными, исходя из функции Гамильтона, выраженной в новых переменных, т. е.
Н= —,,„, + — + У(г). (43) Находим Р=О, Р= — йтаб У. Уравнения движения центра масс и относительной частицы полностью разделились. Движение центра масс' является равномерным и прямолинейным — это движение свободной частицы с массой М. Движение относительной частицы есть движение частицы с массой т в поле действия потенциала У(г). $12.
Отделение движения центра масс квантовой системы двух частиц Чтобы рассмотреть ту же задачу в квантовой механике, мы вводим новые динамические переменные г, Ю, Р и Р, определенные уравнениями (11). Гамильтониан, в старых переменных выражавшийся формулой (41), теперь принимает форму (43).
Соотношения коммутации таковы, как если бы мы имели две частицы в точках г и К с импульсами Р и Р; единственно отличными от нуля коммутаторами являются (гн р~)=1й, (11н Р~)=И ()=х, у, г). Все эти свойства чисто алгебраические и без труда проверяются с помощью уравнений (11). Аналогично проверяется и выполнение уравнений (42) в квантовой механике, включая уравнение (42д), причем нет необходимости изменять порядок фигурирующих в этих формулах операторов. В новых динамических переменных гамильтониан может быть представлен как сумма двух членов: Н = На + Н„ из которых первый, я2 На — — —, 2М ' зависит только от переменных центра масс, а второй, Н,= ~~ +У(г), только от переменных относительного движения.
Векторы, образованные путем тензорного умножения собственных векторов наблюдаемой Н, иа собственные векторы наблюдаемой Нж образуют полную систему собственных векторов наблюдаемой Н. 352 ГЛ !Х. ЦЕНТРАЛЪНО.СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ Таким образом, уравнение Шредингера в представлении (еч,г) записывается в виде ~( 2м ол) + ( 2 схг + У (г))~ Ч" (2(г г) = ЕЧ (й(, г), (44) где сзл и Ь, обозначают операторы Лапласа по координатам гт и г соответственног). Это уравнение обладает полной системой собственных решений Ч" (гс, г)=Ф()г)!р(г), причем функции Ф и !р удовлетворяют соответственно уравнениям: йз НлФ(аг) = — ( — 2М Лл) Ф(йт)= ЕлФ(й() О„ср(г)=~ — — сэг+ У(г)~ц(г)=Е,ср(!).
Собственная энергия полной системы равна сумме собственных энергий «отделенных» систем: Е = Ел + Е,. Если в начальный момент времени со волновая функция является произведением вида Е(гс))(г), то это свойство факторизации сохраняется с течением времени; функция Е(гс) эволюционирует как волновой пакет, представляющий свободную частицу с массой М, а функция )(г) — как волна, представляющая частицу с массой гл в поле действия потенциала У(г)з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
