1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 71
Текст из файла (страница 71)
На практике рассмотрение задачи двух тел, таким образом, сводится к исследованию движения частицы в поле потенциала У(г), т. е. к задаче, которую мы уже умеем решать в случае, когда этот потенциал является центрально-симметричным. $ (3. Система многих частиц Отделение движения центра масс может быть осупсествлено и в системах с несколькими частицами всякий раз, когда потенциал взаимодействия !' зависит только от взаимного положения частиц и не зависит от их абсолютного положения; иными словами, когда взаимодействие инвариантно относительно общей трансляции всех частиц. Рассмотрим квантовую систему из )У+ ! частицы, гамильтоннан которой обладает указанным свойством инвариантности. Мы всегда можем выполнить операцию редукции к центру масс на любой паре частиц, т.
е, заменить их динамические переменные иа переменные их центра масс и «относительной частицы». Этот процесс может быть продолжен; после первой редукции на двух частицах можно выполнить редукцию на центре масс этих двух частиц и некоторой третьей частицы; После этих двух последовательных замен динамических переменных три частицы заменяются «относительной частицей» частиц ! и 2, «частицей», связанной с относительным движением центра масс ') Это уравнение можно было бы получить непосредственно, исходя нз уравнения Шредингера в представлении (гь гй и производя в этом уравнении с частными производными замену переменных (гь гз) — (г,)Г).
з) Если лс, К гль то вс лч и М всз (пример: атом водорода, ю,— масса электрона, вс« — масса протона); если вс, ос псз, то лс ос лс,/2 и М 2гл! (пример: ядро дейтерия, гл! — масса протона, лсз — масса нейтрона). 4 !з, систнмл многих частиц (456) (45г) двух первых частиц ! н 2 и третьей частицы и, наконец, центром масс трех частиц. В общем случае с помощью М замен переменных можно заменйть М+ 1 частицу на М «относительных частиц» и центр масс совокупности из М+ ! частицы. Эта редукция к центру масс совокупности может быть про- ведена многими способами: либо от частицы к частице ((М+ !)!(2 возмож- ных вариантов), либо разделяя систему из М+ 1 частицы на две группы из М, и М, частиц, производя редукцию к центру масс в каждой из этих групп, а затем заменяя их центры масс )(, и )!«иа «относительную частицу» )(, — Мз и центр масс всей системы (МЯ!-)-М»М»))(М!+ М,), либо разде- ляя первоначальную систему из М+ 1 частицы на три группы н т.
д. Пусть гь р~ и нн — соответственна, положение, импульс и масса г-й ча- стицы, а К, Р и М вЂ” соответствующие величины, относящиеся к центру масс системы из М + 1 частицы: У+1 У+! К+! М= ~ гн, Р ~ р, )г = — ~~~т!г! ! ! ! ! ! ! и пусть р!, е, н р, () = 1, 2, ..., М) соответствующие величины, принадле- жащие Рй «относительной частице», появляющейся в процессе редукции к центру масс, описанном выше.
Поскольку такая редукция есть последова. тельность М редукций к центру масс двух частиц, равенства (42) без труда абобщаются и дают: т т ... т . Мр,р ... М (45а) МЬ! 2 рз Х 2 ! !2р! В+1 Ф , [=ММ'+ ~ «р), ! ! ! ! М+! Ф ~„ргг Р!!+ ~ [е р 1, ! ! ! ! У+! и ~„[г!Рг\ =(!!Р)+ ~ [ре]. (45д) ! ! ! ! С другой стороны и по той же причине, новые динамические переменные под- чиняются соотношениям коммутации, характерным для динамических пере- менных квантовой системы из М+ 1 частицы.
Йакоиец, ясно, что потенциал р зависит талька от относительных координат р, рь ..., Р» н что полная кинетическая энергия является суммой кинетической энергии центра масс Р»АМ и кинетических энергий «относительных частиц» согласно (45б), т. е.
Рт Г~ ез у» «[Х ю„"'"!р ь""г )] , , ~р! Таким образом, движение пентра масс отделяется и решение задачи М + ! тела сводится к задаче М тел. Все зти результаты не зависят от конкретной процедуры редукции к цен- тру масс. В частности, каким бы нн был выбор М «относнтельных частиц», произведение их приведенных масс И!Р» ... и», сумма их кинетических энер- гий ~я~~ еа)2р, и сумма нх моментов импульса ~ [р е ~ остаются неизменными: ! ! уравнения (45а), (45б) н (45д) (задача У). 664 ГЛ, !Х, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ЗЛДЛЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 1.
Показать, что определяемый уравнением (6) эрмитов оператор радиального импульса р, уловлетворяет уравнению 2. Рассматривается частица, движущаяся в центрально-симметричном потенциале У(г) н обладающая некоторым числом связанных состояний. Показать, что основным состоянием является состояние з, Показать также, что если существует связанное состояние с моментом импульса 1, то существует связанное состояние, принадлежащее каждому из значений 1 момента импульса, где 1. (., и что если обозначить с помощью Е~ наиболее низкий уровень энергии, принадлежащий 1, то Ес < Е, «... Еь 3.
Выписывая явно соотношения ортогоиальности и замкнутости, показать, что собственные функдии свободной частицы й гх ? — у~~(О, ф)1 (АГ], зависящие от непрерывного индекса й(0 < й < оз) и целых индексов ! и лг(! ~ О, — ! < т < 1), образуют полную ортогональную систему. Для этого следует доказать соотношение (йг) ! (й'г) г'г(г = — — 6 (й — й'), 1 и 2 йз о принимая во внимание, что функция 6(г — У) = 6(х — х')6(у — у')6(г — г') в сферических координатах вмеет впд 6 (г — г') (г' з1п О) 6 (г — г') 6 (Π— О') 6 (ф — ф'), Показать, что если (й, О„ф,) — сферические координаты вектора й, то Е !а"Ум!(О, ф)]! (й'г) ЫГ= —,( — !) У~! (Оа, фа) 6(й — й'). 4.
Вычислить коммутаторы каждой из составляющих г и р с компоиен. той и! момента импульса ! = [гр] вдоль направления единичного вектора и. Показать, что они могут быть записаны в общем виде: [(и!), р] = —, [ир], [(и!), г) = — [иг], й й 1 ' ' ! Вывести отсюда, что всякая компонента ! коммутнрует со скалярными величинами р', гз и гр.
6. Какому условию должны удовлетворять характеристические пара. метры прямоугольной потенциальной ямы У, и а нз й 1О, чтобы: а) не существовало ни одного связанного з.состояння; б) существовало заданное число связанных з-состояний? Имеется ли связь между числом связанных з-состояний и числом узлов радиальной функции, соответствующей нулевой энергии? Те же вопросы для случая произвольного !. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 355 6. Радиальное уравнение для частицы в поле центрально-симметричного потенциала )г(г) рассматривается методом ВКБ.
Чтобы применение метода было оправданным, требуется не тольхо, чтобы потенциал !'(г) мало изменялся на расстояниях порядка длины волны, но и чтобы ! ъ 1. Опыт показывает — и этому можно дать некоторое теоретическое обоснование (см. бапиег, !ос. сИ. в сноске т7!. 9) †, что метод дает хорошие результаты и при малых значениях 1, если заменить Ц!-1-1) на (1+ !/2)з в выражении !(!+ 1)(гз (так называемый центробежный барьер) радиального уравнения. Показать, что после этой модификации метод ВКБ при любык ! правильно дает: 1 а) асимптотическую форму э!п (йг — — и)/г свободной сферической 2 волны ((г(г) = 0); б) спектр атома водорода (У(г) = — ез/г); 1 в) спектр нзотропного гармонического осциллятора )г (г) = — пгюзгз 2 (строгие решения задач на собственные значения б) и в) содержатся, соответственно, в гл.
Х1 и ХП). 7, В системе из М + 1 частицы осуществляется отделение движения ценl l тра масс двумя различными путями. Векторы положения рп ..., рхг «относи. тельных частиц», полученные вторым путем, связаны с векторами положения ри ..., рю полученными первым путем, линейным соотношением М l к« р! ~~«А!Арз. А ! I I Пусть рн ..., ри и р„..., ря — приведенные массы этих «относительных частиц».
Показать, что матрица (й )ч !у) с элементамн гу1 (Г!а — — р! А!Амэ ' является ортогональной. В. Рассматривается двумерное уравнение Шредингера в случае, когда потенциальная энергия У(г) зависит только от радиальной переменной (х = = г соз д, у = г а!п б). Доказать тождество д дэ дз 1 д 1 дз дх' дуз дг» + г дг + г' дб' ' Из этого результата вывести, что существует полная система собственных функций вида ф (г, 0) ! (г) епв, причем радиальная часть является решением уравнения дз 1 д П 2пг — + — — — — + — (Š— )г (г))~ г' (г) = О, г дг гг йз обращающимся в нуль в начале координат. Замечание. Если У = О, то этим регулярным решением является функция Бесселя 1!!! (йг), где й Ч/2пзд'15. ГЛАВА Х ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
