1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Изменение (некаузальное) матрицы плотности в процессе измерения может быть поэтому выражено схемой и) р«идеальное измерение, дающее результат В-«3 $р рр й 22. Эволюция смешанного состояния во времени Для начала обратимся к «представлению» Шредингера. Предположим, что в момент времени уо динамическое состояние системы представляется статистической смесью векторов (с нормой 1) 11)о, 12)а, ..., 1т)о, ... со статистическими весами рь рг, ..., р, ... Каждый член смеси эволюционирует согласно закону ! т)с=О(1, )о)!т)о и в момент времени 1 система представляется смесью векторов (1)ь 12)г, ..., )т)ь ... с теми же статистическими весами рь рз...,, р, ...
Оператор эволюции ()(1, 1о) определен в $8, Отсюда можно получить закон эволюции оператора плотности: р = ~~',! т), р,(т 1 = Я О (1, 1 )! т )о р„,(т 1 (I~ (1, 1,) = =(У(1, 1,) (Х',! ),р.,(т!)и'(1, 1,)=и(1, 1,) р,(У'(1, 1,). Оператор матрицы плотности в момент времени 1 получается из оператора матрицы плотности в начальный момент с помощью унитарного преобразования ()(1, 1о), Принимая во внимание уравнение эволюции оператора У (32) и эрмитово сопряженное уравнение, находим 1)1 — р,=(Н, рг), в (68) Это уравнение Шредингера для матрицы плотности.
Его не следует смешивать с уравнением Гейзенберга (40), несмотря на формальное сходство (отличие только в знаке перед коммута- н) Чтобы оправдать это расширение постулата редукции волнового пакета, следует обратиться к детальному исследованию механизма измерения в квантовой механике. См. по этому поводу литературу, цитиоованную в сноске 1У. 'э; см. также работу У. Фано (У. Гппо, 1ос. си.). ГЛ, Чп!. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ тором). Величины, входящие в уравнение (68), являются операторами в «представлении» Шредингера.
Переход от «представления» Шредингера к «представлению» Гейзенберга осуществляется при помощи унитарного преобразования Ут(1, 1о), Вследствие этого в «представлении» Гейзенберга оператор матрицы плотности остается «неподвижным» (рн = ро), в то время как наблюдаемые изменяются во времени, следуя уравнению Гейзенберга (40).
$ 23. Характеристические свойства матрицы плотности Оператор матрицы плотности р является положительно опре- деленным эрмитовым оператором (ср. ф И1. 8), след его равен 1, Действительно, исходя из самого определения р по уравне- нию (63), находим при любых 1и) (и~р1и)= ~ р,„~(и1т)'= О, Зрр= ~, р Вр(!т)(т!)= ~ рм=1. (70) Кроме того, поскольку все р положительны и поскольку (неравенство Шварца) )(и)т)1» = (и~и), имеем (и ~р1и) ~(и ~ и). (71) Иначе говоря, оператор 1 — р также является положительно определенным.
В общей теории гильбертова пространства показывается, что положительно определенный эрмитов оператор с конечным следом является наблюдаемой с чисто дискретным спектром. Собственные значения р все заключены между 0 и 1. Обратно, всякий положительно определенный эрмитов оператор р со следом 1 можно рассматривать как оператор матри14ы плотности.
Действительно, такой оператор есть наблюдаемая и его можно записать в виде Р= Е Оооро~ (72) где го1, ым ..., ы„... — отличные от нуля собственные значения, а Рь Рв ..., Р„, ... — операторы проектирования на соответствующие подпространства. Если ни одно из собственных значений не вырождено, то каждое Р„есть элементарный проектор Р, = 1й)(й~, так что Р = ~ о1„~ й) (й 1. (73) Зйв в тд ЧИСТЫЕ СОСТОЯНИЯ Поскольку ~ы„8рр и а.
= (й~р~й) ) О, величины го обла- дают свойствами статистических весов ыоРвб д.ма=(, следовательно, р есть оператор плотности смешанного состояния, образованного из векторов ~й) со статистическими весами ог„"). Читатель может сам распространить это рассуждение на случай, когда некоторые собственные значения р оказываются вырожденными. й 24. Чистые состояния Формализм оператора матрицы плотности позволяет рассматривать чистые состояния как частные случаи смешанных состояний. Если известно, что система находится в чистом состоянии )Х), то можно представлять это состояние как смешанное, но с одним единственным членом смеси )Х) (по предположению нормированным на 1); оператором матрицы плотности явится проектор Рх =! Х) (Х ! (74) Зр рт(»!.
м) В формуле (76) векторы )Я) попарно ортогональны. Однако векторы (гп), фнгурнрующне в (63), могут н не обладать втнм свойством. при этом р =р (75) Обратно, если оператор матрицы плотности есть проектор, он представляет чистое состояние; это то состояние, на которое совершается проектирование. Можно дать два других критерия, позволяющих выяснить, представляет ли оператор матрицы плотности чистое состояние: 1'. Оператор матрицы плотности р может быть представлен в виде линейной комбинации проекторов разными способами: выражение (63) не единственно. Но чтобы оператор р, опреде. ленный уравнением (63), представлял чистое состояние, необходилго (и достаточно), чтобы все ~ гну были равны между собой с точностью до фазы; тогда они представляют одно и то же динамическое состояние, которое и является искомым чистым состоянием (задача 7).
2'. Всякий оператор матрицы плотности р, т. е. всякий положительно определенный эрмитов оператор со следом, равным 1, обладает свойством ГЛ, УП!, ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 326 Чтобы он представлял чистое состояние достаточно (и необходимо), чтобы (задача 8) Зрр'=1. (76) и 25. Классическая статистика и квантовая статистика В классической механике динамическое состояние определяется точкой в фазовом пространстве; статистическая смесь состояний представляется некоторым «флюидом» в фазовом пространстве, плотность которого р„ в точке равна вероятности найти систему в состоянии, определяемом этой точкой.
Существует замечательный параллелизм между плотностью в фазовом пространстве р„и оператором матрицы плотности р квантовой теории. Плотность р„является вещественной положительной величиной, причем интеграл от нее по всему фазовому пространству равен единице (77) с другой стороны, р есть эрмитов оператор с положительными собственными значениями (положительно определенный оператор), след которого равен 1. Зная р„ в некоторый момент времени, можно получить среднее значение (А)„ любой функции А„ динамических переменных о и р, интегрируя р««А«» по всему фазовому пространству (А), = ~~ р„,А, а!)а!р. (78) В заключение укажем, что всегда можно представлять динамическое состояние системы с помощью оператора матрицы плотности, независимо от того, полные или неполные сведения мы имеем об этом состоянии. Задание этого оператора позволяет определить все физически измеряемые величины, которые должна дать квантовая теория; при этом уравнение (66) играет ту же роль, что и уравнение (5) при векторном представлении состояний.
Этот метод имеет то преимущество, что он позволяет единым образом рассматривать как чистые, так и смешанные состояния. Кроме того, оператор матрицы плотности, представляющий состояние системы, определяется единственным образом, в то время как вектор, представляющий чистое состояние, определен только с точностью до фазового множителя, а определение смеси векторов, представляющих состояние с неполной информацией, допускает еще больший произвол. т 2з. клАссическАя стАтистикА и кВАнтОВАя стАтистикА зя? Эволюция р„во времени дается уравнением (79) р = й!е-яхт, (80).
где Н вЂ” гамильтониан системы, й — постоянная Больцмана. По- стоянная нормировки определяется из условия Ярр = 1. Раз- личные термодинамические функции системы вычисляются, как и в классической теории, с помощью статистической суммы Я (!А) = ЯР е Ян (81) Так, для свободной энергии У, энтропии 5 и энергии Е полу- чаем следующие выражения, записанные для р =1)йТ: У = — йт!ПЯ, 5 й (!ПЛ вЂ” !А-о — !ПЕ), Š— (О) = — — !ИЯ.
д ви (82) (83) (84) Энтропия системы согласно принципу соответствия, вообще говоря, равна среднему значению оператора — й 1п р; это значит Е * — й Яр (р!и р). (85) Равновесное распределение (80) получается без труда: это распределение, соответствующее заданному среднему значению энергии, для которого энтропия имеет максимальное значение. (это уравнение не следует смешивать с уравнением (42)), Уравнения (?8) и (79) являются классическими аналогами уравнений (65) и (68) соответственно. Мы переходим от выражений классической теории к выражениям теории квантовой, заменяя обычные величины наблюдаемыми, скобки Пуассона— коммутаторами (с учетом множителя !й), а интегрирование по всему фазовому пространству заменяется операцией вычисления следа оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
