1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 69
Текст из файла (страница 69)
При этом функция ф, является решением уравнения Шредингера всюду, включая начало (условие а)), Далее, поскольку интеграл нормировки сходится в начале координат, выполнение условия принадлежности ф, или ее собственного дифференциала пространству Гильберта (условие б)) будет зависеть исключительно От поведения этого решения на бесконечности. Дополненное условием (22) радиальное уравнение (20) представляет собой уравнение Шредингера, описывающее одномерное движение частицы с массой и при наличии потенциала 62 у'(Г)+1(1+!) —, в области (О, ОО) и бесконечно большого отталкивающего потенциала в области ( — ОО, 0).
Решение уравнения Шредингера в трех измерениях свелось, таким образом, к одномерному уравнению Шредингера. Все свойства такого уравнения, разобранные в гл. 111 (свойства вронскиана, асимптотическое поведение решений, соотношения ортогональности и т. д,), остаются справедливыми и в нашем случае, несмотря на сингулярность «эквивалентного потенциала» типа 1(1+1)/Гз в начале координат. й 5. Собственные решения радиального уравнения. Структура спектра. Природа спектра энергии и собственных функции радиального уравнения (20) при заданном значении 1 зависит от асимптотического поведения решений уравнения, регулярных в начале координат. Все выводы е П1.10 могут быть повторены здесь без изменения. Предположим, например, что при г- ОО потенциал (Г(г) стремится к нулю быстрее 1/Г: 1!Гп Г'Р'(Г) = О.
Энергетический спектр состоит из двух частей: 242 ГЛ, |Х, ЦЕНТРАЛЬНО.СИММЕТРИЧНЪ|Н ПОТЕНЦИАЛ а) если Е<О, то будучи регулярным в начале решение бесконечно растет по абсолютной величине как е"', где ли = ч~ — 2л|Е, кроме некоторых дискретных значений Е|с", Е|с', ..., для которых рс е 'Ф Эти значения и являются единственно возможными собственными значениями.
Каждому из них соответствует радиальная функция с ограниченной нормой; б) если Е ) О, то регулярное в начале координат решение бесконечно осциллирует согласно закону ус з!П(йг — — л+б,) '(1г= ), ЗI2гиЕ Х Г+ 2 а Оно приемлемо в качестве собственного решения при любых значениях Е ) О и представляет состояние непрерывного спектра. Постоянная бс называется сдвигом фазы или просто фазой (дополнительный член — 1Л/2 добавлен для того, чтобы при )г(Г) =О выполнялось равенство бс =О; см. 5 7).
Фаза 6| является важной величиной: она характеризует асимптотическое поведение регулярного решения в случае непрерывного спектра и играет существенную роль в задачах о рассеянии (гл. Х). Если потенциал )с при г-+ оо стремится к нулю как 1/Г или еще медленнее (но монотонным образом), то асимптотическое поведение решений не столь просто, однако основной результат, касающийся природы спектра, остается в силе: это всюду не- вырожденный спектр, включающий непрерывную область для положительных энергий и последовательность (бесконечную счетную) отрицательных дискретных уровней энергии. Остается показать, что при заданном значении 1 множество построенных нами собственных функций ус(г) образует полную систему в том смысле, что любая квадратично интегрируемая функция от г, определенная на полуоси (О, оо), может быть разложена в ряд по этим собственным функциям.
Мы примем, что это так для всех рассматриваемых в дальнейшем потенциалов; в противном случае гамильтониан Н не являлся бы наблюдаемой. $ В. Заключение Подводя итоги, констатируем, что наблюдаемые Н, 12 и 1, составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Задача построения общих собственных функций Н, 12 и 1, сводится к разделению в уравнении Шредингера угловых переменных и Э 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЗАЗ радиальной переменной.
Если фиксировать собственные значения 1(1+ 1)й' и гпй операторов 1г и 1, соответственно, то собственные функции имеют вид г," (е, ч) 'Ф~ = у~ (г) (23) где у~(г) есть решение радиального уравнения (20), которое обращается в нуль в начале координат и остается ограниченным во всем пространстве.
Часто говорят, что такая собственная функция представляет состояние с моментом импульса 1 или, точнее, что частица обладает моментом импульса 1 с компонентой гп относительно оси г. Напомним, что 1 и т целые числа и что 1) О, — 1( гп ( Е Согласно традиционной спектроскопической терминологии 1 на. зывается азимугальным квантовым числом, а пг — магнитным квантовым числом. По традиции более низкие состояния момента импульса отмечаются буквами алфавита, а не численными значениями азимутального квантового числа: значениям 1 = О, 1, 2, 3, 4, 5, ... соответствуют буквы з„р, д, 1', д, й, ... Природа спектра Н зависит от поведения потенциала г'(г) на бесконечности.
В частности, если )г(г) стремится (монотонно) к нулю, энергетический спектр содержит некоторое число отрицательных дискретных значений и множество (континуальное) положительных значений. Каждое из собственных значений непрерывного спектра бесконечно вырождено. Действительно, для любых возможных зна. чений (1пг) момента импульса существует собственная функция с положительной энергией Е.
Уровни энергии дискретного спектра Еы могут быть отмечены двумя индексами, азимутальным квантовым числом 1 и радиальным квантовым числом й, позволяющим различать собственные значения радиального уравнения при заданном А рНоН нет никаких причин, по которым радиальные уравнения, соответствующие различным значениям квантового числа могли бы иметь одинаковые собственные значения; в общем случае собственные значения Еы все различны, но каждое (21+ 1) раз вырождено, так как каждому соответствует столько линейно независимых собственных функций, сколько при данном имеется возможных значений магнитного квантового числа т, т. е. — 1, — 1+ 1, ..., +Е Для некоторых частных форм потенциала )г(г) может случиться, что некоторые из собственных значений Еы совпадают; в этом случае вырождение увеличивается.
Мы встретимся с вырождением этого рода при изучении атома водорода (гл. Х1) и трехмерного изотропното гармонического осциллятора (гл. ХП). 344 ГЛ. !Х, ЦЕНТРАЛЬНО.СИММЕТРИЧНЫН ПОТЕНЦИАЛ Р а ад ел 11, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫИ ПРЯМОУГОЛЬНЫИ ПОТЕНЦИАЛ. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА 2 7. Сферические функции Бесселя Если в интервале (О, пп) существуют области, где потенциал У(г) имеет постоянное значение т (г) е О сопз( (24) то уравнение (20) принимает вид [ — "+( - )]— Тогда радиальная функция Й = у~/и, рассматриваемая как функция от р, является решением «сферического уравнения Бесселя» [ — „, + — — „+ (1 — П вЂ” г — )](! — — О.
(25) Об!цее решение уравнения (25) есть линейная комбинация двух частных решений. Наиболее часто применяемые частные решения приведены в Дополнении Б (8 6); это функции !ь кча), й',+', й) 1. Из них только !! является регулярной в начале координат (ведет себя как р'); три остальные имеют в начале координат полюс порядка !+ 1. Функции !Т и а! являются вещественными и на бесконечности ведут себя как стоячие волны: Мп (р — !(2п) ( ) соа (р — !(2п) 1! Р -' р л!Р Функции А)+'— = и!+ !!! и А!! >=и! — !1, асимптотически ведут себя как расходящаяся и сходящаяся волны соответственно; ,! !Р-!(тп1 е Р+' Р Рь Р В случае Е С Ув полагаем анте -с (28) (27) ') Большинство авторов под п~ понимают функцию с противвположным инском.
то в этих областях радиальное уравнение принимает особенно простую форму и его общее решение является линейной комбинацией хорошо известных функций, а именно сферических функций Бесселя. Предположим, что Е ) (ус. Если положить Ф а своводнхя члстицх и все сказанное выше остается справедливым, если только заменить всюду й на !х. В частности, асимптотические формулы (26) и (2?) остаются в силе. Единственной радиальной функцией, ограниченной на бесконечности, является функция й)+~(1хг); она экспоненциально стремится к нулю.
Точнее, функция ! Й) '(!иг) является вещественной, равной произведению е-"'/нг на полипом степени 1 от 1/нг, так что асимптотически (29) 9 8. Свободная частица. Свободные плоские и сферические волны Вышеприведенные результаты применимы и к случаю свободной частицы. В этом случае У(г) = О во всем интервале (О, оо), и гамильтониан сводится к члену кинетической энергии я2 Н= —.
2О3 Будем искать общие собственные решения Н, 1з и 1,. Решение с моментом импульса (1лт) и энергией Е имеет видУ (9, ~р)1,(г), где й есть решение уравнения (25), ограниченное во всем интервале (О, оо), Если Е ( О, то единственное решение, ограниченное на бесконечности, а именно й~ '(1хг), в начале координат имеет полюс еы порядка !+1. Задача на собственные значения не имеет решения; как и следовало ожидать, не существует собственных состояний с отрицательной энергией. Если Е ) О, то уравнение (25) имеет одно и только одно всюду ограниченное решение, а именно функцию 1~(йг). Таким образом, существует одно собственное решение с моментом импульса (1т) для каждого положительного значения Е = = йЧ'/2т энергии — это функция У, (9, ф)1,(/гг).
(ЗО) Каждое такое собственное решение отмечается двумя дискретными индексами 1, т и непрерывным индексом й, который может принимать все значения в интервале (О„со); множество полученных сферических волн образует полную ортонормированную систему (см. задачу 3), Совокупность плоских волн еы' составляет другую полную ортонормированную систему собственных функций энергии свободной частицы, Это общие собственные функции наблюдаемых р„р, р„т. е. решения, соответствующие определенному з4а ГЛ, СХ, ЦЕНТРАЛЬНО. СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 9 9. Разложение плоской волны по сферическим функциям Каждое собственное значение энергии свободной частицы бесконечно вырождено. Поскольку сферические волны (30) образуют полную систему, счетное множество сферических волн, соответствующее заданному волновому числу, й растягивает пространство собственных функций с энергией Е = = Вхйх/2лс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
