1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Длины г( и ! связаны соотношениями неопределенности с дисперсиями падающего пакета волн соответственно по направлению н энергии. Поскольку мы предполагаем, что направление распространенна пакета и его энергия хорошо определены, необходимо Х~б и ) ~!. (й) Чтобы само рассеяние ие зависело существенным образом от конкретной формы волнового пакета, необходимо, кроме того, чтобы его размеры значительно превосходили размеры зоны рассеяния, т.
е. той области пространства, где потенциал имеет отличную от нуля величину, т. е. а~г(, ! (5) (а 1О-а см при рассеянии на атоме и а 1О™ см прн рассеянии на ядре). Прн этих предположениях, если прицельнын параметр превосходит поперечные размеры пакета (Ь ) б), то падающий волновой пакет не касается й 4. пучОк ВОлнОВых пякБТОВ воны рассеяния и движется все время как свободный волновой пакет. Если, напротив, Ь < г(, он достигает зоны рассеяния в некоторый момент Оси !з— — !/о, В этот момент начинается собственно столкновение.
Через достаточно большой промежуток времени волновой пакет вновь оказывается полностью вне воны рассеяния, но теперь он состоит, вообще говоря, нз двух частей: проходящего волнового пакета, форма и закон движения которого мало от- личаются от первоначальных, и пакета волн, рассеянных в разных направлениях относительно первоначального (рис. ЗО)з). Детектирование рассеянных частиц осу- 6 ществляется некоторым регистрирующим устройством (счетчики, фотопластинки и т. д.) в заданном направлении Я = (О„ ф) на некотором расстоянии порядка Р от центра рзссеяння. Это расстояние не дол!ина быть слишком большим, если мы не хотим принимать во внимание расплывание % волнового пакета в ходе экспериыента (см.
$ Хг1. 3): й) чу« 1, !. (6) Но это расстояние все же должно быть достаточно большим, чтобы распространение детектирусмой волны не возмущалось присутствием потенциала зоны рассеяния, т. е. а, )ь« О, (7) н чтобы детектор не мог регистрировать ча. стипы проходящего волнового пакета: 4 д « 0 з!и О. (8) Заметим, что волна, рассеянная вперед (О = О), не может быть отделена от проходящей волны.
Объединяя условия (4) — (8), получаем неравенства '): а, Ъ/)1,Р «1, (9а) а, Ч'ХР <Н«0. (9б) Формула (2) выражает эффективное сечение рассеяния только при том условии, что экспериментальное устройство, предназначенное для измерения этой величины, обеспечивает выполнение неравенств (9). Кроме этого необходимо, чтобы волновые пакеты имели достаточно хорошо определенные направление движения и энергию, так как только в этом случае амплитуда рассеяния вообще имеет смысл.
Функция !'(4!) должна оставаться практически постоянной и по модулю, н по фазе при изменении Рис. 30 Схема процесса рассеяния волнового пакета: а) — до столкновении; б) — в момент столкновения; з) — после столкновения (заштрихована область, где действует отличный от нуля потенциал).
') Зго явление аналогично явлениям отражения н прохождения волн в одномерной задаче, рассмотренной в гл. 111 (Я 3, б и 7), ') В экспериментах атомной и ядерной физики длина 0 равна самое большее ширине входной диафрагмы (г! 1 мм); длина 1 может быть заметно больше; Р— обычно порядка 1 м. Если аж 10-' см и К !О-' см, что является максимальной величиной, то Ч(М) си 10 з см н !/а се!От, !/Ъ(Х0 ~~ )~ г(г' угАР— 1О, а(0 1О .
Таким образом, условия (9) выполняются с избытком. ГЛ. Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ энергии на величину порядка бЕ си йэ/1, а угла падении — на величину порядка Х/» вблизи соответствующих средних значений. Доказательство этого результата будет проведено в двух последующих параграфах.
В 5. Рассеяние волнового пакета на потенциале В предполагаемых условиях (1,>(.Р а) эволюция волновых пакетов падающего пучка практически не зависит от их конкретной формы. Будем считать, что все они имеют одинаковую форму, причем каждый характеризуется параметрами Ь и !з, которые определяют движение центра пакета, Примем >з за начало отсчета времени (>а = О), что не ограничивает общности рассуждений. Для определения формы падающего пакета введем функцию >((р) с единичной нормой (! О) (х(р) Рбр=1 Пусть А(х) — фурье-образ этой функции, так что >( (р) = ~ А (х) е>"э >/и, По предположению Х(р) — вещественная функция, принимающая существенно отличные от пуля значения, когда р находится вблизи точки р = О в области с продольными размерами ! и поперечными размерами с>.
Функция А(х) также вещественная и отлична от нуля в области с продольными размерами 1Д н поперечными размерами 1/с> вблизи точки х = О. Для упрощения будем считать, что 0 1. Задолго до столкновения (>к †!/Р) исследуемый нами волновой пакет Ч'э(г,!) тождествен волновому пакету для свободной частицы Фь(г,>), центр которого движется по закону (и) = Ь + пд а форма в момент времени !=О выражается формулой Ф (г О) с>л('-ь>Х (г Ь) ~ А(Ь Ь)э>э (г-э>дй В момент времени Н ен щ'< -э»-— Фэ (г, >) = ~ А (Ь' — Ь) е >(Ь'. (12) Если пренебречь расплыванием, то свободный волновой пакет может быть представлен выражением (см.
$ Х!П. 18) Е>1 ->аь Ф„ (г, !) е '" а ' " ' Х (и — в! — Ь), (13) которое получаетси, если в (12) заменить энергию Е'=йзй'/2л> двумя первымн членами ее разложения по степеням й' — Ь: Е'= Е+ Ьо(Ь' — Ь). Волновой пакет ЧЪ получится, если вместо плоской волны в подынтегральном выражении формулы (12) мы подставим стационарну>о волну рассеиния: и'> фэ(г, !) = ~ А(Ь вЂ” Ь) е-'э'эфэ,(г) е ",й. (14) $ 3.
РАССЕЯНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА НА ПОТЕНЦИАЛЕ 665 Это выражение является решением уравнения Шредингера, так как представляет собой суперпознцню решений этого уравнения. Нам достаточно показать, что до столкновения это выражение тождественно свободному волновому пакету Фэ. Поскольку функция А (Ь' — Ь) имеет острый максимум вблизи точки Ь' = Ь, вклад в интеграл дает только малая область около этой точки.
Когда 1 к — 1/о, фаза подынтегрального выражения ввиду присутствия зкспотенциального фактора ехр((ЕЧ/й) быстро изменяется именно в этой области, и интеграл практически равен нулю, кроме тех значений г, при которых фаза оказывается стационарной. Это может иметь место только для г порядка и(1(, иначе говоря для тех областей пространства конфигураций, где ф,(г) может быть заменена своей асимптотической формой ыкг е'» ' ф» (г) - а '+ /», ((1) а (15) г Подставляя это выражение в интеграл (14), находим Ч'»(г, 1) г ~ Фг,(г, 1) + Ч'~»~1(г, Г), (!6) где ег( Чг1к1 ~ д (Ь Ь) е-ы'э/ (()) е,(йс г при 1-ь — со фаза подынтегрального выражения не может быть сделана ста- ционарной в области Ь' = Ь н интеграл Чгэм практически равен нулю, каким чй бы ии было г.
Волновой пакет, таким образом, в этом пределе действительно совпадает со свободным волновым пакетом. Исследуем теперь эволюцию волнового пакета в зоне детектирования (г) О). В этой области пространства подстановка асимптотической формы (15) несомненно оправдана, выражение (16) вновь обретает силу.
Мы предположим, что дисперсии по направлению н энергии столь малы, что /». (Й) остаетсп практически постоянной в области с размерами 1/Н оа 1/( около точки Ь' = Ь и что в интеграле (17) модуль /».((а) можно за- менить его значением в точке Ь, а фазу этой функции — двумя первыми чле- нами разложения: зги(», (Я) гк аги/ (()] + (Ь' — Ь) в(()), в(()) =йгаб ~агд/»(())1 (з СН, 1). (18) Фазы других сомножителей также заменим двумя первыми членами разложения вблизи Ь; Ь',м Ь+ и(Ь' — Ь), Е' Е+ Ьо(Ь' — Ь) (19) (и — о/в — единичный вектор в направлении начальной скорости), Тогда вы.
числеиие по методу стационарной фазы приводит нас к результату, аналогичному формуле (13) для случая Фэ. е (г у.[и(г — о()+в — Ь). (20) г Поведение функции Ч'1»1 существенно зависит от величины прицельного (Ф параметра Ь. Если Ь ~ д, то аргумент функции )( все время находится в области, где значение этой функции пренебрежимо мало: Чг(эф все время остается практически равной нулю. волновой пакет движется как свободный. 884 ГЛ, Х.
ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ Если Ь ( б, т. е. если падающий волновой пакет попадает в зону эффективного действия потенциала, то функция Х существенно отлична от нуля в сферическом слое толщины 1 по обе стороны сферы г = Рй Функция Чга~, щ! практически равная нулю до столкновения, после столкновения представляет собой пакет сферических волн, расходящихся нз центра с радиальной скоростью о. При 1 ся (!/о волна Ч'1э ! достигает зоны детектирования, к этому моменту она уже полностью отделена от проходящей волны Фв по всем на. правлениям, кроме направления вперед (0 ( Н/й), где эти две волны оказываются сравнимыми по величине н могут интерферировать ').
Мы приходим к качественным результатам, изложенным в $4. 5 6. Вычисление зффектииныд сечений До вычисления эффективных сечений следует уточнить, в чем состоит операция детектирования. Каковы бы ни были детали экспериментального устройства, оно обязательно включает некоторую диафрагму, расположенную на расстоянии 1! и в направлении й от мишени. Отверстие диафрагмы пропускает без искажения волну в телесном угле (й, й + Нй), остальная часть излучения отсекается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
