1612725602-55c9642cb4a0a3db8d0217ff9639649c (828609), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Регистрирующее устройство за диафрагмой детектирует все частицы, проходящие через отверстие. Вероятность Рэ(й)ой регистрации частицы, движение которой перед детектированием описывалось волной Ч'э(г, 1), равна полному потоку через отверстие диафрагмы за все время столкновения'), нлн, что то же самое, вероятности нахождения рассеянной частицы в телесном угле (И,И+НИ) по окончании столкновения (1= ТД 1/о). Ввиду того, что детектор достаточно удален в поперечном направлении и проходящая волна не может на него действовать (условие (8)), вычисление указанной выше вероятности должно производиться с помощью рассеянной волны Ч"1э!.
Пользуясь выражением (20), находим О ь Рь(й) ~ ~ Чг!ага(г. Т) (~гз Нг=(/ь (И) (з ~ ()((а(г — оТ) + з — Ь) (здг. (2!) о о Поскольку иТ л 1, можно сделать замену переменной я =г — оТ н распространить предел интегрирования до — оз, что дает Рэ (й) - ( /в (И)(~ ~ ( Х (яа + з - Ь) Р~а. Рассмотрим теперь пучок частиц с потоком, равным 1; в единицу времени на элемент поверхности (Ь, Ь + НЬ) падает г(Ь частиц н каждая нз них имеет ") Этим ннтерференцнонным членом нельзя пренебречь, нбо он обеспе« чнвает сохранение нормы (задача !).
') Момент пересечения диафрагмы частицей равен в среднем (й + из)/о. Он не может быть указан с точностью, превышающей 1/Р, в согласии с соотношением неопределенности время-энергия; величина из/о может рассматриваться как запаздывание прохождения рассеянной волны. Однако наше экспериментальное устройство, очевидно, не может учесть такое запаздывание, так как з С 1 (см. обсуждение запаздывания отражения в Ч Н1. 6) Па. блюдеиие запаздывания этого рода предполагает значительную погрешность определения энергии (см. $ !8).
й т. столкновения двух частиц вероятность Рь(()) оц быть рассеянной в направлении ((),О+ И(1). Вероятность рассеяния в телесном угле ((),() + и()) в единицу времени н на еднннцу потока получается ннтегрнрованнем этого выражения по Ь: о(()) =(1а((а) (т ~ с(а ~ с)Ь ! Х (не+ а — Ь) ('. ы Область ннтегрнровання по Ь представляет собой плоскость, перпендикулярную гь Заменой переменных р = ив + а в Ь тройной интеграл сводится к ннтегралу нормнровкн функции Х (уравненне (10)).
Тогда действительно получаем выражение (2): о(а)=((л(а))т, й 7. Столкновение двух частиц. Лабораторная система и система центра масс Метод отделения движения центра масс позволяет рассмотреть задачу о столкновении двух частиц при наличии потенциала взаимодействия, зависящего только от взаимного положения частиц 1/(г), путем сведения ее к задаче рассеяния одной частицы на потенциале.
Как было показано в разделе 111 гл. 1Х (мы будем следовать обозначениям этого раздела), движение двух частиц состоит из двух раздельных движений — движения центра масс как свободной частицы и движения «относительной частицы» с массой лт = т,тт/(лт~+птт) под действием потенциала (/(г). В типичном эксперименте по рассеянию мишень, состоящая из частиц типа 2, бомбардируется монокинетическим пучком частиц типа 1 и производится подсчет частиц какого-либо типа, например, типа 1, испускаемых в заданном направлении Й~ —— =(Оыф~).
До столкновения частица 2 находилась в покое, частица 1 двигалась со скоростью и, так что скорость центра масс равна в" = — 'и (М = пт + гпт). Полная энергия системы является суммой энергий движения центра масс и относительного движения Е =Ел+ Е„; здесь Е = — = гное «ге Е. 2 лц+ тт Во время столкновения центр масс продолжает оставаться в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Очевидно, что величина эффективного сечения рассеяния связана с асимптотическим поведением функций стационарных состояний энергии Е„зависящих от относительных координат. ГЛ.
Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯИИЯ Чтобы установить эту связь, удобно изменить систему отсчета н рассматривать явление рассеяния в той системе координат, в которой покоится центр масс частиц. Обычно лабораторной системой называется система отсчета, в которой неподвижна частица-мишень до столкновения, а системой центра масс в та система, в которой покоится центр масс; первая система рассматривалась выше, вторая равномерно и прямолинейно движется относительно первой со скоростью )г. Переход от одной системы к другой изменяет описание движения центра масс, движение «относительной частицы» остается неизменным. Определение эффективного сечения, данное в $ 2, не обязательно предполагает, что частнца мишени первоначально покоится. Отметим, что падающий поток, входящий в это определение, есть поток частиц относительно мишени; эта величина не зависит от выбранной системы отсчета.
Можно определить эффективное сечение о((!) в системе центра масс, подобно тому как определялось эффективное сечение а1(О) в лабораторной системе для того же процесса. Величина о(й) равна числу частиц типа 1, испускаемых в единицу времени на единицу телесного угла в направлении й, когда частица типа 2 бомбардируется относительным потоком частиц типа 1, равным единице, причем все наблюдения производятся в системе центра масс и углы рассеяния также измеряются в этой системе отсчета.
Из этого определения следует, что о(Я) дй= п1 (!!1) д()ь (22) где Я, — направление движения рассеянной частицы 1 в лабораторной системе отсчета, если в системе центра масс она движется в направлении й. Отметим равенство полных эффективных сечений о„„„= ~ и (Й) ~И = а, „,„. Это, разумеется, было ясно а ргюгй ибо полное эффективное сечение дает полное число частиц, рассеянных на единицу падающего потока, а эта величина не зависит от системы отсчета. Величина п(Я) по сравнению с о,(Й1) более непосредственно связана с трехмерной задачей о рассеянии «относительной ча.
стицы» потенциалом )г(г). действительно, в системе центра масс направление движения частицы 1 совпадает с направлением движения «относительной частицы» (частица 2 движется в противоположном направлении). Поскольку, кроме того, падающий поток <относительной частицы» по отношению к силовому центру (г = 0) равен падающему потоку в нашей задаче й т. столкновение двих частиц 367 о рассеянии, величина п(ай) есть эффективное сечение рассеяния «относительной частицы» в направлении Й, т. е. дифференциальное эффективное сечение рассеяния в направлении Й частицы с массой пт н начальной скоростью и на потенциале У(г).
а) Яп плтпяллпде Лпгяе смпялнпяеная а,=(В,(п) /7ппле сталкнпвенлл Яп смпялипбплля Рис. ЗЦ а) Столкновение в лабораторной системе (У= — о); б) то же л$~ столкновение в системе центра масс. В частности, если потенциал У(г) асимптотически стремится к нулю быстрее, чем 1/г, уравнение Шредингера для «относительной частицы» ~ — — Л + У (я')~ тр (г) = Е,тр (г) обладает собственным решением с энергией Е„асимптотическая форма которого имеет вид енм е'"'+ ) (ь))— где Е, = лтлп/2пт, й = ти/в =там./М, й7 — начальный волновой вектор в лабораторной системе координат, В этом случае О (в1) = ) 1 (а) )2, ГЛ Х.
ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ Чтобы перейти от этого выражения') к эффективному сечению 01(ь)1) в лабораторной системе координат, необходимо найти связь между ь) и ь)ь В качестве полярной оси в обеих системах отсчета выберем ось, параллельную напраалению движения. На рис. 31, а представлена схема столкновения в лабораторной системе, а на рис. 31,6 — схема того же столкновения в сисгеме центра масс.
Начальные и конечные скорости двух частиц и сферических координатах представлены в следующей таблице. Начальные скорости Конечные саорост» , (оь Оь ф,) , (о,, О,, фа) о(о, О, О) Лабораторная система ' ( ', О, р) — У ((л, и, О) о-У (о — (с, О, О) оа (о", и — О, ср+н) Система центра масс о" ь'= асс о. он .~- нс, ае +ои нс +лт Направление (Оь ф~) связано с направлением (О, ф) векторным равенством ю) п,=п'+У, (23) т.
е. ф~ — — ф, п~ з1П О, = о' з(п О, и, соз О, = и' соз О + )т, откуда 0 О+т е) Все эти вычисления справедливы только в нерелятивистском приближении. Однако понятие системы центра масс сохраняет свою силу и в релятивистской механике: это система отсчета, в которой полный импульс (импульс частицы (+ импульс частицы 2) равен нулю, Переход от системы центра масс к лабораторной системе осуществляется преобразованиями Лоренца. В нерелятивистском приближении преобразования Лоренца переходят в пре.
образования Галилея, т. е. г,-+г,+УЬ р,-ьр,+т,у. ю) Связь между направлениями (От фа) и (О, ф) определяется равен! ством и, = он+ У. Поскольку оа = (л, нетрудно показать, что Оа = — (и — О), 2 фа=.ф+ и, 3 У. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ Частип 000 или .О+ соз (1 + 2 с соз О+ тз) а (24) а этих выражениях мы положили т = )//о' = лз!/гпз. (25) Векторную сумму (23) можно представить графически, тогда соотношение (24) легко получить из чертежа (рис. 32). Возможны два случая; х<г Рис.
32. Геометрическое иостроеиие 0~ в зависимости от 0: ОА=т, ОМ= 1 (с 1'/о' = из~/озз). 1+ т сов 0 о' (соз 01) с((созе) (1-)-2тсоза-(-т')/' а) т ! (гл! < тз), Угол 01 монотонно увеличивается ог 0 до тс, когда О увеличивается от 0 до ш Заметим, что 1 — О < О, < О при любом О. В пределе т! << Лез имеем О! О (центр масс практически совпадает с частицей 2, т. е. остается неподвижным в лабораторной системе). б) т ) 1 (гл! ) тз), Когда О увеличивается от 0 до я, О, сначала увеличивается от 0 до некоторой максимальной вели!к чины, меньшей я/2 (О,,„= агсз!и — ), затем угол О! уменьшается от 01 „до О.
Каждому значению О! соответствуют, таким образом, два значения 0: О< и О>, связанные между 1 собой соотношением О, = — (О< + 0> — тс); каждому из этих 2 значений соответствуют два различных значения он причем меньшему значению угла соответствует большее значение оь Когда т = 1 (т! — — тз), имеем просто О! = О/2. Из соотношения (24) получаем ГЛ.
Х. ПРОБЛЕМА РАССЕЯННЯ зто и поскольку оО~ 1 о(сова~) ~ ЕО 1 о(сова) находим, применяя соотношение (22): (26) Раздел 11. РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ, ФАЗОВЫЕ СДВИГИ В 8. Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых сдвигов (27) (28) Введем следующие обозначения: е = ))2 = — Е, (7 (г) = —, )г (г), 2вв 2т Тогда у! есть регулярное решение радиального уравнения ~ —, + (е — (! (г) —, )1у! = О (29) с асимптотическим поведением ! у! — а, шп /гг — — и + б,) . в у 2 (30) Фазовые сдвиги б~ определяются единственным образом по радиальному уравнению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
