1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 15
Текст из файла (страница 15)
 ïîñëåäíåìñëó÷àå, î÷åâèäíî, êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö â òîíêîì ñëîå âáëèçè äíàîêàæåòñÿ ½àíîìàëüíî“ ïîâûøåííîé.Ðåøåíèÿ1189.Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå9.1. Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè ÷àñòèö: f (r, v, t) = F (r − vt, v) = F1 (x−cθx t, y−−cθy t, z − ct, θx, θy ).  íàøåì ñëó÷àå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè íåò.Ýòî âîçìîæíî, åñëè ôóíêöèÿ F1 çàâèñèò îò ñâîèõ àðãóìåíòîâx, y, z ÷åðåç ëèíåéíûå êîìáèíàöèèx − cθxt − θx(z − ct) = x − θxz, y − cθy t − θy (z − ct) = y − θy z.Ó÷èòûâàÿ âèä ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè z = 0, ïîëó÷àåìf (x, y, z, θx, θy ) =Ã=22θx2θy2!(x − θxz)(y − θy z)Nexp−−−−.π 2 σx σy ∆x ∆y2σx22σy22∆2x 2∆2yÊîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö â ïó÷êåZn(x, y, z) =µ¶Nx2y2f dθxdθy = 2exp − 2 − 2 ,π σ̃xσ̃y2σ̃x 2σ̃yãäåσ̃x2 = σx2 (1 + z 2/βx2), σ̃y2 = σy2(1 + z 2/βy2), βx = σx/∆x, βy = σy /∆y .×èñëî ñîóäàðåíèé â ñåêóíäó íà ó÷àñòêå dz çà âðåìÿ dtZdν = σint · 2c · dzdtcN 2n (x, y, z)dxdy =dz.π σ̃xσ̃y2Ðàçóìååòñÿ, íàéäåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñïðàâåäëèâû òîëüêî íà ó÷àñòêå ìåæäó ôîêóñèðóþùèìè ïó÷êè ëèíçàìè, à ñãóñòêè ÷àñòèö íåáåñêîíå÷íû 30 .Äëÿ óñêîðèòåëÿ ÂÝÏÏ-4Ì, íàïðèìåð, σx = 1 ìì, σy = 0, 03 ìì, βx = 75ñì, βy = 5 ñì, äëèíà ñãóñòêîâ ÷àñòèö σz = 5 ñì, ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ëèíç√ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ìåòðîâ.
N = (N0 / πσz ) exp (−(z ± ct)2 /2σz2 ).30Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå1199.2. Ïóñòü ïëàçìà íàõîäèòñÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E ∝ eikr−iωt.Ìû ïðèíèìàåì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå äîñòàòî÷íî ñëàáîå, ÷òîáûîòêëîíåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ δf îò ðàâíîâåñíîé f0 ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ìàëûì è ïðîèçâåñòè ëèíåàðèçàöèþêèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ìû íàéä¼ì äîáàâêó ê ôóíêöèèðàñRïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ, çàòåì ïëîòíîñòü òîêà j = e vδf d3 p,âûðàçèì ïðîâîäèìîñòü è, íàêîíåö, âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåìε=1+4πσi.ω(65)Âûáåðåì îñü x ïàðàëëåëüíî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà k.
Ñ ó÷åòîìòîãî, ÷òî δf ∝ E, èç ëèíåàðèçîâàííîãî êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ(áåç ó÷åòà ñòîëêíîâåíèé)∂δf∂δf∂f0+ vx+ eE=0∂t∂x∂pïîëó÷àåìδf = −ieE ∂f0.ω − kvx ∂pÁóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü ðàçëîæåíèå11=ω − kvx ωÃ1+kvx+ωµkvxω!¶2+ ... .Íà÷í¼ì ñî ñëó÷àÿ, êîãäà ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïàðàëëåëüíî k.2µ¶2!∂f0kvxkvx1+++ ... d3p =∂pxωωµ¶k 2hv 2iine21+E = σl E,=mω2µ¶ω02k 2hv 2i4πne22εl = 1 − 2 1 +, ω0 =.ωω2mÄëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà hv 2 i = 3T /m.j ≡ jx =−ie EωÃZvxÐåøåíèÿ120Äëÿ ñëó÷àÿ E⊥k íàïðàâèì îñü y âäîëü E. ÒîãäàZZ3∂fdpieEf0d3p02j ≡ jy = −ie E vy== σtE, (66)∂py ω − kvxmω − kvxµ¶ω02k 2hv 2iεt = 1 − 2 1 +.ω3ω 2Ìû íå âûïèñûâàåì çäåñü ìíèìóþ ÷àñòü ε, îáóñëîâëåííóþ çàòóõàíèåì Ëàíäàó.Ïðèâåäåì åùå îäèí âàðèàíò âûâîäà εl è εt , íà ýòîò ðàç íåñâÿçàííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.Ñíà÷àëà íàïîìíèì, êàê íàõîäèòñÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïëàçìû áåç ó÷åòà òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ.
Äèïîëüíûé ìîìåíò, âîçíèêàþùèé ïðè ñìåùåíèè ýëåêòðîíà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E(t) = E exp (−iωt), ðàâåí p(t) = α(ω)E(t), ãäåα = −e2/mω 2 ïîëÿðèçóåìîñòü ÷àñòèöû. Ïîëÿðèçàöèÿ âåùåñòâà P = np, ãäå n êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ. Äàëåå,D== εE = E + 4πP, îòêóäàε(ω) = 1 + 4πnα(ω).(67)×òîáû ó÷åñòü òåïëîâîå äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ ðàññìàòðèâàåìïî îòäåëüíîñòè ãðóïïû ýëåêòðîíîâ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè v.Êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ â êàæäîé èç òàêèõ ãðóïï îïðåäåëÿåòñÿôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f (v).
Íàéäåì ïåðåìåííûé äèïîëüíûéìîìåíò ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ ïî çàêîíó r = vt, âîçíèêàþùèéâ ïîëå E exp (ikr − iωt). Ïî ñóòè äåëà, ìû áóäåì îïðåäåëÿòü ðåàêöèþ ýëåêòðîíà íà ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, ïîýòîìó ñ÷èòàåì, ÷òî íàðÿäó ñ ýëåêòðè÷åñêèì åñòü è ìàãíèòíîå ïîëå, çàâèñèìîñòü êîòîðîãî îò êîîðäèíàò è âðåìåíè òàêîâà æå. Ìàãíèòíîåïîëå ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ rotE = − 1c ∂B∂t , ÷òî äàåòB = ωc [kE]. Ïîêà ìû ðàññìàòðèâàëè ïîêîèâøèåñÿ (áåç ó÷åòà âîëíû) ýëåêòðîíû, ýòî ìàãíèòíîå ïîëå íàñ íå èíòåðåñîâàëî, ïîñêîëüêó ó÷åò åãî âëèÿíèÿ íà äâèæåíèå ýëåêòðîíà äàë áû ïîïðàâêó,Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå121êâàäðàòè÷íóþ ïî àìïëèòóäå ïîëÿ.
Äëÿ ó÷åòà êîëåáàíèé ýëåêòðîíà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v, ýòî ìàãíèòíîåïîëå ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Äåëî â òîì, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîåïîëå â ýòîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ýëåêòðè÷åñêèì, òàêè ìàãíèòíûì ïîëÿìè â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå:1111E0 = E + [vB]= E + [v[kE]] = E + (vE)k − (kv)E, (68)cωωω00E (t) = E exp (−i(ω − kv)t).Ïîëÿðèçóåìîñòü α äîëæíà áûòü âçÿòà ïðè çíà÷åíèè ÷àñòîòû,ðàâíîì ω 0 = ω−kv.
(Èçìåíåíèå ÷àñòîòû ïîëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéýôôåêò Äîïëåðà.) Âîçâðàùàÿñü â ëàáîðàòîðíóþ ñèñòåìó, ïîëó÷àåì äèïîëüíûé ìîìåíò p = p0 , ãäå p0 = α(ω 0 )E0 . 31 Ïîëÿðèçàöèþïîëó÷àåì, ïðîñóììèðîâàâ çíà÷åíèÿ p ïî âñåì ýëåêòðîíàì, ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì ðàçáðîñ èõ ñêîðîñòåé, èíà÷å ãîâîðÿ, óñðåäíèâ ñìàêñâåëëîâñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà Ekk.
 ýòîì ñëó÷àå E0 = Eè â (67) çàìåíÿåì nα íàZ2 Zf (v)d3ve03nhα(ω )i = α(ω − kvx)f (v)d v = −.(69)m (ω − kvx)2Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì ïî vx , ïîëó÷àåì2 Z∂f d3ve0nhα(ω )i = −.(70)mk∂vx ω − kvxÝòî ïðèâîäèò ê íàéäåííîìó óæå âûøå âûðàæåíèþ εl .0Ev ñëó÷àå E⊥k èç (68) ïîëó÷àåì E0 = E ωω + ω y k. Âòîðîå ñëà-ãàåìîå ïðè óñðåäíåíèè ïî íàïðàâëåíèÿì èñ÷åçíåò, òàê ÷òî â (67)çàìåíÿåì nα íà¿00 ωn α(ω )ωÀe2=−mZf (v)d3v.ω − kvx(71)Êðîìå òîãî âîçíèêàåò òàêæå è ìàãíèòíûé ìîìåíò, m = 1c [vp0 ]. Ïðè âîçâðàòå â ëàáîðàòîðíóþ ñèñòåìó âêëàä åãî â ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíòáóäåò èìåòü îòíîñèòåëüíóþ âåëè÷èíó ∼ v 2 /c2 , è ìû íå áóäåì åãî ó÷èòûâàòü.31Ðåøåíèÿ122 ðåçóëüòàòå äëÿ εt òàêæå ïîëó÷àåì çíà÷åíèå, íàéäåííîå âûøå.κ24πne229.3.
ε(k) = 1 + 2 , κ =.kT(Ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó ω → 0 ñëåäóåò çàìåíÿòü ω → i² → 0.Ïîýòîìó â (69) ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî vx ïîëó÷èòñÿ ïîëþñ âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè vx = 0, êîòîðûé ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îáõîäèòñÿ ñíèçó. Óäîáíåå âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì (70).)Ïîñêîëüêó â îòâåò íå âõîäèò ìàññà ÷àñòèö, ïðîòîíû äàþò òàêîéæå âêëàä, êàê è ýëåêòðîíû, ò. å. n ñóììàðíàÿ êîíöåíòðàöèÿçàðÿæåííûõ ÷àñòèö.9.4. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ðàçáðîñîìñêîðîñòåé ÷àñòèö32 .
ε(ω) = 1 − ωe2 /ω 2 − ωi2 /ω 2 , ωa2 = 4πna e2a /ma ,a = e, i. Äëÿ ne = ni äåëî ñâîäèòñÿ ê çàìåíå ìàññû ýëåêòðîíà íàïðèâåäåííóþ ìàññó ýëåêòðîíà è èîíà.Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñõîäñòâî ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â ýòîìñëó÷àå ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.9.5. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â óêàçàííûõ óñëîâèÿõ ïîëÿðèçàöèÿýëåêòðîííîé ñîñòàâëÿþùåé ïëàçìû îêàçûâàåòñÿ ñòàòè÷åñêîé:εe − 1 = κ 2/k 2 , κ 2 = 4πne2/Te, à â èîííîé ïîëÿðèçàöèè ìîæíîïðåíåáðå÷ü ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé:22εi − 1 = −ω0i/ω 2 , ω0i= 4πne2/mi.
 èòîãå2κ 2 ω0iε = 1+ 2 − 2.kωÇàêîí äèñïåðñèè èîííîãî çâóêà ïîëó÷àåì èç óðàâíåíèÿε(ω, k) p= 0. Ïðè íèçêèõ ÷àñòîòàõ ñêîðîñòü òàêîãî çâóêàω/k = Te/mi. Óêàçàííûå â óñëîâèè ñîîòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé ìîãóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè Te À Ti .32 ýòîì ñëó÷àå êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, â ñóùíîñòè, íå íóæíî.Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå123Òàêèå êîëåáàíèÿ ñõîäíû ñ àêóñòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.09.6. Ïåðåéäåì îò ïåðåìåííûõ p0, p01 ê ïåðåìåííûì V0 è vîòí:Zδ(p + p1 − p0 − p01)δ(ε(p) + ε(p1) − ε(p0) − ε(p01))d3p0d3p01, =Z= 8m6δ(2m(V − V0))2020·δ(mV 2 + mvîòí/4 − mV 02 + mvîòí/4)d3V 0d3vîòí== m2vîòídΩ0. èòîãåZI=dσ0 00 3vîòí (f f1 − f f1 )dΩ d p1dΩ0(ìíîæèòåëü m−2 ñ÷èòàåì âêëþ÷åííûì â êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â óñëîâèè, äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ0ìîëåêóë çàâèñèò îò óãëà ìåæäó vîòíè vîòí = (p − p1 )/m ).9.7.
Î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìîå ðàñïðåäåëåíèå äîëæíî áûòü ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèòîò t è r. Ïîñêîëüêó òàêæå F = 0, ïîëó÷àåì I = 0. Ðàñïðåäåëåíèå äîëæíî áûòü èçîòðîïíûì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåòçàâèñåòü òîëüêî îò ìîäóëÿ p, ò.å. òîëüêî îò ýíåðãèè. ÓñëîâèåI = 0 ñâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó f (ε)f (ε1) = f (ε0)f (ε01) ïðè óñëîâèèε + ε1 = ε0 + ε01, èíà÷å ãîâîðÿ, f (ε)f (ε1) = F (E), ãäå E = ε + ε1.Çàïèñàâ ýòî ðàâåíñòâî â âèäå ln f (ε) + ln f (E − ε) = ln F (E), ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî ε:f 0(ε) f 0(ε1)−= 0.f (ε)f (ε1)Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ε è ε1 ïðîèçâîëüíû, ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òîÐåøåíèÿ124f 0(ε)/f (ε) = −β , ãäå β ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò ε.
 èòîãåïîëó÷àåìf (ε) = eα−βε,ò. å. ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà.9.8. Ïëîòíîñòü ïîòîêà òåïëà ýòî ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè êâàçè÷àñòèö:Zv²(p)f (p)d3p .q=Èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì p, ñêîðîñòü êâà-∂²p= v0 sgn(p − p0), ôàêòè÷åñêè âêëàä äàåò∂ppîáëàñòü |p − p0 | . T , ïðè÷åì íóæíî ñëîæèòü âêëàäû ýëåêòðîíîâ(p > p0 ) è äûðîê (p < p0 ).çè÷àñòèöû v =Ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì ïîòîêà ÷åðåç ýíåðãèè ýëåêòðîíîâZq=v(ε(p) − ε0)f (p)d3p .(Ïîäðîáíåå â [16, 3.4] .)9.9. Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ôîòîíîâ,∂f∂f+ vi= I.∂t∂xiÇäåñü ñêîðîñòü ôîòîíà v = c2 p/ε, ε = cp ýíåðãèÿ ôîòîíà.Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèéZI∝[w(p0 → p)f (p0) − w(p → p0)f (p)]d3p0.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòîëêíîâåíèÿ ôîòîíîâ ñ ÷àñòèöàìè âåùåñòâàÿâëÿþòñÿ óïðóãèìè, ε(p0 ) = ε(p), è ÷òî w(p0 → p) = w(p → p0 ).RR3Òîãäà εId p = 0,pId3p = 0.Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå125Ïðèìåì òàêæå, ÷òî â êàæäîé ½òî÷êå“ äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíîåðàâíîâåñèå, â ÷àñòíîñòè, ôîòîííûé ãàç èìååò íåêîòîðóþ ñðåäíþþñêîðîñòü V, è â ñèñòåìå îòñ÷åòà, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ñ òàêîé ñêîðîñòüþ, ðàñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî èìïóëüñàì f0 (p) ìîæíî ñ÷èòàòüèçîòðîïíûì (è ðàâíîâåñíûì).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
