1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 16
Текст из файла (страница 16)
 ñëó÷àå, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿîáûêíîâåííûé ãàç, ïîäîáíûå ïðåäïîëîæåíèÿ ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèÿì ãàçîäèíàìèêè èäåàëüíîãî ãàçà. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ôîòîííîãî ãàçà ÿâëÿåòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé:V ¿ c (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû ìàëà).Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f â èñõîäíîé ñèñòåìå ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ f0 â ñèñòåìå, èìåþùåé ñêîðîñòü33 V:µVε ∂f0v.c2 ∂εÏðè çàìåíå v → −v ôóíêöèÿ f0 íå èçìåíÿåòñÿ, à δf → −δf .f (p, r, t) = f0 p −Vεc2¶= f0(p) + δf,δf = −Êàêãàçà, êîíöåíòðàöèÿ ôîòîííîãî ãàçàR è 3äëÿ îáûêíîâåííîãîRn = f d p = f0d3p, ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîåðàñïðåR â ôóíêöèèäåëåíèÿ âûïàäàåò. Ïëîòíîñòü ïîòîêà jk = vk f d3 p. Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà âêëàä äàåò òîëüêî ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå34 .Ïðîèíòåãðèðóåì êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïî d3 p.
 ðåçóëüòàòåïîëó÷àåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè∂n ∂ji+= 0.∂t ∂xiÓìíîæèì êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèåíà vk è ïðîèíòåãðèðóåì ïîRd3p. Ïðè ýòîì â èíòåãðàëå vk vif0d3p ìîæíî çàìåíèòü vk vi íàc2 δki /3, à âêëàä ñëàãàåìîãî δf èñ÷åçàåò.∂jk c2 ∂n+= 0.∂t3 ∂xkÈñïîëüçóåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëîðåíöà äëÿ èìïóëüñà è ýíåðãèè ïðè V ¿ c.Ïîäðîáíåå î ïðåîáðàçîâàíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñì. [4, 10].34 Íåñëîæíî ïîëó÷èòü òàêæå, ÷òî j = Vn.33Ðåøåíèÿ126Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê âîëíîâîìó óðàâíåíèþ∂ 2n c2= 4n.∂t23Ñêîðîñòü âîëí ïëîòíîñòè â ôîòîííîì ãàçå â îïèñàííûõ óñëîâèÿõcîêàçàëàñü ðàâíà √ .3Òàêîå æå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàññìàòðèâàÿ ôîòîííûé ãàç êàê ñïëîøíóþ ñðåäó ñ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿP =E1= %c2.353V3Ïîäîáíûå æå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ôîíîííîì ãàçå,íàáëþäàþòñÿ â ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå 0, 5Ê.( ýòîì ñëó÷àå c ñêîðîñòü îáû÷íîãî, ½ïåðâîãî“ , çâóêà.) Ýòîòåïëîâûå âîëíû, êîòîðûå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íà ðàññòîÿíèÿ,ìíîãî áîëüøèå äëèíû âîëíû.
Èõ íàçûâàþò âòîðûì çâóêîì.9.10. Ïóñòü OZ k B, à OX k E. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå è îòëè÷èåδf ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îò ðàâíîâåñíîé f0 ñ÷èòàåì ìàëûìè,à ìàãíèòíîå ïîëå íåò. Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîñëå ëèíåàðèçàöè趵δf∂δf∂δf∂f0+ ω vx− vy=− ,eE∂vx∂vy∂yxτω=eB.mcÈùåì ðåøåíèå â âèäåδf = A(ε)vx + B(ε)vy .Ïðèðàâíÿâ ïî îòäåëüíîñòè ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå vx è vy , íàõîäèìA=−τ eE ∂f0, B = ωτ A.1 + (ωτ )2 ∂εÇàìåòèì â ñâÿçè ñ ýòèì, ÷òî ïðèâåäåííûé âûøå âûâîä ìîæíî áûëî áûïðèìåíèòü è ê ãàçó óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèõ ôåðìèîíîâ.35Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå127RÏðè âû÷èñëåíèè ïëîòíîñòè òîêà â jx = e vx δf d3 v âîéä¼ò òîëüêîA, ïðè÷åì ìíîæèòåëü 1/[1 + (ωτ )2], ñîäåðæàùèé âñþ çàâèñèìîñòüîò ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà.
ÏîýòîìóσEne2τjx =, jy = ωτ jx , σ =.1 + (ωτ )2m(72)Ïðè äàëüíåéøåì àíàëèçå îòâåòà íàäî ó÷èòûâàòü, ÷òî âåêòîð jíàïðàâëåí âäîëü ïðîâîäà, à ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå èìååò êàê ïðîäîëüíóþ, òàê è ïîïåðå÷íóþ ïî îòíîøåíèþ ê òîêó êîìïîíåíòû,E = E⊥ + Eq .Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó ïëîòíîñòüþ òîêà è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì θ,qj=σEjx2 + jy2 = p1+(ωτ )2,jyjx1, tgθ ==p= ωτ ,2jj1 + (ωτ )xEEq = E cos θ = p,j = σEq .1 + (ωτ )2jHjE⊥ = Eqtgθ = ωτ =.σ neccos θ =(73)(74)(75)(76) èòîãå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàâèñèìîñòü òîêà îò ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ýôôåêò, íàçûâàåìûé ìàãíåòîñîïðîòèâëåíèåì) âðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè îòñóòñòâóåò. Ïîÿâëåíèå ïîïåðå÷íîãî íàïðÿæåíèÿ ýòî ýôôåêò Õîëëà.
Âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåE⊥ = RHj , ãäå R = 1/nec êîýôôèöèåíò Õîëëà.Òàêîé æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, îòâëåêàÿñü îò ðàçáðîñàïî ñêîðîñòÿì ýëåêòðîíîâ è ïðåäñòàâëÿÿ, ÷òî ó íèõ åñòü íåêàÿñðåäíÿÿ ñêîðîñòü, íàïðàâëåííàÿ âäîëü ïðîâîäíèêà v ≡ vq . Òîãäàñðåäíåå çíà÷åíèå äåéñòâóþùåé íà ýëåêòðîí â íàïðàâëåíèè ïîïåðåê ïðîâîäà ñèëû äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ: eE⊥ +(e/c)[vq H] = 0;ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâà j = nevq ýòî ïðèâîäèò ê íàéäåííîìó âûøåÐåøåíèÿ128çíà÷åíèþ êîýôôèöèåíòà Õîëëà è îòñóòñòâèþ ìàãíåòîñîïðîòèâëåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî îáîñíîâàòü τ -ïðèáëèæåíèå â ýòîé çàäà÷å â ñëó÷àåïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ åäâà ëè óäàñòñÿ.9.11.
Èñïîëüçóÿ (72), ñóììèðóåì âêëàäû â òîê äâóõ íîñèòåëåé:ei Hnie2i τiσi, ωi =, σi =jx = (α1+α2)E, αi =, i = 1, 21 + (ωiτi)2micmijy = (β1 + β2)E , βi = ωiτiαi .Äàëåå, ïîäîáíî (7475),jxjj2(α1 + α2)2 + (β1 + β2)2Eq = E = , σ ==.jσjxEα1 + α2Â ýòîé ìîäåëè ïðîâîäèìîñòü çàâèñèò îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Âàæåíôàêò ïîÿâëåíèÿ ñåðü¼çíîé çàâèñèìîñòè, ñàìîìó æå ïîëó÷åííîìóõàðàêòåðó çàâèñèìîñòè íå ñëåäóåò ïðèäàâàòü áîëüøîãî çíà÷åíèÿ,ò. ê. íà âèäå å¼ â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ ñèëüíî ñêàçûâàåòñÿ àíèçîòðîïèÿ çàâèñèìîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ îò êâàçèèìïóëüñà, êîòîðîé ìû íå ó÷èòûâàëè. Õîëëîâñêèé êîýôôèöèåíò îêàçûâàåòñÿðàâåíσ12R1 + σ22R2R=,(σ1 + σ2)2ãäå Ri = 1/(ei ni c).9.12. Íàïðàâèì îñü x ïî âîëíîâîìó âåêòîðó k çâóêà, îñü y ïî íàïðàâëåíèþ ñìåùåíèÿ u âåùåñòâà â çâóêîâîé âîëíå. Ïðèìåì,÷òî u ∝ exp i(kx − ωt). Óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêîâîé âîëíû,µ2∂ 2u2∂ uρ− vs 2∂t2∂x¶=−∂Πyx,∂x(77)Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå129ãäå vs ñêîðîñòü çâóêà, Πyx êîìïîíåíòà òåíçîðà ïëîòíîñòèïîòîêà èìïóëüñà, ïåðåíîñèìîãî ýëåêòðîííûì ãàçîì:ZΠyx =py vx f d 3 p(78)Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîñòîÿíèå ýëåêòðîííîãî ãàçà áëèçêî ê ëîêàëüíî ðàâíîâåñíîìó:f = f0(|v − u̇(x, t)|) + δf(79)Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ω ¿ kv ¿ 1/τ , â ëåâîé ÷àñòè êèíåòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ∂f∂fδf+ vx=−∂t∂xτñëåäóåò ñîõðàíèòü òîëüêî âêëàä f0 âî âòîðîì ÷ëåíå, òàê ÷òîδf∂f0=− ,(80)vx(ik)(iωu)∂vyτZv022 ∂f0 3Πyx = −kωτ um vxvyd p = kωτ mnu .(81)∂vy5Èç (77) ïîëó÷àåì ρ(ω 2 − vs2 k 2 )u = −ikΠyx , îòêóäà 36ω iγnmv02ω 2τ∼ ωτ k.k= + , γ=vs25ρvs3Âåëè÷èíà γ õàðàêòåðèçóåò ïîòåðè ýíåðãèè: |u|2 ∝ exp (−γx).9.13.
Çàâèñèìîñòü äîáàâêè ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (80) îòíàïðàâëåíèÿ âåêòîðà p = np èìååò âèäδf = A(ε)nxny .(82) èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé âõîäèò ðàçíîñòü δf (p) − δf (p0 ). Ìûïîäñòàâèì δf (p0 ) â ýòó ðàçíîñòü, ïðåäñòàâèâ èìïóëüñ ýëåêòðîíàÌû íå ó÷èòûâàëè íåêîòîðûå ñóùåñòâåííûå äëÿ çàäà÷ ôèçèêè òâ¼ðäîãîòåëà îáñòîÿòåëüñòâà, íàïðèìåð, òîò ôàêò, ÷òî çàâèñèìîñòü ε(p) èçìåíÿåòñÿïðè äåôîðìàöèè âåùåñòâà.36Ðåøåíèÿ130ïîñëå ðàññåÿíèÿ â âèäå p0 = p(n cos θ + n0⊥ ), è ïðîâåäåì óñðåäíåíèå ïî àçèìóòàëüíîìó íàïðàâëåíèþ âåêòîðà n0⊥ (ó÷èòûâàÿ, ÷òîâõîäÿùåå â èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ îò ýòîãîíàïðàâëåíèÿ íå çàâèñèò).δf (p0) = A(ε)n0xn0y = A(ε)(cos θ nx + n0⊥x)(cos θ ny + n0⊥y ).Óêàçàííîå óñðåäíåíèå ñâîäèòñÿ ê çàìåíàì:11hn0⊥ii = 0, hn0⊥in0⊥j i = (n0⊥)2(δij − ninj ) = sin2 θ (δij − ninj ).22(83) ÷àñòíîñòè,= (cos θ − sin θ) nxny .
Ïîýòîìó ðàçíîñòüδf (p) − δf (p0) çàìåíÿåòñÿ íà δf (p)(1 − hn0xn0y i) = δf (p) 32 sin2 θ. èòîãå ïðèõîäèì ê îòâåòóhn0xn0y i2122Z1 3dσ= n0 vsin2 θ dΩ.τ2dΩÑâÿçü âåëè÷èíû τ ñ ñå÷åíèåì ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ îêàçàëàñüíå òàêîé, êàê â çàäà÷àõ î ïðîâîäèìîñòè è î òåïëîïðîâîäíîñòè.9.14. Èíòåðåñóÿñü êîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòè, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûì ðàññòîÿíèåì, íà êîòîðîì èçìåíÿåòñÿ òåìïåðàòóðà.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè â êàæäîé ½òî÷êå“ãàçà åñòü ëîêàëüíîå ðàâíîâåñèå, ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ìàêñâåëëîâñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿf0 = An(x)e−ε/T (x) ,(84)ãäå n(x) è T (x) ëîêàëüíûå çíà÷åíèÿ êîíöåíòðàöèè è òåìïåðàòóðû√ãàçà, ε = p2 /2m. Èìåÿ â âèäó, ÷òî d3 p ∝ εdε, ìíîæèòåëü Aîïðåäåëÿåì óñëîâèåìZ∞0√f0 εdε = n ,µ ¶3= 1.AT 3/2Γ2(85)Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå131Äàâëåíèå ãàçà â ñîãëàñèè ñ (84) ðàâíî P = nT. Äàâëåíèå íå äîëæíî èçìåíÿòüñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå, òàê ÷òî ãðàäèåíò òåìïåðàòóðûè ãðàäèåíò êîíöåíòðàöèè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì1 dn 1 dT+= 0.n dx T dx(86)Ïîòîê òåïëà îáóñëîâëåí îòêëîíåíèåì ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿîò ðàâíîâåñíîé, f = f0 +δf .
Çàÿâëåííîå â óñëîâèè τ -ïðèáëèæåíèåïîäðàçóìåâàåò, ÷òî êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå ëèíåàðèçîâàíî, ò. å.vx∂f0δf=− .∂xτ(87)Ñ ó÷¼òîì (84),(85),(86) ïîëó÷àåì∂f0 ∂f0 dn ∂f0 dT=+=∂x∂n dx ∂T dxµ¶f0 dn f0ε dT 3 f0 dTf0 ε 5 dT=+ 2−=−,n dx T dx 2 T dxT T 2 dxòàê ÷òf0 ε 5 dT−.(88)δf = −τ vxT T 2 dxRÇàìåòèì, ÷òî âêëàäûδfâêîíöåíòðàöèþn∝δf d3p è ïëîòRíîñòü ýíåðãèè nhεi ∝ εδf d3 p îáðàùàþòñÿ â íîëü (èç-çà íàëè÷èÿìíîæèòåëÿ vx ).
Ïî òîé æå ïðè÷èíå δf íå äàñò ïîïðàâêè è ê äàâëåíèþ. 37 Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî δf íå ïðèâåä¼ò è ê ïîÿâëåíèþRR∞ −ε/T√3ïîòîêà ÷àñòèö: vx δf d p ∝ e(ε/T − 5/2)ε εdε = 0 (âìåñòîvx2ïîäñòàâëåíî 2ε/3m).0Èìåííî ýòîò ôàêò ïîçâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü âõîäÿùèå â (84) âåëè÷èíû n è T êàê êîíöåíòðàöèþ è òåìïåðàòóðó ãàçà; äîáàâêà êR ïëîòíîñòè ïîòîêàèìïóëüñà, ôàêòè÷åñêè îïðåäåëÿþùåé äàâëåíèå, δΠxx ∝ vx px δf d3 p, òàêæåîáðàùàåòñÿ â íîëü, ïîäòâåðæäàÿ çàêîííîñòü ðàâåíñòâà P = nT è òåì ñàìûìñîîòíîøåíèÿ (86).37Ðåøåíèÿ132Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè,Z∞q=0√2τ dTε vx δf εdε = −3mT dxµZ∞f0ε20¶ε 5 √−εdε =T 2µ µ ¶µ ¶¶5dT2τ dT97=−AnT 5/2 Γ− Γ= −κ,3m dx222dxãäåκ=5nT τ2m(89) êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè.Ñëåäóåò ñîçíàòüñÿ, ÷òî τ -ïðèáëèæåíèå íå óäà¼òñÿ îáîñíîâàòü.Áîëåå êîððåêòíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [3, 6 - 10],[22, 7 - 13], [23, ãë.
II].Âûðàæåíèå (89) ñïðàâåäëèâî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû, ïðè ýòîìíóæíî èìåòü â âèäó, p÷òî τ ∼ l/v , ãäå l ∼ 1/nσ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà, v ∼ T /m òåïëîâàÿñêîðîñòü, σ ñå÷åíèåqT. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òîðàññåÿíèÿ ìîëåêóë. Ïîýòîìó κ ∼ σ1 mòåïëîïðîâîäíîñòü îêàçàëàñü íå çàâèñÿùåé îò êîíöåíòðàöèè ãàçà.Ðàçóìååòñÿ, ïðè î÷åíü ìàëîé êîíöåíòðàöèè ãàçà, êîãäà íà äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáåãà íåëüçÿ ñìîòðåòü êàê íà èñ÷åçàþùå ìàëóþ(íàïðèìåð, äëÿ ãàçà ìåæäó ñòåíêàìè êîëáû òåðìîñà), çàâèñèìîñòü îò êîíöåíòðàöèè âïîëíå ñóùåñòâåííà.A. Òåïëî¼ìêîñòü ïîäâåøåííîãî øàðèêàA.133ÄîïîëíåíèÿÏðèâîäèìûå â äîïîëíåíèÿõ A è B çàìåòêè íàïå÷àòàíû â ½Ñèáèðñêîì ôèçè÷åñêîì æóðíàëå“ [24], [25].A.Òåïëî¼ìêîñòü ïîäâåøåííîãî øàðèêà ýòîì ðàçäåëå ðàññìîòðåíà çàäà÷à: îäèíàêîâà ëè òåïëî¼ìêîñòü òâåðäîãî øàðèêà â ñëó÷àå, åñëè îí ïîäâåøåí, è â ñëó÷àå,åñëè ëåæèò ? ½ôèçè÷åñêîì ôîëüêëîðå“ ñ äàâíèõ ïîð èìååò õîæäåíèå çàäà÷à î ðàçíèöå ìåæäó òåïëî¼ìêîñòÿìè øàðèêà, êîãäà îí ëåæèòíà ñòîëå è êîãäà îí ïîäâåøåí.
Îáû÷íî ýòó çàäà÷ó ïðåäëàãàþòøêîëüíèêàì è ñ÷èòàþò íåòðóäíîé. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîâëåòâîðÿþòñÿ ñëåäóþùèì íåïðàâèëüíûì ðåøåíèåì.Òåïëî¼ìêîñòü ëåæàùåãî øàðèêà C1 áîëüøå, ÷åì âèñÿùåãî C2 ,òàê êàê â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè íàãðåâàíèè íà ∆T ãðàäóñîâ êðîìåóâåëè÷íåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè øàðèêà íóæíî ñîâåðøèòü åùå èðàáîòó ïî ïîäú¼ìó åãî öåíòðà òÿæåñòè A = mgrα∆T , à âî âòîðîì ïîäîáíàÿ ðàáîòà èìååò äðóãîé çíàê (m - ìàññà øàðèêà, r åãî ðàäèóñ, α ëèíåéíûé êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ).ÏîýòîìóC1 − C2 = 2mgrα½Ðàçîáëà÷èòü“ ýòî ðåøåíèå íåñëîæíî. Ïðåäñòàâèì ñåáå òåïëîâóþ ìàøèíó, â êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ óêàçàííàÿ ðàáîòà 2A. (Ñêàæåì, äíåì, êîãäà øàðèê íàãðåò, çàêðåïëÿåì åãî íà ïîäâåñå, à âå÷åðîì, êîãäà îí, îõëàäèâøèñü, ïîäòÿíåòñÿ ââåðõ, ïîäíèìàåì ïîäñòàâêó).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
