1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 14
Текст из файла (страница 14)
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü âëèÿíèÿ íàäâèæåíèå îñöèëëÿòîðà ñèë (êàê âîçâðàùàþùåé, òàê è ñëó÷àéíîé)è ïðèíÿòü x(t2 ) = x(t1 ) + v(t1 )(t2 − t1 ). Äëÿ ôóíêöèè χ ýòî äàåòïðè t → 0χ(t) = hv(t1)x(t1)i + hv 2(t1)i(t2 − t1) .Ó÷ò¼ì äàëåå25 , ÷òî1hv(t1)x(t1)i =2¿d 2x (t1)dt1À= 0,Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíèîò îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè ðàâíî íóëþ, ìû ïðèíèìàåì, íå àêöåíòèðóÿ íà ýòîìâíèìàíèÿ, ÷òî ñðåäíåå ïî àíñàìáëþ íå îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî ïî âðåìåíè.25Ôëóêòóàöèè109à òàêæåhv 2(t1)i =T.mÄëÿχ = ϕ̇ = e−γt ((−γA + ωB) cos ωt − (ωA + γB) sin ωt)ýòî ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì−γA + ωB = 0 , −ω(γB + ωA) =T,mîòêóäàTγA = − ω02 , B = A .mωÓ÷òÿ òàêæå, ÷òî ϕ(−t) = ϕ(t) , χ(−t) = −χ(t) , ψ(−t) = ψ(t),ïîëó÷àåì â èòîãåhx(t0)x(t0 + t)i = (T /mω02)(cos ωt + (γ/ω) sin ω|t|)e−γ|t|,hv(t0)x(t0 + t)i = (T /mω) sin ωt e−γ|t|,hv(t0)v(t0 + t)i = (T /m)(cos ωt − (γ/ω) sin ω|t|)e−γ|t|.7.8.
×èñëî ÷àñòèö Na â ëþáîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè |ai ñ ýíåðãèåé, áîëüøå ìèíèìàëüíîé, ìèêðîñêîïè÷åñêè ìàëî, ïîýòîìó ãàçñ N ÷àñòèöàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåðìîñòàò è èñòî÷íèê÷àñòèö äëÿ ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Ôëóêòóàöèè ÷èñëà ÷àñòèö â òàêîìñîñòîÿíèèh(∆Na)2i = hNai + h∆Nai2 = T∂hNai∂µ(52)×èñëî ÷àñòèö â áîçå-êîíäåíñàòå N0 ñîïîñòàâèìî ñ N è îïðåäåëÿåòñÿ êàêXN0 = N −Na.(53)|aiÐåøåíèÿ110Åñòåñòâåííî òàêæå, ÷òî26hN0i = N −X(54)hNai.|aiÔëóêòóàöèè N0 îïðåäåëÿþòñÿ ôëóêòóàöèÿìè Na . Ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ôëóêòóàöèè ÷èñëà ÷àñòèö â ðàçíûõ ñîñòîÿíèÿõíåçàâèñèìû: h∆Na0 ∆Na i = 0 ïðè a0 6= a, ïîýòîìó2h(∆N0) i =XX2h(∆Na) i =|aiãäå N> =P(hNai + hNai2) = T|ai∂N>,∂µ(55)hNai ñðåäíåå ÷èñëî ÷àñòèö â ñîñòîÿíèÿõ ñ ïîëî-|aiæèòåëüíîé ýíåðãèåé.
Ýòî ÷èñëî ìîæíî âûðàçèòü òàê (ñì. çàä.5.3):(2m)3/2T 5/2b3/2(y) = NN> =6π 2~3FµTTk¶5/2b3/2(y), ãäå y = −µ/T ,b3/2(0)(56)òàê ÷òîµ ¶5/2µ ¶5/2¯b(0)3∂NTT1/2>¯= N.h(∆N0)2i == 2, 92 N¯∂y y=0 2Tkb3/2(0)TkÎòìåòèì, ÷òî äëÿ áîçå-ãàçà â çàäàííîì îáú¼ìå (áåç âíåøíåãîPïîëÿ) ñóììóh(∆Na)2i íå óäà¼òñÿ çàìåíèòü èíòåãðàëîì: èíòåãðàëR|ai2h(N|ai) idΓ ∝R∞εminR∞ −3/2√εdε ∝εdε ðàñõîäèòñÿ, åñ-fB2 (ε)εminëè ïðèíÿòü íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ýíåðãèè εmin ðàâíûì íóëþ.
Ýòîçíà÷èò, ÷òî â ñóììó ñàìûé ñóùåñòâåííûé âêëàä âíîñÿò ñîñòîÿíèÿñ íèçøèìè ýíåðãèÿìè. Ìåæäó ïðî÷èì, âñëåäñòâèå ýòîãî âåëè÷èíàÅñëè áû ÷èñëî ÷àñòèö íå áûëî çàäàíî, òî â ýòîì ðàâåíñòâå ñòîÿëî áûíå N , à hN i. Ôëóêòóàöèè æå âåëè÷èíû N0 îïðåäåëÿëèñü áû ñîãëàñíî (52):h(∆N0 )2 i = N0 (1 + N0 ).26Ôëóêòóàöèè111ôëóêòóàöèé h(∆N0 )2 i çàâèñèò îò ôîðìû ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ãàç.7.9.µ ¶32πTh(∆N0)2i =.6 ~ωÌàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå h(∆N0 )2 i ≈ 2N (ïðè T = Tk ).7.10. Íà íåêîòîðîì óäàëåíèè îò òî÷êè ôàçîâîãî ïåðåõîäà âåðîÿòíîñòü êàêîãî-ëèáî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà η îïðåäåëÿåòñÿïîòåíöèàëîì Ω 27w ∝ e−Ω/T , Ω = V φ,ãäå φ = atη 2 + Bη 4 , t = T − Tk .Âåëè÷èíà ôëóêòóàöèé ïàðàìåòðà δη îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì∂ 2Ω(δη)2 ∼ a|t|(δη)2 ∼ T , îòêóäà2∂η(δη)2 ∼T.V a|t|(57)Ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ïåðåõîäà ôëóêòóàöèè ðàñòóò.Ñîãëàñíî ïðåäñòàâëåíèÿì, ââåäåííûì â ôèçèêó Îðíøòåéíîìè Öåðíèêå ïðè èçó÷åíèè êðèòè÷åñêîé îïàëåñöåíöèè, âåùåñòâîâáëèçè êðèòè÷åñêîé òî÷êè ðàçáèâàåòñÿ íà ìåëêèå ó÷àñòêè, íàêàæäîì èç êîòîðûõ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà íå çàâèñèò îòåãî çíà÷åíèÿ íà äðóãèõ ó÷àñòêàõ.
Îöåíêà (57) ñòàíîâèòñÿ íåñïðàâåäëèâà, îáúåì V ñëåäóåò çàìåíèòü íà ðàçìåð òàêîãî ó÷àñòêà, òàê÷òî ôëóêòóàöèè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îêàçûâàþòñÿ ãîðàçäî áîëüøèìè, òåì áîëüøèìè, ÷åì ìåëü÷å ó÷àñòêè ñ îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè η . Ìåæäó íèìè èìåþòñÿ ïåðåõîäíûå îáëàñòè, â êîòîðûõ ïàðàìåòð η ïîñòåïåííî èçìåíÿåòñÿ. Ñ ýòèì èçìåíåíèåì ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ñâÿçàíà ýíåðãèÿ, êîòîðóþ ìîæíî ïîíèìàòü êàê. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå çíà÷åíèå η0 ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìóìîì φ(η) : η0 = 0 ïðè t > 0 , η0 > 0 ïðè t < 0.  îáîèõ ñëó÷àÿõ27∂ 2 Ω ¯¯∼ V a|t|.¯∂η 2 η=η0Ðåøåíèÿ112ïîâåðõíîñòíóþ, ñâÿçàííóþ ñ íàëè÷èåì ãðàíèö ìåæäó ó÷àñòêàìè ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè η .
Íàëè÷èå òàêîé ýíåðãèè îãðàíè÷èâàåò èçìåëü÷åíèå ó÷àñòêîâ ñ ïîñòîÿííûìè çíà÷åíèÿì è η (è ðîñòôëóêòóàöèé). Ïîòåíöèàë Ω, îòðàæàþùèé òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îñòðóêòóðå âåùåñòâà âáëèçè òî÷êè ôàçîâîãî ïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà, èìååò âèäZΩ(T, P, η) =[φ(T, P, η) + g(∇η)2]dV , ãäå g = const .(58)Ïàðàìåòð g ôàêòè÷åñêè çàäàåò âåëè÷èíó ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè. Øèðèíó îáëàñòè ïåðåõîäà ∼ R ìåæäó ó÷àñòêàìè ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ìîæíî îöåíèòü, ïðèíèìàÿ,÷òî ôëóêòóàöèîííàÿ ÷àñòü ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â (58) èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå:a|t|(δη)2 ∼ g(δη/R)2, îòêóäà R ∼ (g/a|t|)1/2. Òåïåðü ìîæíî îöåíèòü âåëè÷èíó ôëóêòóàöèé ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, ïðèíèìàÿ, ÷òîîáëàñòü ïåðåõîäà ìåæäó ó÷àñòêàìè âåùåñòâà ñ ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè η ïðîñòèðàåòñÿ íà âñþ âîçìîæíóþ ãëóáèíó ýòèõ ó÷àñòêîâ(÷òîáû âåëè÷èíà ãðàäèåíòà â (58) áûëà âîçìîæíî ìåíüøå) è ïîäñòàâèâ â (57) â êà÷åñòâå îáúåìà V ∼ R3 :T (a|t|)1/2.δη ∼g 3/22(59)Òàêèì îáðàçîì, óêàçàííàÿ ½ïîâåðõíîñòíàÿ“ ýíåðãèÿ ïîäàâëÿåòðîñò ôëóêòóàöèé ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê òî÷êå ôàçîâîãî ïåðåõîäà.
(Ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ôëóêòóàöèè η îñòàþòñÿ âåëèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ îöåíêîé (57)28 .)Äîáàâêó ê Ω, îáóñëîâëåííóþ ôëóêòóaöèÿìè η ,1δΩ =2µ¶∂ 2Ω2(δη)∂η 2Èíà÷å ãîâîðÿ, âåëè÷èíà |t| íå ñëèøêîì ìàëà. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ òåì ôàêòîì, ÷òî îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè òåîðèè Ëàíäàó çàäàåòñÿ óñëîâèåì δη ¿ η0 ,îãðàíè÷èâàþùèì âåëè÷èíó |t| ñíèçó.28Ôëóêòóàöèè113îöåíèâàåì êàêµδΩ ∼ V Tka|t|g¶3/2.Ïîëó÷àÿ äàëåå äîáàâêè ê ýíòðîïèè è òåïëî¼ìêîñòè, äèôôåðåíöèðóåì òîëüêî t, ñîõðàíÿÿ òåì ñàìûì ëèøü íàèáîëüøèå ñëàãàåìûå.δS = −∂δΩ ∼ V Tk a3/2|t|1/2/g 3/2,∂T∂V Tk2a3/2δC = TδS ∼ 3/2 1/2 .∂Tg |t|Ïðè áîëåå òùàòåëüíîì ðàñ÷åòå (ñì. [1, 147, çàäà÷à]) ïîëó÷àåòñÿ åùå êîýôôèöèåíò 1/16π .
Áîëåå ïîäðîáíûé ðàññêàç î òåîðèèÎðíøòåéíà Öåðíèêå ñì.òàêæå â ó÷åáíèêå [7, 81].7.11. Ïðè íàëè÷èè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòñóììà ïðèíèìàåò âèäZ=Xe−H/T +MH/T ,Ñðåäíåå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ¶Xµ1 −H/T +MH/TeZT ∂Z=Z ∂HM = hMi.Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü χ ðàâíà1 ∂M T ∂χ==V ∂HV ∂Hµ1 ∂ZZ ∂H¶T=V·1 ∂ 2Z1−Z ∂H2 Z 2µ∂Z∂H¶¸=V (∆M )2122(hM i − hMi ) =.=TVTÐåçêèé ðîñò ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè âáëèçè òî÷êè ôàçîâîãîïåðåõîäà âòîðîãî ðîäà ñâÿçàí ñ áîëüøèìè ôëóêòóàöèÿìè íàìàãíè÷åííîñòè.Ðåøåíèÿ1147.12.
Ïîñêîëüêó r(t) =Rtdt1v(t1), ïîëó÷àåì0ZtZthr2(t)i =dt10Ó÷òÿ, ÷òîdt2hv(t1)v(t2)i .0Thv(t1)v(t2)i = 3 e−|t1−t2|/τ ,mãäå τ = m/α , α êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñèëû òðåíèÿ ÷àñòèöû è å¼ ñêîðîñòè, íàõîäèìhr2(t)i = 6TmZtZt1dt100Tdt2e(−t1+t2)/τ = 6 [τ t − τ 2(1 − e−t/τ )] .mÄëÿ âðåìåíè t ¿ τprhr2(t)i =3Tt = vT t,m(60)÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñâîáîäíîìó äâèæåíèþ ÷àñòèö ñ òåïëîâîé ñêîðîñòüþ.Äëÿ âðåìåíè t À τhr2(t)i =6T αt,m(61)è äâèæåíèå ÷àñòèö ýòî ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ (ñì.
òàêæå [8,ãë. 6, çàäà÷à 13], [11, ï. 11.1]).7.13.R1T1 + R2T2hi(t1)i(t2)i =R1 R2µ¶1 −|t1−t2|/RC−e+ δ(t1 − t2) ,RCãäåR=R1R2.R1 + R2Ôëóêòóàöèè1157.14. Áóäåì îïðåäåëÿòü ýíåðãèþ, ïåðåäàâàåìóþ ñîïðîòèâëåíèþR1. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè êàæäîì èç ñîïðîòèâëåíèé åñòü øóìîâîé èñòî÷íèê ÝÄÑ, E1,2 .  öåïè èäåò òîê I . Ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü,ïîñòàâëÿåìàÿ ñîïðîòèâëåíèåì R1 â öåïü, ðàâíà w1− = hE1 Ii, ïîëó÷àåìàÿ èç öåïè w1+ = R1 hI 2 i, òàê ÷òî ìîùíîñòü, ïåðåäàâàåìàÿïåðâîìó ñîïðîòèâëåíèþ w2→1 = w1+ − w1− .Èìïåäàíñ öåïè Z(ω) = R1 + R2 − iωL.
Êîìïîíåíòà Ôóðüå 29òîêà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû Ôóðüå ñëó÷àéíûõ ÝÄÑ:Iω = (E1ω + E2ω )/Z(ω).Z∞w1− =Z∞=−∞dω12π−∞Z∞−∞dω12πZ∞−∞dω2hE1ω1 Iω2 i =2πdω2h(E1ω1 (E1ω2 + E2ω2 )i/Z(ω2) .2π(62)(63)Ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè èñòî÷íèêîâ øóìà:hE1ω1 E1ω2 i = 2π(E12)ω δ(ω1 + ω2) , (E12)ω = R1T1 , (E22)ω = R2T2,hE1ω1 E2ω2 i = 0 .Ïîäñòàâèâ â (63), ïîëó÷àåìZ∞w1− =−∞dω R1T1.2π Z(ω)Ïîäîáíûì æå îáðàçîìZ∞w1+ =−∞29dω R1(R1T1 + R2T2),2π Z(ω)Z(−ω)Ìû èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå Ôóðüå â âèäå ([1, 122], [11, ï.
12.2])Z∞x(t) =−∞dωxω e−iωt ;2πZ∞x(t)eiωt dt.xω =−∞(64)Ðåøåíèÿ116òàê ÷òîZ∞w2→1 =−∞Z∞=−∞dω R1R2(T2 − T1) + iωLR1T1=2πZ(ω)Z(−ω)dω R1R2(T2 − T1) + iωLR1T1.2π(R1 + R2)2 + L2ω 2 èòîãåw2→1 =R1R2(T2 − T1).2(R1 + R2)LÍàñ íå äîëæíà ñìóùàòü ðàñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (64) (ñîêðàùàþùàÿñÿ â îòâåòå), õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî åñòü äîñòàòî÷íî ïðè÷èí,îãðàíè÷èâàþùèõ áåëûé øóì ÝÄÑ E1,2 ïðè âûñîêèõ ÷àñòîòàõ.Ðàçóìååòñÿ, ïåðåíîñ ýíåðãèè, ñâÿçàííûé âñåãî ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, î÷åíü ìàë.8.Óðàâíåíèå äèôôóçèè8.1. A = −b, B = 31 h2.8.2.  ïðîñòðàíñòâå ñêîðîñòåé óðàâíåíèå äèôôóçèè∂f∂=(f A) −∂t∂vãäåµ222∂∂∂++∂vx2 ∂vy2 ∂vz2¶(Bf ),®2(∆vx)h∆vivTA=−=− , B==.∆tτ2∆tmτÄëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, íå çàâèñÿùåé îò âðåìåíè, óðàâíåíèå äèôôóçèè ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ j = 0, ãäåj = Af −∂(Bf ).∂vÓðàâíåíèå äèôôóçèè117Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿèçîòðîïíà, ïîëó÷àåì óðàâíåíèåvfd+τdvµTfmτ¶= 0,êîòîðîå ïðèâîäèò ê ðàñïðåäåëåíèþµ¶mv 2f (v) ∝ exp −,2T(êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü).8.3.
Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèådjx = 0. Îíî ñâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó Af +(Bf ) = 0 è äàåòdxf ∝ exp (−Ax/B) (ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî f → 0 ïðè x → +∞.) Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â ïîëå òÿæåñòè mv̇ = −αv +fñëó÷ +mg(âåëè÷èíà óñêîðåíèÿ â ïîëå òÿæåñòè g äîëæíà áûòü ½ïîäïðàâëåíà“ òàê, ÷òîáû ó÷èòûâàëàñü àðõèìåäîâà ñèëà). Âëèÿíèå ïîëÿ òÿæåñòè ñâîäèòñÿ ê ïîÿâëåíèþ ½äðåéôîâîé“ ñêîðîñòè väð = mg/α.Ñëåäóåò âûáðàòü èíòåðâàë âðåìåíè ∆t À τ , òàê ÷òî h(∆x)2 i == (2T τ /m)∆t ), îòñþäà B = T τ /m.
Ñðåäíÿÿ æå ñêîðîñòü A == väð = gτ îáóñëîâëåíà òîëüêî ñìåùåíèåì â ïîëå òÿæåñòè. èòîãå f (x) = f (0) exp (−mgx/T ). ñëîå òîëùèíû ∼ A∆t âáëèçè äíà íà ôîðìèðîâàíèå âåëè÷èíA, B äîëæíû îêàçûâàòü âëèÿíèå ñòîëêíîâåíèÿ áðîóíîâñêèõ ÷àñòèö ñ äíîì. Äâèæåíèå è êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö â ýòîì ñëîå áóäóòíåñêîëüêî ðàçíûìè â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ ëè ýòè ñòîëêíîâåíèÿ óïðóãèìè èëè íåóïðóãèìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
