1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òàêîé òåïëîâîé ìàøèíûÄîïîëíåíèÿ134η=A2mgrα=C1∆TC1îêàæåòñÿ íå çàâèñÿùèì îò ðàçíèöû òåìïåðàòóð ∆T , à ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ Êàðíî:η≤∆TT(T òåìïåðàòóðà ½õîëîäèëüíèêà“ , â äàííîì ñëó÷àå âå÷åðíÿÿòåìïåðàòóðà). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ôàêòè÷åñêè âå÷íûéäâèãàòåëü âòîðîãî ðîäà.Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå íàì áóäåò óäîáíåå èçëîæèòü äëÿ íåñêîëüêî èçìåí¼ííîé ìîäåëè: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî øàðèê òÿæ¼ëûé, íîìàëåíüêèé è ïîäâåøèâàåòñÿ íà äëèííîé íèòè; ïîäú¼ì åãî îáåñïå÷èâàåòñÿ èçìåíåíèåì äëèíû íèòè ïðè èçìåíåíèè å¼ òåìïåðàòóðûè ðå÷ü èäåò î ðàçíîñòè òåïëî¼ìêîñòåé íèòè, ðàñòÿãèâàåìîé ñèëîéf = mg èëè âèñÿùåé ñâîáîäíî. Î÷åâèäíî, âñå âîçíèêøèå âîïðîñûñîõðàíÿþòñÿ.
 ñîãëàñèè ñ çàäà÷åé î øàðèêå ïðèìåì, ÷òî äëèíàíèòè l çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è íå çàâèñèò îò ïðèëîæåííîé ñèëûl = l0(1 + α(T − T0)).Ñòàðòóÿ îò îñíîâíîãî ñîîòíîøåíèÿdE = T dS + f dl,ãäå dE ïðèðàùåíèå ýíåðãèè íèòè, dS ïðèðàùåíèå å¼ ýíòðîïèè, à dl å¼ óäëèíåíèå, óäîáíî ïåðåéòè ê ïîòåíöèàëó ÃèááñàΦ = E − T S − f l, äëÿ êîòîðîãîdΦ = −SdT − ldf.(1)Êëþ÷îì ê çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå èçîòåðìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ½âêëþ÷åíèÿ“ è ½âûêëþ÷åíèÿ“ ñèëû f . Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëàA. Òåïëî¼ìêîñòü ïîäâåøåííîãî øàðèêà135Φ â òàêîì èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå ñðàçó æå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (1):Φ(T, f ) = Φ(T, 0) − l(T )f.µ ¶∂ΦÒåïåðü, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå S = −, ìîæíî íàéòè ïðè∂T fðîñò ýíòðîïèè â ïðîöåññå íàãðóæåíèÿ íèòè ñèëîé:S(T, f ) = S(T, 0) + fdl(T )= S(T, 0) + f lα.dT(2)(Ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìåäëåííîå, ðàâíîâåñíîå íàãðóæåíèå).
Òåïëî¼ìêîñòü íèòè ïðè çàäàííîé íàãðóçêå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìµCf = T∂S∂T¶,fòàê ÷òîd2lC(T, f ) = C(T, 0) + T f 2 = C(T, 0) :dTòåïëî¼ìêîñòü íàãðóæåííé íèòè ðàâíà òåïëî¼ìêîñòè íåíàãðóæåííîé. Î÷åâèäíî, òî æå îòíîñèòñÿ è ê øàðèêó, ñ êîòîðîãî ìûíà÷èíàëè.Îòêóäà æå áåð¼òñÿ ðàáîòà â íàøåé òåïëîâîé ìàøèíå? Ïðèðîñòýíòðîïèè â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå íàãðóæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî âýòîì ïðîöåññå íèòü ïîãëîùàåò òåïëî Q = T (S(T, f ) − S(T, 0)) == f lαT . Íàãðóæàåì ìû íèòü äí¼ì, ïðè òåìïåðàòóðå T + ∆T , àðàçãðóæàåì âå÷åðîì, ïðè òåìïåðàòóðå T . Ïîýòîìó ðàçëè÷íû èêîëè÷åñòâà òåïëà, ïîãëîùåííîãî ïðè íàãðóæåíèè Qa = f lα(T ++∆T ) è âûäåëåííîãî ïðè ðàçãðóçêå Qb = f lαT .
Ðàáîòà A, ñîâåðøàåìàÿ ïîäíèìàþùåé øàðèê íèòüþ, êàê ðàç è ðàâíà Qa − Qb == f lα∆T . Ðàçóìååòñÿ, êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êàðíî:η=A∆T∆T=≤.C1∆T + Qa T + ∆T + (C1/f lα)∆TTÄîïîëíåíèÿ136Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ íàãðóæåííîé íèòè (íåðàñòÿæèìîé!)E(T, f ) = Φ(T, f ) + T S(T, f ) + f l(T ) = E(T, 0) + f l(T )αT − f l(T )çàâèñèò è îò òåìïåðàòóðû è îò ñèëû, â îòëè÷èå îò âíóòðåííåéýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà Eg = Cv T .Ëþáîïûòíî îöåíèòü, íà ñêîëüêî èçìåíèëàñü áû òåìïåðàòóðàíèòè ïðè àäèàáàòè÷åñêîì íàãðóæåíèè. Ýòî èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû δT ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿS(T + δT, f ) = S(T, 0).Ïîäñòàâèâ ñþäà S(T + δT, f ) èç (2) è ðàçëîæèâ S ïî δT , ïîëó÷èìlαT f,C÷òî ñîâïàäàåò, êîíå÷íî æå, ñ −Qa /C . Ââåäÿ ñå÷åíèå íèòè s, å¼ïëîòíîñòü ρ è óäåëüíóþ òåïëî¼ìêîñòü c, ïîëó÷àåìδT = −δT =f αT.s cρÄëÿ ÷èñëåííîé îöåíêè ïðèìåì, ÷òî íà ñòàëüíóþ ïðîâîëîêó ñå÷åíèÿ 1 ìì2 ïîäâåøåí ãðóç ìàññû 10 êã; ýòî âûçîâåò íàòÿæåíèåf /s ≈ 0, 1 ÃÏà, ëèøü ðàç â ïÿòü ìåíüøåå ïðåäåëà ïðî÷íîñòè.Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ α ≈ 10−5 Ê−1 , T = 300 K, ρ = 7, 8 · 103 êã/ì3 ,c ≈ 500 Äæ/(êã Ê), ïîëó÷àåì δT ≈ −0, 1 K ýôôåêò ñîâñåì íåáîëüøîé.Óäëèíåíèå íèòè (êîòîðûì ìû ïðåíåáðåãàëè)δl =lf,sYãäå Y ìîäóëü óïðóãîñòè.
Äëÿ ñòàëè Y ≈ 200 ÃÏà, òàê ÷òîδlf=≈ 0, 005,lsYäåéñòâèòåëüíî, ìàëî.(3)A. Òåïëî¼ìêîñòü ïîäâåøåííîãî øàðèêà137Äàæå ïðè òàêîì áîëüøîì íàòÿæåíèè ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè δE = f δl/2 â íåñêîëüêî ðàç ìåíüøå òåïëîâîãî ýôôåêòàQa :δE= 0, 2.QaÌèêðîñêîïè÷åñêèé ìåõàíèçì, ïðèâîäÿùèéê îòìå÷åííîìó òåïëîâîìó ýôôåêòó, íå î÷åâèäåí. ×òîáû ëó÷øå åãî ïîíÿòü, ïîñòðîèìñïåöèàëüíóþ ìîäåëü ñòåðæíÿ.
Ïóñòü ñòîÿùèé âåðòèêàëüíî öèëèíäð ñ èäåàëüíûìãàçîì çàêðûò ïîðøíåì. Âûñîòà ñòîëáà ãàçà h, ñå÷åíèå åãî s, âûñîòà ½ñòåðæíÿ“ l,âåñ ïîðøíÿ M g .  ñâîåé ìîäåëè ñòåðæíÿìû áóäåì ó÷èòûâàòü òîëüêî òåïëî, ïîëó÷àåìîå èëè îòäàâàåìîå ãàçîì, äàâëåíèå æåïîðøíÿ èçîáðàæàåò ìîëåêóëÿðíîå ñöåïëåíèå. Òåïëî¼ìêîñòü ñòåðæíÿ ñâîäèòñÿ â òàêîì ñëó÷àå ê òåïëî¼ìêîñòè ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, êîòîðàÿ îò âåëè÷èíû äàâÐèñ.
24. Ìîäåëü ñòåðæëåíèÿ íå çàâèñèò. Èìåÿ â âèäó, ÷òî ïðèëàíÿ ãàç ïîä òÿæ¼ëûìãàåìûå ê íàñòîÿùåìó ñòåðæíþ ñèëû ìà- ïîðøíåìëû â ñðàâíåíèè ñ ìîëåêóëÿðíûìè ñèëàìèñöåïëåíèÿ (f /s ¿ Y ), áóäåì ñ÷èòàòü ïîðøåíü î÷åíü òÿæåëûì,P0 = M g/s À f /s.(4)Óäëèíåíèå ½ñòåðæíÿ“ ∆l ïðè åãî íàãðåâàíèè íà ∆T îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ ãàçàP0(V + s∆l) P0V=, V = hs.T + ∆TTÎòñþäà∆l = h∆T,TÄîïîëíåíèÿ138÷òî îïðåäåëÿåò êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ α = h/lT .Ïîñêîëüêó âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà îïðåäåëÿåòñÿåãî òåìïåðàòóðîé, òåïëî, ïîãëîùàåìîå ãàçîì â èçîòåðìè÷åñêîìïðîöåññå, ðàâíî ñîâåðøàåìîé èì â ýòîì ïðîöåññå ðàáîòå. Åñëèïðèëîæèòü ê ½ñòåðæíþ“ ñèëó f , òî îí ðàñòÿíåòñÿ íà äëèíó x,îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì(M g/s)(hs) = (M g − f )(h + x), x =hf,MgÃàç ñîâåðøèò íàä ïîðøíåì ðàáîòó M gx = f h = f lαT , êàê ðàçðàâíóþ Q.
Ýòî ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ½âíóòðåííèìè ñèëàìè“ è ïðîÿâëÿþùàÿñÿ â ïîãëîùåíèè òåïëà. Ðàáîòà æå ñèëû f , ðàâíàÿ f x/2,ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè óïðóãîé äåôîðìàöèè . Ýòà ðàáîòà ìàëàè ìû å¼ íå ó÷èòûâàåì. Òàêèì îáðàçîì, ñèëà f , ïðèëîæåííàÿ êñòåðæíþ, ½ïðîâîöèðóåò“ î÷åíü ìàëîå èçìåíåíèå åãî äëèíû, è ïðèýòîì âî ìíîãî ðàç áîëüøèå âíóòðåííèå ñèëû ñîâåðøàþò ðàáîòó,óæå íå ñòîëü ìàëóþ.Äëÿ íàñòîÿùåãî òâåðäîãî òåëà òåïëîâîå ðàñøèðåíèå îáóñëîâëåíî àíãàðìîíè÷íîñòüþ êîëåáàíèé àòîìîâ.
Îáñóæäàåìûé ýôôåêòâ ýòîì ñëó÷àå íå òàê ïîä÷åðêíóò, êàê â ïðèâåä¼ííîé âûøå ìîäåëè, ãäå àòîìû äâèæóòñÿ ôàêòè÷åñêè ìåæäó äâóìÿ ñòåíêàìè, â½ïðåäåëüíî àíãàðìîíè÷íîì“ ïîëå.Èíòåðåñíûé è ãîðàçäî áîëüøèé ýôôåêò èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû íàáëþäàåòñÿ äëÿ ðåçèíû: äëÿ íå¼ êîýôôèöèåíò òåïëîâîãîðàñøèðåíèÿ íàìíîãî áîëüøå è ê òîìó æå îòðèöàòåëüíûé (ñì.
çàäà÷ó 2.1). Ïðàâäà, íåðàñòÿæèìîé ðåçèíó ñ÷èòàòü íå ïðèõîäèòñÿ.Òåðìîäèíàìèêà ñòåðæíåé ñ ó÷¼òîì èõ ñæèìàåìîñòè ðàññìîòðåíàâ ó÷åáíèêå [7].B. Øàðû â ïåíàëåB.139Øàðû â ïåíàëå ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå øàðîâ ïî î÷åíü óçêîìó ñòîëó, øèðèíà êîòîðîãî ïî÷òè ðàâíà äèàìåòðó øàðà. Ïîëó÷åíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ øàðîâ ïî êîîðäèíàòàì. Ðåçóëüòàòïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäàåòñÿ êîìïüþòåðíûì ìîäåëèðîâàíèåì.Ðå÷ü èäåò î õîðîøî èçâåñòíîé ìîäåëè ãàçà ñèñòåìå óïðóãèõøàðîâ.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå øàðîâ ïî ãëàäêîìóïðÿìîóãîëüíîìó ñòîëó ñ áîðòèêàìè. Ýòî áèëüÿðä, íî íå íàñòîÿùèé, à èäåàëüíûé, ñòîëêíîâåíèÿ øàðîâ äðóã ñ äðóãîì è ñ áîðòèêàìè ìû ñ÷èòàåì àáñîëþòíî óïðóãèìè, à øàðû àáñîëþòíîãëàäêèìè. Ïîäîáíûå ìîäåëè ýòî òàê íàçûâàåìûå ìàòåìàòè÷åñêèå áèëüÿðäû. Îíè èññëåäóþòñÿ âî ìíîãèõ ðàáîòàõ.Ðàçóìååòñÿ, äâèæåíèå øàðîâ â òàêèõ óñëîâèÿõ ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî. Îäíàêî óæå íè÷òîæíûå âîçìóùåíèÿ äåëàþò äâèæåíèåíåïðåäñêàçóåìûì ÷åðåç íåîæèäàííî êðàòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.
Ýòî, ïîæàëóé, ñàìûé èíòåðåñíûé ôàêò, êàñàþùèéñÿ òàêèõáèëüÿðäîâ.38Åñëè óâåëè÷èòü ðàäèóñû øàðîâ, òî èì ïðèäåòñÿ ðàçìåñòèòüñÿíà ñòîëå â áîëåå èëè ìåíåå îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå ïðîèñõîäèò½êðèñòàëëèçàöèÿ“ . Òàêîå ÿâëåíèå èññëåäîâàëîñü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé ìîäåëè ãàçà øàðîâ (ñì., íàïðèìåð, [30]).Ïðåäëàãàåìîå èññëåäîâàíèå âîçíèêëî â ðàìêàõ ñòóäåí÷åñêîãîïðàêòèêóìà ÍÃÓ è íà÷àëîñü ñ êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà. Äâàøàðà áûëè ïîìåùåíû â óçêèé ½ïåíàë“ (Pèñ. 25) òàê, ÷òî äâèæåíèåèõ â íàïðàâëåíèè ïîïåðåê îñè ïåíàëà áûëî î÷åíü ñòåñíåíî. Èäåÿñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû íàáëþäàòü ïåðåõîä ê ñèñòåìå ñ ìåíüøèì÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Öåíòðû øàðîâ ìîãóò äâèãàòüñÿ â óçêîéÌåõàíèçì ½ïîòåðè ïàìÿòè“ ïîíÿë Í.
Ñ. Êðûëîâ [26], à èññëåäîâàë ýòîÿâëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòüþ ß. Ã. Ñèíàé [27]. Ðàáîò, ïîñâÿùåííûõìàòåìàòè÷åñêèì áèëüÿðäàì, î÷åíü ìíîãî. Ïîïóëÿðíîå îïèñàíèå ðåçóëüòàòîâìîæíî íàéòè â [28], [29].38Äîïîëíåíèÿ140'$'$&%&%Ðèñ. 25. Øàðû â ïåíàëå. Ïóíêòèðîì ïîêàçàíà îáëàñòü, äîñòóïíàÿ öåíòðàìøàðîâ; íà äðóãèõ ðèñóíêàõ îíà èçîáðàæàåòñÿ ñèëüíî ðàñòÿíóòîé.îáëàñòè âáëèçè îñè ïåíàëà.
Âûâîäÿ íà ýêðàí ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè äâèæåíèÿ ïîëîæåíèÿ öåíòðîâ øàðîâ, ìû ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå îá èõ ðàñïðåäåëåíèè â ïðîñòðàíñòâå. Ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì îêàçûâàåòñÿ íåðàâíîìåðíûì (ðèñ. 26).Åñëè øàðîâ ìíîãî, òî ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíûì, íî êà÷åñòâåííî ïîíÿòíûì: åñëè â ïåíàëå ìàëîñâîáîäíîãî ìåñòà, òî êàæäûé øàð äâèæåòñÿ âáëèçè ñâîåãî ñðåäíåãî ïîëîæåíèÿ. Âûâîäó ðàñïðåäåëåíèÿ ïî êîîðäèíàòàì è ïîñâÿùåí, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ýòîò ðàçäåë. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòîò âûâîäíå òðåáóåò î÷åíü ãëóáîêèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé; îäíàêî îí âêëþ÷àåò îñíîâíûå øàãè, ïðèìåíÿåìûå ïðè âûâîäå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, è ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìåòîäè÷åñêè èíòåðåñíûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
