1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 19
Текст из файла (страница 19)
34, 35 ñîïîñòàâëÿþòñÿ ïîëó÷åííûå êðèâûå è ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà. Åñòåñòâåííî, ðàñïðåäåëåíèåçíà÷èòåëüíî èçìåíÿåòñÿ, åñëè âûáðàòü áîëåå êîðîòêèé ïåíàë.Ïðè n À 1 äëÿ ïåðâîãî øàðà ïîëó÷àåìρ1(k) ≈N −xe a,a(24)lãäå a = n−1≈ nl − ñðåäíÿÿ äëèíà îòðåçêà îñè x, ïðèõîäÿùàÿñÿíà îäèí øàð. Ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó øàðàìè a = l/(n + 1),ñðåäíåå çíà÷åíèå êîîðäèíàòû k -ãî øàðàhXk i = hxk i + (2k − 1)R = ka + (2k − 1)R.(25)Ñ ïîìîùüþ (20) íåòðóäíî íàéòè ñðåäíèé êâàäðàòè÷íûé ðàçáðîñ êîîðäèíàòûh(∆Xk )2i = a2k(n + 1 − k)/(n + 2).(26)Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå√ øàðîâ ðàçáðîñ êîîðäèíàò øàðà,óäàëåííîãî îò êðàÿ, ∆X ∼ a k è íàìíîãî ïðåâûøàåò ñðåäíååðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ñîñåäíèõ øàðîâ a + 2R.
Âäàëè îòêðàÿ îñöèëëÿöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñãëàæèâàþòñÿ.B. Øàðû â ïåíàëåB.5.151Öèêëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿÌîæíî âîîáùå èñêëþ÷èòü âëèÿíèå ãðàíèö, èçîãíóâ ïåíàë è ïðåâðàòèâ åãî â êîëüöåâîé. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ìîæíî ââåñòè (â êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììå) öèêëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, íå èçìåíÿÿçàêîíîâ ñîóäàðåíèé øàðîâ, à òðåáóÿ òîëüêî, ÷òîáû øàð, äîñòèãøèé ïðàâîé ñòåíêè ïåíàëà, íå îòñêàêèâàë, à ïîÿâëÿëñÿ ñëåâà(è íàîáîðîò). Ïðè òàêèõ óñëîâèÿõ äëÿ êàæäîãî øàðà ëþáûå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåðîÿòíû, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè ðàâíîn/L. òàêèõ óñëîâèÿõ èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèå ïî ðàññòîÿíèÿì ìåæäó øàðàìè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì óæå ðàñïðåäåëåíèåì ïëîòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ê ñòåíêå ïåíàëà. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè îäíîãî øàðà îñòàëüíûå n − 1ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà ó÷àñòêå Lx = L − 2R, à èíòåðåñóåò íàñèìåííî ðàñïðåäåëåíèå ïî îòíîøåíèþ ê êðàþ ýòîãî ó÷àñòêà. Ïðèçàäàííîì çíà÷åíèè a = Lx /n ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìàëî èçìåíÿåòñÿñ ðîñòîì n; ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ îò øàðà ýòî ðàñïðåäåëåíèåïðèáëèæàåòñÿ ê ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ l/a (ðèñ. 36).Ïðè äâèæåíèè ïî êâàäðàòíîìó ñòîëó òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ðàññòîÿíèÿì ìåæäó öåíòðàìèøàðîâ.
Íà ðèñ. 37 ïðèâåäåíà ãèñòîãðàììà òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,ïîëó÷åííàÿ â êîìïüþòåðíîì ýêñïåðèìåíòå. À âîò òåîðåòè÷åñêîåâû÷èñëåíèå òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â äâóìåðíîì (è òðåõìåðíîì)ñëó÷àÿõ ãîðàçäî ñëîæíåå (ñì., íàïðèìåð, [30]).Îòìåòèì, ÷òî â íàñòîÿùåì ãàçå èëè æèäêîñòè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ðàññòîÿíèÿìè ìåæäó öåíòðàìè àòîìîâ (òî÷íåå, ååêîìïîíåíòû Ôóðüå) îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðè èññëåäîâàíèè ðàññåÿíèÿ ñâåòà èëè, íàïðèìåð, íåéòðîíîâ.152ÄîïîëíåíèÿÐèñ. 34. Ñðàâíåíèå òåîðèè ñ äàííûìè êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà äëÿ ñåìèøàðîâ. Ìåæäó øàðàìè çíà÷èòåëüíûå ïðîìåæóòêèÐèñ. 35. Ñðàâíåíèå òåîðèè ñ äàííûìè êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà äëÿ ñåìèøàðîâ, óëîæåííûõ ïî÷òè âïëîòíóþ äðóã ê äðóãóB. Øàðû â ïåíàëå153Ðèñ. 36. Êîððåëÿöèÿ êîîðäèíàò øàðîâ â êîëüöåâîì ïåíàëå: ðàñïðåäåëåíèå ïîðàññòîÿíèÿì ìåæäó øàðàìè.
Íà êîëüöå 17 øàðîâ, ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ñîñåäíèõ â 1,3 ðàçà ïðåâûøàåò äèàìåòð. (Ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêîðàññòîÿíèÿ, ìåíüøèå ïîëîâèíû äëèíû êîëüöà)Ðèñ. 37. Ðàñïðåäåëåíèå ïî ðàññòîÿíèÿì ìåæäó øàðàìè íà ïëîñêîì áèëüÿðäå.Ðåçóëüòàò ìîäåëèðîâàíèÿC.Ìàòåìàòè÷åñêîå äîïîëíåíèå çàäà÷àõ î êâàíòîâûõ ãàçàõ èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ôóíêöèè,ñâîéñòâà êîòîðûõ ìû ïðèâåäåì çäåñü äëÿ ñïðàâîê.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ ba (y) :Z∞ba(y) =0Ìîæíî ïðîñòî âûðàçèòüdba(y)=dyZ∞xadx0dba (y)dy :d1=dy ex+y − 1Z∞xa−1dx= −a0xadx.ex+y − 1Z∞1ex+y − 1xadx0d1=dx ex+y − 1(90)= −aba−1(y).Ôóíêöèÿ ba (y) îïðåäåëåíà ïðè y ≥ 0 è ìîíîòîííî óáûâàåò ñ ðîñòîì y .Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ âàæíî çíàòü ôóíêöèþ ba (y) âáëèçè y = 0.Z∞e−xxa(1 + e−x + e−2x + ...)dx =ba(0) =0∞Xn=1Z∞1/na+1 ·xae−xdx =0= Γ(a + 1)ζ(a + 1).Ïðèâåäåì äëÿ ñïðàâîê çíà÷åíèÿ äçåòà-ôóíêöèè è ba (0):a1/30,511,522,533,54ζ(a + 1) 3,601 2,612 1,645 1,342 1,202 1,127 1,082 1,055 1,037ζ(a + 1)π 2/6π 4/90ba(0) 3,216 2,315 1,645 1,783 2,404 3,745 6,494 12,27 24,89Ñ.
Ìàòåìàòè÷åñêîå äîïîëíåíèå155Ïðè a > 1, y ¿ 1 ñ ó÷åòîì (90) èìååì ba (y) = ba (0)−aba−1 (0) y .Ïðè 0 < a < 1, y > 0 ðàâåíñòâî (90) òàêæå ñïðàâåäëèâî, îäíàêî b0a (y) → ∞ ïðè y → 0 òàê ÷òî ðàçëàãàòü ôóíêöèþ ba (y) â ðÿäÌàêëîðåíà íåëüçÿ. Ââåäåì ôóíêöèþ F (z) = ba (z 1/a ), êîòîðàÿ,êàê áóäåò âèäíî äàëåå, ïðè z → 0 èìååò êîíå÷íóþ ïðîèçâîäíóþïî z .
Ïîýòîìó ïðè z ¿ 1 ýòó ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåF (z) = F (0) + zF 0(0), à F 0(0) íàõîäèì êàê lim F 0(z), ãäåz→0Z∞0F (z) = −z1/a−1ba−1(z1/a)=zxa−1dx1/a−101/aex+z−1.Ïîñëå çàìåíû x = z 1/a u ïîëó÷àåìZ∞0F (z) = −z1/a0Z∞= −z1/a0ua−1du1/ae(1+u)z−1=ua−1du.(1 + u)z 1/a + (1 + u)2z 2/a/2 + ...Ïðè z → 0Z∞0F (z) → −0πua−1du= −B(a, 1 − a) = −Γ(a)Γ(1 − a) = −.1+usin πa èòîãåπy a ïðè y ¿ 1, 0 < a < 1.sin πaÒî÷íîñòü òàêîé àïïðîêñèìàöèè ba (y) äàæå ïðè î÷åíü ìàëûõ yba(y) = ba(0) −íåâåëèêà. Îäíàêî ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïðåäåëÿòü âåëè÷èíûñêà÷êîâ èíòåðåñóþùèõ íàñ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé.Ïðè y À 1ba(y) = Γ(a + 1)(e−y + e−2y /2a+1 + ...).156.Ïîäîáíàÿ æå ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ îòíîøåíèå ê ðàñïðåäåëåíèþÔåðìè-Äèðàêà,Z∞fa(y) =0xadx.ex+y + 1Äëÿ íåå, î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîdfa(y)= −afa−1(y).dyËåãêî íàéòè, êàê ñâÿçàíû ýòè ôóíêöèè äðóã ñ äðóãîì:fa(y) = ba(y) − 2−aba(2y).Äëÿ ôóíêöèé ba (y), fa (y) íåò ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷åíèé; ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ÷åðåç ðÿäû è îòëè÷àþùèåñÿ, íàïðèìåð, êàêèìèëèáî ìíîæèòåëÿìè, ââîäÿòñÿ â ðàçíûõ ó÷åáíèêàõ ïîä ðàçíûìèèìåíàìè.Ïðèâåäåì çäåñü òàêæå ôîðìóëû, ïîëåçíûå äëÿ ðàñ÷¼òîâ ñ ôåðìèãàçîì ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ:Z∞ZµF (ε)f (ε)dε =00π2T 2 0F (µ),F (ε)dε +6ãäå F (ε) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, f (ε) = 1/[exp ((ε − µ)/T ) + 1].
Åñëèê òîìó æå F (0) = 0, òîZ∞0∂f (ε)π 2T 2 00F (ε)dε = −F (µ) −F (µ),∂ε6(Âûâîä ýòèõ ôîðìóë åñòü ïî÷òè â êàæäîì ó÷åáíèêå ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè.)157Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû1. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà.×àñòü 1, Ì.: Íàóêà, 1976.2.
Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîøíûõñðåä. Ì.: Íàóêà, 1982.3. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà. Ì.:Íàóêà, 1996.4. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Òåîðèÿ ïîëÿ. Ì.: Íàóêà,1988.5. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Ì.:Íàóêà, 1989.6. Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å.
Ì. Ãèäðîäèíàìèêà. Ì.: Íàóêà,1986.7. Ðóìåð Þ. Á., Ðûâêèí Ì. Ø. Òåðìîäèíàìèêà, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà è êèíåòèêà. Ì.: Íàóêà, 1977.8. Êóáî Ð. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Ìèð, 1967.9. Èñèõàðà À. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà. Ì.: Ìèð, 1973.10. Çàéìàí Äæ. Ïðèíöèïû òåîðèè òâ¼ðäîãî òåëà. Ì.: Ìèð,1974.11. Ã. Ë. Êîòêèí Ã. Ë.
Ëåêöèè ïî ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.;Èæåâñê: ÐÕÄ, 200612. Ñèâóõèí Ä. Â. Îáùèé êóðñ ôèçèêè.Ò.2: Òåðìîäèíàìèêà èìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà. Ì.: Íàóêà ,1979.13. Êîçûðåâ À. Â., Ñèòíèêîâ À. Ã. Èñïàðåíèå ñôåðè÷åñêîéêàïëè â ãàçå ñðåäíåãî äàâëåíèÿ // ÓÔÍ.2001. ò. 171, 7.14. Ãóðåâè÷ Ë. Ý., ×åðíîâ À. Ä. Ïðîèñõîæäåíèå ãàëàêòèê èçâ¼çä. Ì.: Íàóêà,1983.158.15. Ñòðóêîâ Á. À., Ëåâàíþê À. Ï. Ôèçè÷åñêèå îñíîâû ñåãíåòîýëåêòðè÷åñêèõ ÿâëåíèé â êðèñòàëëàõ. Ì.: Íàóêà, 1983.16. Àáðèêîñîâ À. À.
Îñíîâû òåîðèè ìåòàëëîâ. Ì.: Íàóêà, 1987.17. Ëåîíòîâè÷ Ì. À. Ââåäåíèå â òåðìîäèíàìèêó. Ì.: ÃÈÒÒË,1950.18. Åíîõîâè÷ À. Ñ. Êðàòêèé ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå, Ì.: Âûñø.øê. 1976.19. Âîëüêåíøòåéí Ì. Â. Ìîëåêóëÿðíàÿ áèîôèçèêà Ì.: Íàóêà,1975.20. Êðîíèí Äæ., Ãðèíáåðã Ä., Òåëåãäè Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïîôèçèêå ñ ðåøåíèÿìè. Ì.: Àòîìèçäàò. 1975.21. Êîòêèí Ã. Ë., Ñåðáî Â.
Ã. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî êëàññè÷åñêîéìåõàíèêå, Ì.; Èæåâñê: ÐÕÄ, 2001.22. Ñèëèí Â. Ï. Ââåäåíèå â êèíåòè÷åñêóþ òåîðèþ ãàçîâ Ì.:Íàóêà. 1971.23. Õóàíã Êåðçîí. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Ìèð, 1966.24. Êîòêèí Ã. Ë., Òåïëîåìêîñòü ïîäâåøåííîãî øàðèêà // Ñèá.õðîíîãðàô, 1994. Ñèá. ôèç. æóð., 1, ñ.64 .25. Êîòêèí Ã. Ë., Øàðû â ïåíàëå // Ñèá. õðîíîãðàô, 1995.Ñèá. ôèç. æóð., 3, ñ.1.26. Êðûëîâ Í. Ñ. Ðàáîòû ïî îáîñíîâàíèþ ñòàòèñòè÷åñêîéôèçèêè.
Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1950.27. Ñèíàé ß. Ã. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ óïðóãèìè îòðàæåíèÿìè. Ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà ðàññåèâàþùèõ áèëëèàðäîâ // ÓÌÍ.1970. T. 25, âûï. 2.ñ.144192.28. Ãàëüïåðèí Ã. À., Çåìëÿêîâ À. Í., Ìàòåìàòè÷åñêèå áèëëèàðäû. Ì.: Íàóêà, 1990. Á-÷êà Êâàíò. Âûï. 77.15929. Ãàëüïåðèí Ã. À., ×åðíîâ Í. È., Áèëëèàðäû è õàîñ. Ì.:Çíàíèå, 1991 (Íîâîå â æèçíè, íàóêå, òåõíèêå. Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà,êèáåðíåòèêà. 5).30. Êðîêñòîí Ê., Ôèçèêà æèäêîãî ñîñòîÿíèÿ. Ì.: Ìèð, 1978.31.
Èçðàèëåâ Ô. Ì., Êîòêèí Ã. Ë., Ôðóìèí Ë. Ë., Ýéäåëüìàí Ñ. È. Ìîäåëèðîâàíèå ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì. Íîâîñèáèðñê. ÍÃÓ, 1986..Êîòêèí Ãëåá Ëåîíèäîâè÷, Îáðàçîâñêèé Åâãåíèé Ãåëèåâè÷ÇÀÄÀ×È ÏÎ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅÐåäàêòîð Ñ. Ä. ÀíäðååâàÏîäïèñàíî â ïå÷àòüÔîðìàò 60x80/16Ïå÷àòü îôñåòíàÿÇàêàçÓ÷.-èçä.ë.,.Òèðàæýêç.ÖåíàÐåäàêöèîííîèçäàòåëüñêèé îòäåë Íîâîñèáèðñêîãî óíèâåðñèòåòà,ó÷àñòîê îïåðàòèâíîé ïîëèãðàôèè ÍÃÓ; 630090, Íîâîñèáèðñê 90.óë.
Ïèðîãîâà, 2.162.Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû[1] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà.÷àñòü 1, Ì.: Íàóêà, 1976.[2] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ýëåêòðîäèíàìèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Ì.:Íàóêà, 1982.[3] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà.Ì.: Íàóêà, 1996.[4] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì. Òåîðèÿ ïîëÿ. Ì.: Íàóêà, 1988.[5] Ëàíäàó Ë. Ä., Ëèôøèö Å. Ì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
