1612727819-7cf5a3957998f511a6bc118bfd1b20e3 (828066), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà êîëè÷åñòâåííîïîäòâåðæäàþò ïîëó÷åííîå ðàñïðåäåëåíèå. Ñêàæåì çàðàíåå, ÷òîáû íå ðàçî÷àðîâûâàòü ÷èòàòåëÿ â äàëüíåéøåì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèåïî êîîðäèíàòàì äëÿ øàðîâ â óçêîì ïåíàëå ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ òåì, êàêîå ïîëó÷àåòñÿ ïðè äâèæåíèè âäîëü îäíîé ïðÿìîé. îòëè÷èå îò ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå ïî ñêîðîñòÿì ïðè ïåðåõîäå îòîäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ê äâèæåíèþ â óçêîì ïåíàëå ÷ðåçâû÷àéíî óñëîæíÿåòñÿ. Íî ìû íå áóäåì çäåñü èì çàíèìàòüñÿ. Çàìåòèì,÷òî äëÿ äâèæåíèÿ ïî ïðîñòîðíîìó áèëüÿðäó ðàñïðåäåëåíèå ïîñêîðîñòÿì íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî. (Îíî îïðåäåëÿåòñÿ ìèêðîêàíîíè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì). Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåíû, íàïðèìåð, â [11], [31].B.
Øàðû â ïåíàëå141Ðèñ. 26. Ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì öåíòðîâ øàðîâ íà ïëîñêîì áèëüÿðäå.Ðåçóëüòàò ìîäåëèðîâàíèÿ.  âåðõíåé ÷àñòè ðèñóíêà èçîáðàæåíî ðàñïðåäåëåíèå òî÷åê â ÷àñòè ïåíàëà, âûäåëåííîé íà ðèñ. 25 ïóíêòèðîì.  íèæíåé ÷àñòè ãèñòîãðàììà ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷åííûåòåîðåòè÷åñêè äëÿ îáîèõ øàðîâ, è ñïðàâà äëÿ îäíîãî èç íèõB.1.Îäèí øàð. Øàðû íà ïðîñòîðíîì ñòîëåÍà÷íåì ñ íàïîìèíàíèÿ øèðîêî èçâåñòíûõ ôàêòîâ. Äâèæåíèÿ·T ·TT· T· · T TT T· ·T T· ·T T· ·T T· ·T T· ·· ·T TT T·T TT TT··h·Ðèñ. 27.
Òðàåêòîðèÿ öåíòðà øàðà. Åñëè òðàåêòîðèÿ íå çàìêíóòàÿ, òî òî÷êà, îò-ðàæàþùàÿñÿ îò ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà, ïðîéäåò ÷åðåç ëþáîé êðóã, ëåæàùèéâíóòðè íåãîøàðà â íàïðàâëåíèÿõ, ïàðàëëåëüíûõ ñòîðîíàì áèëüÿðäà, íåçàâèñèìû. Òðàåêòîðèÿ îêàæåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè îòíîøåíèå ïåðèîäîâäâèæåíèé â ýòèõ íàïðàâëåíèÿõ (Lx − 2R)/vx è (Ly − 2R)/vy Äîïîëíåíèÿ142÷èñëî ðàöèîíàëüíîå.
(Çäåñü Lx , Ly ðàçìåðû ñòîëà, R ðàäèóñøàðà, vx , vy êîìïîíåíòû ñêîðîñòè øàðà). Åñëè æå ýòî îòíîøåíèå èððàöèîíàëüíî, òî òðàåêòîðèÿ öåíòðà øàðà çàïîëíÿåò âñþäóïëîòíî âñþ äîñòóïíóþ îáëàñòü ñòîëàR ≤ X ≤ Lx − R, R ≤ Y ≤ Ly − R,(1)(Ðèñ. 27), ò. å. ïðîõîäèò ðàíî èëè ïîçäíî ÷åðåç ëþáîé, äàæå î÷åíüìàëåíüêèé êðóæîê, ëåæàùèé â ýòîé îáëàñòè.Ïðè äâèæåíèè íåñêîëüêèõ øàðîâ ïî áîëüøîìó ñòîëó ñòîëêíîâåíèÿ ïðîèñõîäÿò ëèøü èçðåäêà, îòíîøåíèå ïåðèîäîâ èçìåíÿåòñÿ,÷àùå âñåãî îêàçûâàÿñü èððàöèîíàëüíûì.
Ñëåäû öåíòðîâ çàïîëíÿþò ñòîë âñþäó ïëîòíî. Òî æå ïîëó÷èòñÿ, åñëè îòìå÷àòü ñëåäûöåíòðà ëèøü îäíîãî øàðà.B.2.Ïàðà øàðîâ â ïåíàëåÄàëåå ðå÷ü ïîéäåò îá óñëîâèÿõ, êîãäà ðàçìåð îáëàñòè (1) â íàïðàâëåíèè Y î÷åíü ìàë, òàê ÷òî ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ìîæíîðàññìàòðèâàòü ïðîñòî äâèæåíèå øàðîâ âäîëü îñè ýòîãî ½ïåíàëà“ .Êîìïîíåíòû ñêîðîñòè vx áóäåì â äàëüíåéøåì íàçûâàòü ïðîñòîñêîðîñòÿìè.
Óäîáíî ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòûxk = Xk − (2k − 1)R,(k = 1, ..., n),(2)èñêëþ÷àÿ ó÷àñòêè îñè X, íåäîñòóïíûå äëÿ öåíòðîâ øàðîâ (ñì.ðèñ. 28).Çäåñü k íîìåð øàðà, n ÷èñëî øàðîâ, R èõ ðàäèóñû. Ýòèêîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ l,(3)l = Lx − 2nR.(4)ãäåB. Øàðû â ïåíàëå143#à #Ã#ÃX1X2X3X-¡¡% ¡ %¡££ ¢¢ ¦¦ ££L"!"!¡¡ %¢ £ "!¦ £¡ %¡£ ¢ ¦ £¡ %¡£ ¢ ¦ £¡ %¡£ ¢¦ £¡%¡£ ¢¦ £¡%¡£ ¢¦£¡%¡£¢¦£¡¡%£¢¦£x ¡¡%¢££¦x2 x3x1lÐèñ. 28. Ïåðåõîä îò êîîðäèíàòX ê êîîðäèíàòàì x ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòü îáëàñòè îñè, çàíÿòûå òåëàìè øàðîâ ýòèõ êîîðäèíàòàõ äâèæåíèþ øàðîâ îòâå÷àåò äâèæåíèåíåïðîíèöàåìûõ òî÷åê âäîëü ïðÿìîé x.Äëÿ äâèæåíèÿ îäíîãî øàðà (n = 1) âñå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàòûx1 â ïðåäåëàõ 0 ≤ x1 ≤ l ðàâíîâåðîÿòíû, âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü øàð íà ó÷àñòêå (x, x + dx) ðàâíàdw =dx,ll = Lx − 2R.(5)Åñëè ïîëîæåíèå øàðà èçîáðàæàëîñü N ðàç, òî íà èíòåðâàëå dxîêàæåòñÿ îêîëîdN = N dw(6)òî÷åê.
×èñëî òî÷åê íà åäèíèöó äëèíû (äàëåå íàçûâàåìîå êîíöåíNòðàöèåé) ρ(x) = dNdx = l .Äëÿ ïàðû øàðîâ óñëîâèå0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ l(7)âûäåëÿåò íà ïëîñêîñòè x1 , x2 òðåóãîëüíèê OBC (ðèñ. 29).Âíóòðè íåãî äâèæåòñÿ òî÷êà A(x1 , x2 ), îòâå÷àþùàÿ îïðåäåëåííîìó ïîëîæåíèþ øàðîâ â ïåíàëå. Ñêîðîñòü ýòîé òî÷êèv== (v1, v2). Ïðè ñòîëêíîâåíèè ïåðâîãî øàðà ñî ñòåíêîé ïåíàëà åãîñêîðîñòü v1 èçìåíÿåò çíàê: v1 → −v1 . Ýòîìó îòâå÷àåò îòðàæå-Äîïîëíåíèÿ144x2 6BOC¡HYHH ¢ A¡¢H A ¡AH¢ H¡¢ ¡ A HHA©©¢ ¡©¢¡ © AAAU¢¡ ©©©¢©¡©¢©©¡¢© ¡©© ¡ ¢©©*¢A ©©v ¡¡ ¢¢¡¢¢̧¡ v0¢¡¢¡A0B0¡-x1Ðèñ. 29. Òî÷êàA íà ïëîñêîñòè x1 , x2 , èçîáðàæàþùàÿ äâèæåíèå ïàðû øàðîâ, èòî÷êà A , îòâå÷àþùàÿ äâèæåíèþ øàðîâ, ïðîíóìåðîâàííûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå, äâèæóòñÿ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëè êâàäðàòà OC .
Èõ ñëåäûâ ñîâîêóïíîñòè ðàâíîìåðíî çàïîëíÿþò âåñü êâàäðàò0íèå òî÷êè A îò êàòåòà ÎB, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ½óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ“ . Ñòîëêíîâåíèþ âòîðîãî øàðà ñîñòåíêîé ïåíàëà îòâå÷àåò îòðàæåíèå òî÷êè A îò êàòåòà BC. Ïðèñòîëêíîâåíèè øàðîâ äðóã ñ äðóãîì òî÷êà A ïî òàêîìó æå çàêîíóîòðàæàåòñÿ îò ãèïîòåíóçû OC . ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ïðåäñòàâèì ñåáå âòîðóþ ïàðó øàðîâ, êîòîðûå äâèæóòñÿ òàê æå òî÷íî, âòàêîì æå ïåíàëå, íî ïðîíóìåðîâàíû â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Èçîáðàæàþùàÿ èõ êîíôèãóðàöèþ òî÷êà A0 (x2 , x1 ) áóäåò äâèãàòüñÿ âòðåóãîëüíèêå OB 0 C : (0 ≤ x2 ≤ x1 ≤ l), îñòàâàÿñü ñèììåòðè÷íîéòî÷êå A îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé OC. Âåêòîð ñêîðîñòè òî÷êè A0 ðàâåí v0 = (v2 , v1 ) è òàêæå ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ýòîé ïðÿìîé.Ñòîëêíîâåíèþ øàðîâ îòâå÷àåò ½ñòîëêíîâåíèå“ òî÷åê A è A0 .
Ïðèñòîëêíîâåíèè øàðîâ îíè îáìåíèâàþòñÿ ñêîðîñòÿìè v1 À v2 . Ïðèýòîì îáìåíèâàþòñÿ ñêîðîñòÿìè è òî÷êè A è A0 . Èíà÷å ãîâîðÿ,ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïî êâàäðàòó OBCB 0 äâèæóòñÿ äâå òî÷êè ½íå çàìå÷àÿ“ äðóã äðóãà, ïðè÷åì òà, êîòîðàÿ îêàçàëàñü â òðåóãîëüíèêåB. Øàðû â ïåíàëå145OBC, íàçûâàåòñÿ A, à äðóãàÿ A0. Îáå òî÷êè A è A0 çàøòðèõóþò âåñü êâàäðàò OBCB 0 , ïðè÷åì òàê, êàê ýòî äåëàë áû îäèí øàðíà êâàäðàòíîì ñòîëå (òîëüêî âäâîå áûñòðåå, ò. ê. îñòàþòñÿ ñðàçóäâà ñëåäà).  ðåçóëüòàòå òðåóãîëüíèê OCB îêàæåòñÿ ðàâíîìåðíîçàïîëíåí òî÷êàìè. Ïîýòîìó ÷èñëî òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ êîîðäèíàòà x1 ëåæèò â èíòåðâàëå (x, x + dx), ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäèóçêîé òðàïåöèè (ðèñ.
30), âûðåçàåìîé â òðåóãîëüíèêå OCB ãðàx26¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Ðèñ. 30. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî¡¡-x x + dx x1x1 ∈ (x, x + dx), ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäèâûäåëåííîé òðàïåöèèíèöàìè ýòîãî èíòåðâàëà1ds ≈ (l − x)dx2(8)(ïðè ìàëûõ dx). Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîîðäèíàòà ëåæèò â ýòîìèíòåðâàëå³dsx ´ dxdw1 = 2 = 1 −.l /2l l(9)Èòàê, ïðè äâèæåíèè äâóõ øàðîâ êîíöåíòðàöèÿ ñëåäîâ îäíîãîèç íèõ ëèíåéíî óáûâàåò ïðè óäàëåíèè îò ñòåíêè.
Êîìïüþòåðíûéýêñïåðèìåíò îòëè÷íî ïîäòâåðæäàåò ýòîò âûâîä (ðèñ. 26). Äëÿâòîðîãî øàðà ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íl − x dx xdxdw2 = 1 −= 2 .lll(10)Äîïîëíåíèÿ146×òî êàñàåòñÿ ñóììàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäîâ îáîèõ øàðîâ,êîíöåíòðàöèÿ èõ â êîîðäèíàòàõ xi îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîédw =Ndx(dw1(x) + dw2(x)) = N 2 .2l(11)È ýòî î÷åíü ëåãêî ïîíÿòü. Áîëåå òîãî, òàêîãî æå ðåçóëüòàòà ñëåäóåò îæèäàòü è äëÿ áîëüøåãî ÷èñëà øàðîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèñòîëêíîâåíèÿõ øàðû ïåðåäàþò âäîëü öåïî÷êè îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé (êàê áû îáìåíèâàÿñü ýñòàôåòíûìè ïàëî÷êàìè).Îòìå÷àÿ æå ñëåäû âñåõ øàðîâ, ìû îòìå÷àåì â ñóùíîñòè ñëåäûýòèõ ½ïàëî÷åê“ , êàæäàÿ èç êîòîðûõ äâèæåòñÿ ñî ñâîåé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, îòðàæàÿñü îò ñòåíîê, è çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷åî äâèæåíèè îäíîãî øàðà.Îäíàêî âîçâðàò ê êîîðäèíàòàì Xk òðåáóåò çíàíèÿ èìåííî íàéäåííûõ èíäèâèäóàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ êàæäîãî èç øàðîâ.B.3.Òðè øàðàÄëÿ ñëó÷àÿ ñ òðåìÿ øàðàìè îáëàñòü (3) ìîæíî åùå ëåãêî ïðåäñòàâèòü ñåáå.
Ýòî ïèðàìèäà OABC (ðèñ. 31). Îáúåì åå ðàâåí 61 l3 .Åñëè ïðèñîåäèíèòü ê íàøåìó ïåíàëó åùå ïÿòü òî÷íî òàêèõ æå,íî ñ èíîé íóìåðàöèåé øàðîâ, òî òî÷êè, èçîáðàæàþùèå èõ ñîñòîÿíèÿ, áóäóò äâèãàòüñÿ ïî âñåìó êóáó 0 ≤ xi ≤ l; ïðè ýòîì, åñëèòî÷êè íå îòëè÷àòü äðóã îò äðóãà, îíè áóäóò äâèãàòüñÿ, ïðîõîäÿäðóã ñêâîçü äðóãóþ, è ½çàøòðèõóþò“ âåñü êóá, âîîáùå ãîâîðÿ,ðàâíîìåðíî è âñþäó ïëîòíî.Äëÿ n øàðîâ ïîäîáíûì æå îáðàçîì n! òî÷åê çàøòðèõóþò îáúåì n-ìåðíîãî êóáà. Íà ñèñòåìó øàðîâ ñ ½ïðàâèëüíûì“ ïîðÿäêîìíîìåðîâ (3) ïðèõîäèòñÿ îáúåìvn(l) = ln/n!(12)Êàæäîé òî÷êå ñëåäó â ïèðàìèäå OABC (ñì. ðèñ.
31) (ìûèõ ñòàâèì òîëüêî ìûñëåííî) ñîîòâåòñòâóþò òðè ñëåäà (îñòàâëåí-B. Øàðû â ïåíàëå147B¡£ HHHH¡ £HHHH¡ H££ HHH¡HHHH¡££HHx3 6¡HH¡££ HH£H¡¡H££H£HH´A´HH´£££££ ´H´HH££HH ´´££´´££´¡µx¡2 ´´¡HH££´H¡HH´H´¡££ HHHH¡H´¡HH¡´££ ¡ ´HH´HH¡´£H´O ¡£HHHx1jCÐèñ. 31. Ïèðàìèäà0 < x1 < x2 < x3 < l è å¼ ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè x1 = const,x2 = const è x3 = const. Òî÷êè (x1 , x2 , x3 ), èçîáðàæàþùèå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû øàðîâ, ðàâíîìåðíî çàïîëíÿþò ïèðàìèäó.
Ñëîé òîëùèíû dx, ïîñòðîåííûé, íàïðèìåð, íà òðåóãîëüíèêå x1 = x, îòâå÷àåò íàõîæäåíèþ ïåðâîãî øàðàâ îáëàñòè x1 ∈ (x, x + dx), à îòíîøåíèå åãî îáú¼ìà ê îáú¼ìó ïèðàìèäû ðàâíîâåðîÿòíîñòè òàêîãî ñîñòîÿíèÿíûå òðåìÿ øàðàìè) íà ðèñ. 33. Êîëè÷åñòâî ñëåäîâ, îñòàâëåííûõïåðâûì øàðîì â èíòåðâàëåx ≤ x1 ≤ x + dx(13)îïðåäåëÿåòñÿ îáúåìîì ñëîÿ, âûðåçàííîãî ïëîñêîñòÿìè (13) èç ïèðàìèäû.
Ñå÷åíèå ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ x1 = x èìååò ôîðìó òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 32).x36x3¡¡l¡¡x2¡6x2l¡lx1x2¡¡llx2x1Ðèñ. 32. Ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû ïëîñêîñòÿìè¡¡¡x3¡¡¡6¡¡¡l-x1x1 = const, x2 = const, x3 = const.Äîïîëíåíèÿ148Ðèñ. 33. Ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîðäèíàòàì äëÿ òðåõ øàðîâÅãî ïëîùàäü ðàâíà 12 (l − x)2 , à îáúåì ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîÿ1dv = (l − x)2dx.2(14)Îí ñîñòàâëÿåò îò âñåãî îáúåìà ïèðàìèäû äîëþ³dvx ´2 dxdw = 3 = 3 1 −.l /6ll(15)Ïîñêîëüêó âåñü îáúåì ïèðàìèäû çàïîëíåí òî÷êàìè, èçîáðàæàþùèìè ñîñòîÿíèå ñèñòåìû øàðîâ, dw îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ øàðà íîìåð 1 â èíòåðâàë (13).
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîäëÿ øàðà íîìåð 3 âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â èíòåðâàë (x, x + dx)ðàâíàx2dxdw = 3 3 .l(16)Äëÿ âòîðîãî øàðà ñå÷åíèå ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ x2 = x ïðÿìîóãîëüíèê, ïîýòîìó äëÿ âòîðîãî øàðà âåðîÿòíîñòü x2 ∈ (x, x + dx)x³x ´ dxdw = 6 1 −.ll l(17)B. Øàðû â ïåíàëå149Íà ðèñ. 33 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà è òåîðåòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, ïîñòðîåííàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (15) (17) è çàìåíàìè (2).B.4.Ìíîãî øàðîâÏåðåéäåì ê îáùåìó ñëó÷àþ: â ïåíàëå n øàðîâ.½Ñå÷åíèå“n-ìåðíîé ½ïèðàìèäû“ (3) ïëîñêîñòüþ xn = x ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé(n − 1)-ìåðíûé îáúåì, ðàâíûé vn−1(xn). Äåéñòâèòåëüíî, çàôèêñèðîâàâ ïîëîæåíèå n-ãî øàðà, ìû îñòàâëÿåì äëÿ îñòàëüíûõ (n − 1)ó÷àñòîê ïåíàëà äëèíû xn . Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèþ xn ∈ (x, x + dx)îòâå÷àåò îáúåìè âåðîÿòíîñòüdv = vn−1(x)dx(18)³ x ´n−1 dxdvdwn ==n.vn(l)ll(19)Äëÿ ïåðâîãî øàðà ïîäîáíûì æå îáðàçîì:³x ´n−1 dxvn−1(l − x)dx=n 1−.(20)dw1 =vn(l)llÅñëè çàôèêñèðîâàòü ïîëîæåíèå k -ãî øàðà, xk = x, òî ïî ó÷àñòêó äëèíû x áóäåò äâèãàòüñÿ k − 1 øàð, à ïî ó÷àñòêó äëèíû l − x n − k øàðîâ.
Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî xk ∈ (x, x + dx)ðàâíàvk−1(x)vn−k (l − x)dx =vn(l)³ x ´k−1 ³n!x ´n−k dx=1−.(21)(k − 1)!(n − k)! lllÏóñòü íà ýêðàí êîìïüþòåðà N ðàç âûâîäèëèñü òî÷êè, èçîádwk =ðàæàþùèå ïîëîæåíèå öåíòðîâ øàðîâ. Êîíöåíòðàöèÿ (ëèíåéíàÿ)òàêèõ òî÷åê äëÿ k -ãî øàðàρk = Ndwk.dx(22)Äîïîëíåíèÿ150Îòìåòèì, ÷òî ñóììàðíàÿ êîíöåíòðàöèÿ òî÷åê íà îñè xρ(x) =nXρk (x) =k=1NXn!NN=pk−1q k = (p + q)n−1 =l(k − 1)!(n − k)!ll(23)(çäåñü p = x/l, q = 1 − x/l), êàê óæå îòìå÷àëîñü, íå çàâèñèò îò x.Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî âåðíóòüñÿ ê êîîðäèíàòàì Xk ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (2).Íà ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
