1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Теория линейных отображений евклидова пространства в евклидово ничем не отличается от теории отображений унитарных пространств с заменой унитарных преобразований координат па ортогональные. Имеет место такая же каноническая форма, существует обобщенный обратный оператор, играющий такую же роль, как в комплексном случае, для систем линейных уравнений с вещественными коэффициентами. й 8.
Объем параллелепипеда в евклндовом пространстве 1. Квадрат объема в общем случае. Параллелепипедом, натянутым на гп линейно независимых векторов оь о,...., о в и-мерном евклидовом пространстве, называется множество векторов 11щ+ 1«оь+ ... + г„,о,„при 6ь независимо изменяющимися на отрезке [0,1), Назовем (и — 1)-мерный параллелепипед, натянутый на векторы оь оь ..., о ь основанием параллелепипеда, а расстояние от вектора о до подпрострапства, натянутого па оь оь ..., о ь †высот параллелепипеда.
«Объемом» одномерного параллелепипеда (ЬД называется длина вектора оь Для ббльших размерностей объем определяется пндуктивпо, как объем основания, умноженный на высоту. ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА зтв Теорема 1, Квадрат объема параллелепипеда равен опреде(о2, о2) ...
(о2, ол2-2) (оо ол2) лителю Грима 6— совокуп(о, о,) ... (ом, о,„2) (о, о„,) ности векторов о2, ..., о 2,о . Доказательство проведем индукцией по числу т векторов. Длп гп = 1 это верно, ибо ~ о2)2 = (о2, о2). Допустим, что это верно для совокупности из 2п — 1 векторов. Пусть у — ортогональная проекция вектора о на ортогональное дополнение к подпространству Р, натянутому на оь ..., о„ ь Эта проекция осуществляется параллельно надпространству Р, так что у = о + а2о, + ... + а 2о 2 при некоторых а„..., а,л,, и у ортогонален к векторам о,, о,„ь Прибавим к последнему столбцу определителя 6 предшествующие, умноженные на аь ..., а ь В силу линейности скалярного.
произведения по второму аргументу, мы получим в последнем столбце числа (оь У), ..., (о ь У), (оло У), нз котоРых пеРвые т — 1 равны нулю. Последний элемент (о , у) последнего столбца равен (у в а,о, — ... — а 2о -ь у) =(у, у) = )у)2. Длина вектора у равна высоте параллелепипеда, согласно определению расстояния от вектора до подпростраиства. Таким обра(о,, о ) ...
(о„ о 2) зом, 6=)у(2 ..... Последний определитель, (ОЛ2-2 ° О!) ° ° ° (ОЛ2-2 ОЛ2-~) согласно индуктивному предположению, есть квадрат объема основания. Следовательно, 6 равен квадрату объема рассматриваемого параллелепипеда, что и требовалось доказать. е. Объем и-мерного параллелепипеда в п-мерном евклидовом пространстве. Пусть оь ом ..., о„— линейно независимая совокупность векторов в и-мерном пространстве, и пусть матрица а22 а~2 ..
Л2Л А о22 л22 222л ОЛ! ОЛ2 ' ОЛЛ имеет своими столбцами кооРдинаты вектоРов оь ом ..., ол относительно некотоРого оРтоноРмального базиса еь е2, ..., е„. Тогдал элемент ди матрицы 6=АтА равен аиаи+ а22а,)+... + а„ам = =(о2, о(), т. е. матрица 6 = АтА есть матрица Грама для совокупности векторов о2, о2, ..., о„. Имеем де1 6 = де1 АтА = (де1 А)2. Таким образом, квадрат объема параллелепипеда равен квадрату определителя матрицы А и, следовательно, объем параллелепипеда равен абсолютной величине де1 А.
Вскроем геометрический смысл знака определителя матрицы А. Снажем, что совонупность векторов о2, о2, ..., о, ориентирована так же, как базис еь е,, ..., ел, если де1А ) О, и ориентирована. противоположным образом, если де1А ( О. зта ЕВКЛИДОВО Н УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ХН5 Скажем, что базис пь пм ..., О» получается непрерывной деформацией из базиса еь еь ..., е„если существует матрица А(1), элементы которой непрерывно зависят от параметра й меняющегося иа отрезке 10,1), такая, что А(0)=Е и А(1)=А, где А — матрица из координат векторов оь оп ..., и„, причем бе1 А(1) Ф 0 при всех значениях й Покажем, что если базис пь пп ..., О„имеет одинаковую ориентацию с базисом еь е5... Е„то существует непрерывная деформация, переводящая еь ез,, с» в О1, пм ..., и,.
С этой целью представим невырождеиную матрицу А в виде произведения ВН положительно определенной матрицы В па ортогональную матрицу Н. Далее, матрицу В представим в виде С, 'РС1, где Р— диагональная матрица из положительных собственных значений /1,А5, ..., Х„матрицы В. Пусть Р(1) — диагональная матрица, составленная из элементов е"» * й = 1, 2, ..., и. Тогда Р(0)= =Е, Р(1) = Р и элементы Р(1) меняются непрерывно. При этом де1 Р (Г) = (де1 Р) ' чь О. Положим В (1) = С1 Р (1) С1.
Матрица Н собственно ортогональна, ибо бе1А 0 и де1В О, Поэтому Н допускает представление Н=С5 РСг, где С5 — ортогональная матрица, а Š— блочно-диагональная, составленная из с05ф Мп ф1 1 и блоков второго порядка вида ( ф 1 (включая «блоки» ~ — 510ф С05ф/ с ф =и). Пусть Е(1) — блочно-диагональная матрица, в которой 005ф 510 ф1 каждый блок второго порядка ( .
1 заменен на блок 51П ф С05 ф / 1-.м; -.;) С05 Сф 51П Сфт ,, ~). Матрица Е(г) непрерывно зависит от 1 и при всех значениях г собственно ортогональна Очевидно, что Е(0)=Е и Е(1) Е. Положим Н(1)=С5 Е(1)С5. Ясно, что Н(1) непрерывна зависит от 1, собственно ортогональна при всех значениях г, Н(0) = = Е и Н(1) = Н. Наконец, положим А (1)= В(1) Н(1). Матрица А (1) непрерывна при 0( 8 = 1, с(е1А(1)=де1В(С)=Ф*О, А(0)=Е и А(1)=А.
Искомая деформация получена. Если же ориентация О1, ПТ, ..., В„противоположна ориентации е„е5, ..., е„, то непрерывной деформации базиса еь ез, ..., В» в О1, о5, ..., В„не существует. Действительно, если матрица А(1) непрерывна при О =1 = 1, А(0)=Е и А(Ц=А, причем де1А < О, то де1 А(1), будучи непрерывной функцией от й должен перейти от положительного значения де(А(0) = 1 к отрицательному де1А(1) = де1 А (О, что возможно, только если при некотором значении 10, 0 ( 10 ( 1, де1 А (10) =О, т. е. векторы о1(10), п5(10), .
° . ..., В»(10) с матрицей из координат, равной А(10), линейно зависимы и не составляют базиса; ГЛА ВА Х1Ч ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ $1. Основные понятия 1. Определение тензора. Тензоры представляют собой много- компонентные системы, элементы которых занумерованы двумя системами индексов — несколькими верхними и несколькими нижними, каждый из которых пробегает значения от 1 до и. Число нижних индексов называется валентностью новариантности, число верхних — валентностью Контравариантности, их сумма — полной валентностыо. Тензоры, у которых отсутствуют верхние индексы, называются чисто новариантными, у которых отсутствуют нижние — чисто хонтравариантными. Если присутствуют те и другие, тензор называется смешанным. Так, компоненты трижды ковариантного и дважды контравариантного тензора имеют вид а~,'.
Тензоры считаются связанными с п-мерным векторным пространством, в котором выбран базис, таким образом, что компоненты тензора при фиксированных индексах, кроме одного верхнего, образуют координаты вектора в выбранном базисе, компоненты же при фиксированных индексах, кроме одного нижнего, образуют координаты ковектора в дуальном базисе. При замене базиса компоненты тенаора изменяются в соответствии с приведенным истолкованием индексов, нумерующих компоненты тензора. В соответствии с данным определением набор координат вектора следует рассматривать как контравариантный тензор валентности 1 и нумеровать их следует верхними индексами. В матрице преобразования координат элементы каждого столбца являются координатами векторов, именно, векторов нового базиса относительно исходного. Поэтому строки матрицы преобразования координат следует нумеровать верхними индексами.
Элементы же каждой ртроки можно рассматривать как координаты ковекторов, т. е, линейных функций, посредством которых исходные координаты векторов выражаются через новые, и нумеровать их нижними индексами. При таких обозначениях матрица преобразования координат имеет вид (с1). Выражения исходных координат через новые имеют вид элементы АлГеБРН тензоРОВ /ГЛ. ХЮ л выражения новых координат через исходные имеют вид х' = =- х., у'хА, где (у') — матрица, обратная к (с/). то, что эти две А матрицы взаимно обратны, можно записать в форме 2 у„'с/=б/.
Здесь б/ — символ Кронекера, т. е. б/„=О при й М / и ЬА = 1 (б/) — единичная матрица. Ввиду того, что обратная матрица является не только левой обратной, но и правой, верно, что с!у" = б". // /' Прн транспонировании матрицы нужно поменять ролями верхние и нижние индексы. Напомним, что матрица преобразования координат транспонирована с матрицей замены базиса, так что формулы замены базиса имеют внд е',= х„с,е / / (суммирование по верхнему индексу матрицы (с/), а не по нижнему).
Напомним еще, что при преобразовании координат иоэффициенты линейной функции 1/х'+ ... + 1„х", т. е. координаты 1/, ..., 1„ соответствующего ковектора, преобразуются по формулам т, е. совершенно по тем же формулам, что формулы замены базиса, Это н дает основание считать набор координат ковектора ковариантным тензором, В соответствии с данным выше определением тензора и формулами преобразования координат вектора и ковектора мы приходим к следующему правилу преобразования компонент тензора при' преобразовании координат: гРд Х~ РР АРР Р а ця = ~~ а„,с,. с,с,у,у,.
Здесь суммирование производится по индексам Х, /А, у, а, т, меняющимся от 1 до л. Это правило изменения компонент при преобразовании координат может рассматриваться н как определение тензора, 2. Сокращенные тензорные обозначения. В формулах преобразования компонент тензора при преобразовании координат, в частности, наборов координат вектора и ковектора, происходит суммирование при изменении некоторых индексов в одних и тех же пределах — от 1 до и, причем во всех рассмотренных в п.
1 ситуациях индекс, по которому осуществляется суммирование, входит два раза — как нижний и как верхний. Эти обстоятельства делают ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 379 зп излишним указание пределов для индекса суммирования и, более того, само употребление знака Х, становится не необходимым, если условиться считать, что как только в выражении встречается одинаковое обозначение для некоторых нижнего и верхнего индекса, то по этому индексу осуществляется суммирование. рак, формула преобразования компонент тензора записывается без знака в виде а,.г~~= а"„с,.с",.с'у~у,'.
Действительно, здесь каждый из индексов Х, 1г, т, и, т встречается как верхний и как нижний и, следовательно, по всем этим индексам производится суммирование. Соответственно, формулы преобразования координат для кон ~ а ординат вектора и ковектора записываются в виде х = у,.х, 1,. = =с11,. Значение ковектора (линейной функции) с коордииатамн й на векторе с координатами х' записывается в виде йх'. Элементы 77 произведения матриц А=(а7) и В =(ЬО запишутся в виде 1,' =а~э,".
Эти сокращенные обозначения Оказываются удобными иногда и за пределами алгебры. 3. Примеры тензоров. Примеры контравариантного и ковариантного тензоров валентности 1 мы уже видели — это наборы координат вектора в некотором базисе и, соответственно, ковектора в дуальпом базисе. В качестве следующего примера рассмотрим матрицу коэффициентов линейного оператора. Она может рассматриваться как тензор, один раз контравариантный и один раз коварнантный. Действительно, строки матрицы следует занумеровать верхними индексами, столбцы — нижними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
