1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 82

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 82)

Равенство у = Ах запишется в виде у'=а,'хг. Матричная форма записи матрицы оператора при преобразовании координат Л вЂ” С вЂ” 'АС совпадает с тснзорной :записью атн =аьу„с,. Суммирование по пт соответствует умножению справа на матрицу преобразования координат, суммирование по А соответствует умножению слева на обратную матрицу. В частности, символ Кронекера, связанный с единичным оператором, является тензором, однократно ковариантным и контравариантным.

Матрица коэффициентов квадратичной формы, рассматриваемой как функция от координат вектора, есть дважды ковариантный тензор. Действительно, сама квадратичная форма есть анх'х7. Прн преобразовании координат х' заменяются на с'.х', значение формы превратится в а, с~с~ х' х', т. е. ее коэффициенты превращаются в анс'с~ =а', преобразуясь по правилу преобразования дважды ковариантного тензора. Суммирование по 1 равносильно умножению матрицы формы справа иа матрицу преобразования, суммирование по 1 можно рассматривать как умножение слева на матрицу, транспонированную с матрицей элеи[виты АлГеБРы тензОРОЕ [ГЛ, ХГУ преобразования координат, в полном совпадении с формулой преобразования А-+-СГАС.

Тензор коэффициентов квадратичной формы обладает свойством симметрии аи = аи, которое, разумеется, сохраняется при преобразовании координат. Полилинейной функцией от нескольких векторов называетоя функция, линейная относительно каждого вектора. Рассмотрим полилннейную функцию от трех векторов одного и того же и-мерного пространства и двух ковекторов. В координатной записи она имеет вид ар[а х'х[хйу у„. Здесь х' — координаты векторов, у,— координаты ковекторов в дуальном базисе.

Набор коэффициентов ар" .является тензором, трижды ковариантным и дважды нй коитравариантным. В следующей главе мы познакомимся с некоторым один раз контравариантным и два раза ковариантным тензором, естественно возникающим в пределах самой алгебры. Тензоры более высоких валентностей играют существенную роль в геометрии римановых пространств и в теоретической физике. й 2. Действия над теизорами 1. Сложение и умножение на число. Суммой двух тензоров одинакового типа называется тензор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых: [а + Ь)Ра = аР[а + ЬГР[а . То, что сумма тензоров действительно является тензором, ясно из формулы преобразования компонент при замене базиса. Произведением числа ж на тензор называется тензор, полученный из исходного умножением всех компонент на ем (аа)ра =пара.

цй пй Из этих определений ясно, что тензоры одинакового типа составляют векторнае пространство, размерность которого равна степени л с показателем, равным полной валентности. 2.- Умножение тензоров. Произведением тензоров а" ,и ЬА называется система чисел с[ый,е =аийЬ,Е в предположении, что рай ра все индексы независимо принимают допустимые значения.

Легко видеть, что произведение тензоров есть тензор. Действительно, при замене базиса е' =с'е, компоненты преобразуются по формуле ггааррг[йг ай азарт[[йаа гам Г[[ейчи а..йС[С СИУ У Ь ЕС СИТА — дпй ЕС[С СИСЕСИУ У Уи, т. е. по формуле изменения компонент тензора пятикратно ковариантного и трехкратно контравариантного. При умножении тенворов их валентности складываются. даиствия над танзогьми зз! Аналогично определяется произведение любого числа тензоров. Тензор называется разложимым, если его можно представить в виде произведения тевзоров валентности 1.

Предложение 1. Любой тензор можно представить в виде линейной комбинации разложимых тензоров. Доказательство. Зафиксируем базис пространства еь... ..., е, и рассмотрим векторы е; и ковекторы р', составлявшие дуальиый базис. Их координаты равны нулю, кроме одной, равной единице. Тензор, равный произведению тепзоров из координат этих векторов и ковекторов, имеет единственную компоненту, равную 1, и остальные нули, причем 1 можно получить в любом месте тензора. Следовательно, любой тензор является их линейной комбинацией. Наименьшее число разложимых тензоров, линейной комбинацией которых является данный тензор, называется его рангом. Легко видеть, что тензор полной валентности 2 имеет ранг, равный рангу соответствующей матрицы.

Вопрос об определении ранга полной валентности 3 и выше еще не получил алгорифмического решения в обшем виде, и возможно, что даже вопрос о сушествовании алгорифма не является бесспорным. 3. Свертка. Пусть имеется тензор агД, имеюший как верхние, так и нижние индексы. Приравнивая один верхний индекс к одному нижнему, мы должны, по соглашению об обозначениях, просуммировать по этому индексу, и в результате получится система элементов, в верхних и нижних номерах которых останется на однУ единицУ меньше, так что можно положить Ьл =аеиьь. Эта операция называется сверткой тензора. П р е д л о ж е н и е 2. Свертка произведения тензора на символ Кронекера, как по верхнему, так и по нижнему индексу этого символа, не меняет тензор по существу и сводится только к переименованию индекса.

Действительно, сумма аЩЬ' имеет лишь одно слагаемое, отличное от нуля, именно то, для которого значение символа Кронекера равно 1, т. е. при д= з. Поэтому аЩЬ*,=аг*ь, Аналогично, атв Ьь = аев. иь в мь' П р едл о же н не 3. Результатом свертки тензора является тензор. Доказательство. Пусть дан тензор а~Я. Обозначим агьь через Ь;, Пусть е,' = свез — замена базиса. Тогда компоненты тензора а!'," преобразуются по формуле а'ь~ ате с' сг с "уеу~. хьч пь ь ь т р г Переход к Ь' требует положить ч = т и просуммировать по э. Это дает Ь,„;=а,'еьс„'с~~сьуф'.

Но сумма сьу' равна Ьь, н сумма ззе ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ !ГЛ. ХПГ арЯ по д и Ь равна сумме ар"А Ьр, Итак, Ь Р Ьр с~с!у'. АР Ц А Р Р' Это значит, что ЬР действительно есть тензор. й 3. Симметричные и аитнсимметрнчиые теизоры 1. Применение подстановки к индексам ковариантного тензора. Пусть аГ„, ; — ковариантный тензор валентности рл и а — некоторая подстановка чисел 1, 2, ..., Гп. Применив эту подстановку к номерам индексов, мы получим систему чисел, занумерованную т индексами )н 1н ..., /, где 1, =1пн ..., ) =Г,„,.

Из формул преобразования компонент тензора, которые имеют одинаковый вид для всех индексов, заключаем, что мы снова получим т-ковариаитный тензор. Операцию применения подстановки к номерам индексов можно рассматривать как обобшеиие операции транспонирования матрицы. 2. Симметричные тензоры.

Тензор называется симметричньГм, если он не меняется в результате всех подстановок номеров индексов, т. е. если его компоненты не изменяются при всех перестановках индексов. Примером симметричного ковариантвого тензора валентности Гв при индексах, меняюшнхся от 1 до и, может служить набор коэффициентов формы степени т от а переменных, если сомножители в каждом одночлене рассмотреть во всех возможных порядках и коэффициент разделить поровну по всем записям одночлена. Запись такой формы принимает вид а...

х( )х(Г)... х( 1 пы ... ~га (верхние индексы мы ставим в скобки, чтобы не перепутать с показателями степени, которые здесь естественно возникают при равных значениях индексов) с симметричным тензором коэффициентов. Иногда применяется операция симметризации тензора. Эта операция заключается в том, что производятся все ЛГ! подстановок номеров индексов, результаты складываются и делятся на ЛГ!. В результате операции симметризации получается симметричный тензор. Нетрудно проследить, что тензор коэффициентов произведения двух форм равен результату симметризации произведения теизоров коэффициентов перемножаемых форм. Симметризацию тензора иногда применяют по части индексов и применяют ее не только к ковариантным, но и к смешанным тензорам, в последнем случае по всем (или части) нижним индексам и отдельно по всем (или части) верхним индексам.

% 4! ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕННЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ззз 3. Антисимметричные тензоры. Ковариантный тензор а„,„ называется ангисиммегричньы1, если две его компоненты, получающиеся одна из другой переменой местами двух индексов, отличаются только знаком. Ясно, что тогда любая компонента с хотя бы одной парой одинаковых значений индексов равна нулю. Далее, если система индексов получается из другой посредством четной подстановки, то компоненты равны, если же системы индексов связаны нечетной подстановкой, то они Отличаются знаком. Полилинейная форма г'(х„..., х')=а к'х12 ...

х' с !12"!чх! 2 ' к антисимметричным теизором коэффициентов аитисимметрична, т. е. Т(Х1, ° ° ., х1, ..., х1, ..., х ) = — ч-'(Х1, ..., х!, ..., х„... ..., х„). Если валеитность и меньше числа и возможных значений для индексов, то в индексации каждой компоненты встретятся одинаковые значения, так что все компоненты тензора равны нулю. Интересен случай, когда ги = и. В этом случае ненулевые компоненты будут иметь индексы (й, 1ь ..., !',), среди которых нет равных, т. е. они представляют собой перестановки чисел 1. 2, ... ..., и.

Если положить а1, 2, „, „— — а, то остальные компоненты равны ( 1)!пч 1!! !!' ''' !и) Соответствующая полилинейная форма будет равна х х ... к" ! 1 1 2 л К2 К2 ... Х! 1)!хч(1, 1,.....1„) !!х'! Л„п бе1 1 2 к хл «» Подобно симметризации рассматривается антисимметризация, при которой все тензоры, получающиеся при подстановках индексов, складываются со знаками + или — в зависимости от четности или нечетности подстановки индексов.

$ 4. Тензорные произведения векторных пространств 1. Определение тензорного произведения. Пусть 5 и Т вЂ” два векторных пространства над полем 1(, Рассмотрим пары векторов (х, д) при х еп 5, д ~ Т и их формальные суммы (хь д!)+ (хм д,) + ... + (хм д,) . ' Введем следующие эквивалентности: !) (ссх, д) (х, ссд) при схепК; 2) (хь д)+(хь д) (х! + хь д) ' 3) (Х, д1)+(Х, д2) (Х, д1+ д2). Две формальные суммы пар будем считать эквивалентных!и, если от одной к другой можно перейти посредством конечного элементы АлГЯБРН тензоРОВ !ГЛ Х!Ч числа эквивалентностей 1), 2), 3). Класс эквивалентности, содержасций сумму пар (хьдс)+(хьу»)+ ...

+(хсь У»), будем обозначать х, Э ус+ х» ЭУ»+ ... +х» Эу». На множестве формальных сумм пар введем структуру векторного пространства, положив а((хс, дс)+ ... +(х», у»))= (ахс, ус)+ ... +(ах», у») и ((хс Ус)+ . +(х»,У»))+((х»+ьУ»+с)+ ... +(хс Ус))= = (хс, ус)+ ° ° +(х», у»)+ (х»+с, у»+с)+ ... +(хс, ус). При бесконечном поле К это пространство, очевидно, бесконечномерно.

Ясно, что если две суммы пар эквивалентны, то оии останутся эквивалентными после умножения иа а. Если первая сумма пар эквивалентна второй и третья эквивалентна четвертой, то сумма первой и третьей эквивалентна сумме второй и четвертой. Поэтому структура векторного пространства может быть перенесена на множество классов эквивалентных сумм пар. Получившееся векторное пространство называется Гсизориым произведением пространств 5 и Т и обозначается 5 Э Т.

Характеристики

Список файлов лекций