1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 86

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 86)

Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм восьми квадратов. Это последнее тождество связано с умножением в так называемой алгебре Кали — некоторой уже не ассоциативной алгебре с делением размерности 8. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм и квадратов, кроме перечисленных при и = 2, 4, 8 (и тривиального тождества при л = 1), не существует. 5. Вращения трехмерного евклидова пространства.

Пусть и, о, ге †трой попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка й 1, Ь. Тогда, согласно правилу умножения векторов в алгебре кватерннонов, получим и' = = о' = шг = — 1. Далее, ио = — (и, о)+ [и, о) = [и, о[ = щ. Здесь мы воспользовались тем, что векторное произведение взаимно ортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ннм обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов й 1, Ь. Аналогично, ои = — в, оы = — шо = и, ви = — ищ = о. Таким образом, правило умножения векторов и, о, а ничем не отличается, кроме обозначений, от правила умножения векторов 1, 1, Ь.

Иными словами, отображение 1~-~ 1, (г-~ и, р — г о, Ь эв задает изоморфизм алгебры ква. АлгвБРА квхтвпнионов терннонов на себя, ъ е. автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отображающее тройку с, 1, й на тройку и, и, пс, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти две тройки образуют ортонормальные одинаково ориентированные базисы пространства векторов. Ясно, что любое собственно ортогональное преобразование пространства векторов определяет некоторый автоморфизм алгебры кватернионов. Все автоморфизмы получаются указанным способом.

Действительно, пусть и, о, щ — образы с, 1, й при некотором автоморфизме. Тогда из = пт = пс'= — 1, ив = — пи = пс, ппс = — сов = и и пи = = — — ив = о, Из равенства и' = — 1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. Действительно, пусть и = а+ ис, где а — скалЯРнаЯ часть и. Тогда — 1 = и'= аз+ 2аис — !ис(з, откуда 2аис = О. Если допустить„что ис =О, то — 1= а', что невозможно. Поэтому ссс чьО и, следовательно, а = О, !и!=!ис)=1.

По той же причине пватернноссы в и пс — тоже векторы единичной длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона ио = ис равна нулю, мы заключаем, что векторы и и в ортогональны. По той же причине ортогональны векторы и, пс и ис, и, так что и, и, пс составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов, Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки с, 1, й, ибо в противном случае было бы ио = — в, а не ив = пс. Пусть теперь а — некоторый кватернион единичного модуля.

Ясно, что отображение х а-'ха есть автоморфизм алгебры ква. тернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение пространства векторов. Рассмотрим его подробнее. Пусть сс = а + ие, где а — скалярная часть а. Тогда аз+ ) исс!' = 1, так что можно положить а =созср, )ие)= з!пср„О( ср 'и. Тогда а = соз ср + и з!и ср, где и — вектор единичной длины (если се=-с-1, то ив = О, и в качестве и можно взять любой единичный вектор). Пусть теперь и — какой-либо вектор единичной длины, ортогональный вектору и, и пусть щ = ип.

Выясним, как действует автоморфизм х ~а-схсс на векторы и, о, пс. Ясно, что а и и коммутируют, так что сс 'иа = и. Далее, сс с=а=совр — ияпр, а-спи = (соз ср — и яп ср) в(соз ср+ и яп ср) = = (и соз ср — ю я п ср) (соз ср + и я п ср) = = псов'ср — тяп ср сов ср+ оияи ср сов ср — псин!пзср = = п(соз'ср — яп'ср) — 2пс з!и ср сов ср = исоа 2ср — щ яп 2ср1 а-сна = (ос сов ср+ вяп ср) (сов ср+ и з!п ср) = па!п 2ср+ в сов 2ср. Итак, автоморфизм х а-сха не меняет вектор и и поворачивает на угол — 2ср плоскость, натянутую на векторы и и в (считаем положительным направление вращения от п к ж), т.

е вращает пространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор Алгввгы 1гл хч и, на угол — 2Чь Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг некоторой оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриваться как трансформация х ~а — 'ха посредством кватерниона е единичным модулем. Заметим, что преобразование х сс-'хи при !сс!чь ! не дает ничего нового, ибо, если положить сс = (а(ас, то (ссс( = ! и в-'хв =а хас при любом кватернионе х. В любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент а порождает автоморфизм алгебры х а-'хсс.

Такие автоморфизмы называются внутренними автоморфизмами алгебры. Полученный ранее результат показывает, что все автоморфизмы алгебры кватернионов внутренние. Кватернионы единичного модуля образуют, очевидно, группу относительно умножения. Сопоставление каждому такому кватерниону вращения х»и — 'ха трехмерного пространства векторов есть, очевидно, гомоморфное отображение, ибо (а())-'хсс(3 = р-'(сс-'хсс)р, т, е. произведению кватернионов отвечает произведение вращений.

Ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов ~1. Действительно, а = а + Ь!+ с!+ сй принадлежит ядру, если сс-'ха = х при любом векторе х, т. е. если хи = ссх. Положив х= 1, получим с =с(=0, а положив х= !', получим Ь =— с(=0. Итак, а=а -~1, ибо )а!=!а(=1. Тем самым мы получили, что группа БО(3) собственных вращений трехмерного пространства изоморфна факторгруппе группы кватерниенов единичного модуля по подгруппе (~1).

Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики— ось вращения и угол поворота, При обычном задании вращения при помощи ортогональной матрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые, хотя и несложные, вычисления. Закон умножения кватернионов тоже проще (по форме записи) закона умножения матриц третьего порядка., Заметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе З(3(2) унитарных матриц второго порядка с определителем, равным единице. Действительно, кватерниону сс = = а+ Ь(+ с)+ ай соответствует, в силу описанного в п.

1 нзо- а+Ы с+Л '1 морфизма, матрица А = ( + . „,. ), сопряженному кваса — Ы вЂ” с — ЖЧ терниону а а — Ь( — с) — ай — матрица ~ (,с — сл а+Ы) ) А . Из равенства аа = 1 следует АА" = Е, т. е. матрица унитарна. Далее, де1А = а'+ Ь'+ с'+ Я= 1. Обратно, если матрица А =- =1 ~! унитарна и де!А =1, то равенство А-'=А* дает Ь ~ злгвВРА квзтеянионов Таким образом, отображение п «А осуществляет изоморфизм группы кватерннонов единичного модуля и группы Я)(2).

й. Вращения четырехмерного пространства. Рассмотрим четы- рехмерное пространство кватернионов как евклидово, с естествен- ной метрикой: если х а~+ Ь!~+с~/+Ай, у= из+ Ьз!+сз!+ -(- с4Ь, то (х, у) а ~ а, + Ь! Ь, + се, + ИА = Ке (ху) = Ке(ху) . Пусть р — кватернион, )~~ = 1. Покажем, что как оператор ле- вого умножения на (3, так н оператор правого умножения являются ортогональными операторами. Действительно, ((3х, (3у) = Ке(рхру) = Ке(х(3()у) = Ке (ху) = (х, у) я (хр, ур) = Ке(хЯ) Ке(х(3ру) = Ке(ху) =(х, у). Более того, оба эти оператора собственно ортогональны. Для доказательства положим (3 = созф+ из!пф и возьмем в качества базиса векторы 1, и, и, в, где п — какой-либо единичный вектор, ортогоиальный вектору и, и ю = ип.

Тогда й ° 1 = соз ф + и з!п ф, !3 и = — з!и ф+ и соз ф, о=— и соз ф + и з!и ф, 13 ° ю = — и з!п ф+ ю соз ф. Таким образом, в рассматриваемом базисе оператор левого умножения на р имеет матрицу, составленную из двух одинако- вых блоков определителя +1. Аналогично 1 13 созф+из!пф, и . й = — з!п ф+ и соз ф, и и сов ф — в з(п ф, ю ° й= и з!п ф + и соз ф, так что матрица оператора правого умножения на р тоже имеет определитель, равный +1. Заметим, что в базисе 1, и, в, о оператор правого умножения имеет матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков.

Базис 1, и, о, ю получается из исходного 1, й !', й посредством собственно ортогонального преобразования координат, а базис 1, и, ю, и по- лучается из исходного посредством несобственно ортогонального преобразования координат. Рассмотрим теперь оператор двустороннего умножения; х « «у-'х(3, где у и р — кватернионы единичного модуля. Этот опера- тор есть произведение собственно ортогонального оператора ле- вого умножения на у-' и собственно ортогонального оператора правого умножения на р, поэтому он тоже собственно ортогонален.

Покажем, что любой сооственно ортогональный оператор в про- странстве кватерннонов представляется в виде оператора двусто- Алгввгы !гл. хч раннего умножения. Действительно, пусть ф — такой оператор и пусть ф(1) = а. Тогда !и/= 1 и ф(х)=ф(х)а-' оставляет 1 на месте, н, следовательно, преобразует в себя ортогональное к 1 трехмерное пространство векторов, индуцируя в нем собственно ортогональный оператор. Следовательно, ф(х) = у-'ху при некотором кватернионе у единичного модуля и ф(х) =у-'хр при 6 = уа.

Рассмотрим (внешнее) примое произведение б двух экземпляров группы кватернионов единичного модуля и каждому элементу Х = (у, 6)е- =6 этой группы сопоставим оператор х«-«у-'хр. Тогда произведению элементов из 6 соответствует произведение операторов. Действительно, пусть Х~ =(уь (1~), Хг — †(ум 6з). Элементу Х~)з = (у~ум бфг) соответствует оператор х э(у~уз)-'х(Ц)з = у (у, 'х(1,)!1„ применение которого равносильно последовательному применению операторов, соответствующих элементам Х, и ),ь Таким образом, мы задали гомоморфное отображение группы 0 на группу вращений четырехмерного пространства.

Характеристики

Список файлов лекций