1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 90
Текст из файла (страница 90)
е. подпространство, в котором этот объем сосредоточен, и ориентацию в этом подпространстве. В этом смысле внешнее произведение системы векторов обобщает векторное произведение пары векторов в трехмерном пространстве. Напомним, что векторное произведение равно по величине площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, а его направление характеризует плоскость, порожденную парой векторов и ориентацию пары на этой плоскости. 11. Подпространства однородных элементов дополнительных степеней. Пусть 5» и 5 » — подпространства однородных элементов степеней й и п — в в пространстве внешней алгебры.
Размерности этих подпространств совпадают. Если и еп 5, и о еп 5„ м то и Л о принадлежит одномерному подпространству 5, элементов степени и. Пусть еь ..., е» вЂ” какой-либо базис в 5Р Тогда и Ло = а(и, о)е1 Ле» Л ... Ле». Ясно, что коэффициент а(и, о) есть при фиксированном о линейная функция от и. Очевидно, что порожденное тем самым отображение 5, » в пространство 5', сопряженное с 5ы линейно и его ядро состоит только из О. Из совпадения размерностей 5„ и 5" следует, что это отображение есть изоморфизм.
Так определенный изоморфизм пространств 5„и 5' зависит от выбора базиса еь ..., е„, но зависит «слабо» вЂ” он определен с точностью до множителя де1(сн), где (сн)— матрица перехода от исходного базиса к другому. В частности, если Йе1(сп)=+1, то изоморфнзм 5„н 5' сохраняется при замене базиса еь ..., е, на базис )ь ..., )„ при ); = ~ смен ! Если за исходный базис в пространстве 5» взяты элементы ег = =Е„Л . Лвт»,У, ( ... < ум то сопряженным базисом в 5. » будет система элементов ( — 1)'""'" гзег., где Г' = М',Г, что непосредственно следует из закона умножения во внешней алгебре. Допустим, что исходное пространство 5, евклидово и базис вь еь ..., е„ ортонормальный.
Тогда пространства 5» и 5„ »,тоже имеют структуру евклидова пространства при ортонормальных базисах (ег) и (ег ). Напомним, что для евклидова пространства 5 имеется естественный изоморфизм между 5 и сопряженным пространством 5*, именно, образом элемента у ен 5 при этом изоморфизме является функционал )»(х)=(х, у).
Наличие этого изоморфизма позволяет отождествить 5 и 5'. Эти соображения делают естественным введение следующего понятия. Будем считать, что элемент не 5» кваяиравен элементу оя5„» и писать ижо, если в и о индуцируют в 5» одинаковые функционалы, т. е. при любом гвеп5» имеет место равенство ю Ло=(ю,и)е1 Л ... Лв,. Ясно, ВНЕШНЯЯ АЛГЕВРА 4!5 что квазиравные й- и (и — е)-векторы и и о имеют одинаковые координаты в базисах (ег) и (( — 1)'" и' гчег ) при Г'=У'~Г.
Отношение квазиравенства «почти симметрично», именно, если и = о, то о ж ( — 1)»<"-»>и. Отношение квазиравенства зависит от выбора базиса, но, очевидно, не изменяется при собственно ортогональном преобразовании координат. При несобственно ортогональном преобразовании квазиравные полиаекторы превращаются в квазипротивоположные, т.
е. если до преобразования было и = о, то после преобразования станет и — — о (конечно, при определении квазиравенства по отношению к новым базисным векторам). Это следУет из того, что если 1ь ..., 1„ полУчаетси из еь ..., е несобственно ортогональным преобразованием, то ~~Л ... Л („ = — е,Л... Ле„.
Выясним теперь, какой элемент из 5, » квазиравен внешнему произведению й~ Л ... Л д» ~5» линейно независимых векторов дь ..., й». С этой целью выберем в подпространстве Р, натянутом на дь ..., д», оРтоиоРмальный базис ~ь ..., 1», пРичем так, чтобы ориентации системы векторов ль ..., д» и 1ь ., 1» были одинаковы. Тогда й~ Л ... Лй» = Ц, Л ... Л1», где У вЂ” объем парал!е1ер)реда, па1упи1ойо па яь ..., й». Дополним 1ь ..., 1» до ортоноРмального базиса ~ь ..., 1», ~»+ь ..., 1, пРостРанства 5ь имеющего одинаковую ориентацию с исходным базисом еь ..., е„.
Тогда, в силу сказанного выше, д,Л ... Лд»= Р1»+,Л ... Л1, ВектоРы )»+ь ..., 1, составлЯют базис оРтогонального дополнения Р» к подпространству Р. Если в этом пространстве взять любую систему векторов Ь»»ь ..., Й„имеющих одинаковую ориентацию с 1»+ь ..., 1„и с объемом параллелепипеда Г, то Р, Л ... ... Лд» ж й»», Л ... ЛЬ,. Итак, если векторы й»+и ..., Ь„ортогональны векторам дь ..., и», объемы параллелепипедов, натянутых на яь ..., д» и й»+ь ..., Й„одинаковы и ориентация системы векторов йь ..., я», й»+ь ", 6, совпадает с ориентацией исходного базиса еь ...,-е„, то д~ Л ... Лй»жй»», Л,, Л6„, Рассмотрим случай а = 3 и й = 2. В этом случае д~ Л уз = йм где Ь» —.ортогональный к д~ и я, вектор, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на дь и», и ориентация йт, дь й» совпадает с ориентацией исходного базиса. Таким образом, вектор П», квазиравный бивектору д~ Лд, (при п = 3), есть не что иное, как векторное произведение (аь д»).
Заметим, что квазиравенство я1 Л .. Л д» -й»41Л ... Л й, равносильно равенству компонент этих поливекторов по отношению к базисам (ег) и (( — 1)ы'<г гчег ) при Г' = М", Г. Это равенство может быть сформулировано как равенство миноров й-го порядка, составленных из первых й столбцов матрицы координат векторов кь ..., д», Ь»+ь ..., Ь„, их алгебраическим дополнениям. Формадьная проверка таких соотношений не совсем тривиальна. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ А р х а н г е л ь с к и й А. В. Конечномериые векторные пространства. — М.ч Иэд-во МГУ, 1982.
Воре вич Вь И. Определители и матрицы.— Мл Наука, 1970. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Мл Наука, 1979. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Мл Наука, 1971. Кострикин А. Й. Введение в алгебру.— Мл Наука, 1977. К ест рики н А. И. и Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, Мл Изд-во МГУ, 1980. Кур о ш А. Г. Курс высшей алгебры. — Мл Наука, 1976. Лен г С. Алгебра. — Мл Мнр, 1968. Мальцев А. И.
Оосновы линейной алгебры.— Мл Наука,!975. Фаддеев Д. К. и Сом нискнй И. С, Сборник аадач по высшей ал гебре. — Мл Наука, 1977. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
