1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Следствие 4 (теорема Бине — Коши об определителе произведения двух прямоугольных матриц). Пусть ь,„, ... ь„, Вг = ь, ... ь с,| ... а» и Сг= т»1 ' ' ат»» Тогда де1 А = л ВгС", где сумма распространена на все и-элементг нь»е подмножества множества М =(1,2,, т). Доказательство. Пусть ~,=ьпй,+... +Ь, д, д,=сне,+... +с»е», /» — — Ь»1й, +...
+ Ь» и,„, я' =с,е, +... +с,а»е», причем еь ..., е» линейно независимы. Тогда 1, = ане, + ... + аг»е», ~»=аде, +... +а,»е». Поэтому, с одной стороны, ( Л ... Л (» де1А е1 Л ... Л е», другой стороны,й Л)» Л ° * ° Л /»= 1 Вга», Ль(т Л ... Лат ° еде А =ВС, причем й ( т. Пусть Г=(уь ..., у»), где 'т»(у» ... (у». Положим »лгевты !гл хт Ясно, что ут, = ст,е, +... + с„,»е„, д с,,е,+...+с „е», д„» = с„,е, +... + ст»»е», ан ...
а!а а», ... а„„ а»+!.! " »+!. а ~ А! ) а л! ''' аа разделена на две клетки, первая из которых имеет я строк, пусть Г есть й-элементное подмножество множества Л! = (1, 2, ..., п) и Г'= ЛГ,à — еео дополнение. Пусть А!г — минор й-го порядка матрицы А!, составленный из столбцов, номера которых составляют Г, и Агг — минор (и — й)-го порядка матриць! Аз, номера столбцов которого составляют Г'.
Тогда т,+ "+т»- —,, »!»-и де1А = Е А!гА!г ( — 1) г-(ть ..., т») Доказательство. Пусть 1! =апе, + ... +а,„е„, '1»=а»!е!+... +а»„е„, )»+! — — а»+,,е, +... + а»+ь „е„, 1„= а„,е, +... + а„„е„ Тогда бе1 А е, Л е, Л ... Л е„=(1! Л )» Л ° ° ° Л 1») Л (1» ! Л .. Л 1„). Но )! Л !» Л ° ° ° Л !» = х., А!гег )»+! Л ... Л !„= ~~' А»»е», где Г откУда д„, Лдт, Л ° Л дт =Сге! Л е» Л ° °, Л е», так что )'! Л р! Л .. Л 1» = Я ВгСг е! Л е, Л ... Л е».
Сравнение коэффициентов при е! Ле» Л ... Ле» чьО дает де1 А = ~ ВгС", что и требовалось. г Заметим, что если й ) !и, то де1ВС= О, ибо произведение )! Л1, Л ... Л1» обратится в О как внешнее произведение линейных комбинаций меньшего, чем !!, числа векторов. Следствие 5 (теорема Лапласа).
Пусть квадратная матрица Внешняя»лгеБРА пробегает все й-элементные подмножества, а а — все (и — и)-элементные подмножества множества % Ясно, что егЛ е»=О, если ГПЛ непусто, а пусто оно, только если Ь Г'. Следовательно, де1Ае„=11Л ° ° ° Л 1„= 2' 2 А|гА»аег Л ед г» - Х А1гА»г ег Л ег Е А1 гА»г ( — 1)'»мг "ен. г г Пусть Г (уь ° ° °, у») и у1('у»( ... (у».
Все элементы, меньшие, чем уь находятся в Г', поэтому у~ составляет у1 — 1 инверсий с элементами нз Г, далее, все элементы, меньшие, чем ум кроме уь находятся в Г', так что у» составляет у» — 2 инверсий с элементами из Г' и т. д. Таким образом, 1пч(Г,Г') у~+... ... +у» — 1 —... — й т,+ ... +у» — '/,я(й+1). Итак, бе1А= т,+.-ьт»- а»~»+и -Х( — 1)' '" АтА»гь что и требовалось доказать. г Переставляя строки, легко доказать теорему Лапласа в общем случае, когда в матрице А выбраны любые и строчек. Мы предоставляем это читателю. Следствие 6 (критерий линейной независимости в терминах ранга матрицы).
Для того чтобы векторы 11 = аие1+ ... ... + а,„е„, ..., 1»= а»1е, + ... + а»,е„были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один минор я-го порядка матрицы А =(аи) был отличен от нуля. Действительно, для линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы (, Л ... Л1»ФО. Но (~ Л ° Л 1»= х Агег и г для (~ Л ... Л1» чьО необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из миноров Аг был отличен от нуля. 9. Внешняя алгебра иад пространством Евклида. Пусть в пространстве векторов имеется структура евклидова пространства, т.
с. основное поле есть поле Р вещественных чисел н в пространстве определено скалярное произведение, Пусть базис еь ..., е„, исходя из которого строится внешняя алгебра, ортонормален. Продолжим евклидову структуру на все пространство внешней алгебры, считая базис (ег) ортонормальным, так что скалярное :с произведение элементов х = ». хгег и у = Е угег равноХ хгуг. г г г При таком соглашении однородные элементы разных степеней будут ортогональны, так что градуировка определяет разложение пространства внешней алгебры в прямую ортогональную сумму подпространств однородных элементов.
Предложение 8. Пусть 1ь ..., '1» и аь ..., я» — две системы векторов. Тогда скалярное произведение й-векторов 1» Л ... . Л 1» и д~ Л ... Лй» равно (1м я,) (1», вя) " (1», в») млгввгы 1гл. кч 41в В частности, квадрат длины и-вектора Е, Л ... ЛЕ» равен опреде- 1 (Ен Е,) " (Еь Е») ли гелю Грама ~ ° - , т. е. совпадает с квадратом (Е,,Е,) .. (Е,,Е,) обвел»а параллелепипеда, натянутого на векторы Еь ..., Е».. Доказательство. Пусть Е,=Ь1,е, +... +Ь,„е„, д,=сне, + ...
+ с,„е„, Е» — — Ь»,е,+... +Ь»»е„, а»=с»,е,+... +с»„е„. Обозначим через Вг, Сг миноры, «вырезаемые» множеством Г из матриц В =(Ьн), С =(си). Как мы уже знаем, Р=Е~ Л ° Л Е»= Х Вгег, б=д'~ Л Лд»=ЕСгег. г г Поэтому (Р,б) = х ВгСг= де1ВСт в силу теоремы Бине — Коши г (С' — транспонированная матрица). Согласно правилу умножения ~п'и+" +~ " ап"и+ ". + ~ '»» матриц ВСт— »и'и+"'+а»»'ь " Ьи"'и+ '" +Ь»»»» Е' (Еья) " (Еь к»)») что н требовалось доказать.
(Е».к ) ". (Е»,х») Чтобы получить частный случай, включенный в формулировку предложения, достаточно положить у~ —— Еь ..., д» = Е». Заметим, что скалярное произведение (Г, 6) А-векторов за- висит лишь от скалярных произведений (Еь и;), т. е, от взаимного расположения этих двух систем векторов друг относительно друга, но не от выбора системы координат. В частности, отсюда следует, что если Еь ..., Е.— ортонормальный базис исходного простран- ства и (гг) — стандартные произведения базисных элементов, то для двух Ег-элементных подмножеств Г1 и Г, ( О, если Г, ча Г» (рг„г"г,) = (ег„ег,) = ~ 11, если Г,=1',, ибо скалярные произведения векторов, составляющих Рг, и Рг„ равны соответствующим скалярным произведениям векторов, составляющих ег, и ег; Таким образом, ортогональное преобразование координат в пространстве векторов вызывает ортогональные преобразования во всех пространствах Ь-векторов, а следовательно, и во всем пространстве внешней алгебры, нбо оио разлагается в прямую ортогональную сумму пространств поливекторов.
1О. Внешнее произведение векторов как направленный объем. Пусть задана упорядоченная система линейно независимых векто- ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА »1З ров )ь ..., 1* в и-мерном евклидовом пространстве (х». Напомним, что объем параллелепипеда, натянутого на эту систему, равен квадратному корню из определителя Грама: )п()ь ..., )») = = де1((6 )~)). Если )ь ..., Ь и уь .., д» вЂ” два базиса некоторого й-мерного подпространства Р в Р» и у; = ~~', с,А, 1=1, 2„..., й, то Р(уь ..., у»)=~де1(си)1$'(1ь ...„1»). Если де1(си)) О, системы уь ..., у» и 1ь ..., 1» одинаково ориентированы, если же де1(сп): О, то нх ориентации противоположны Напомним, что если )ь ..., 1» и дь ..., У» одинаково оРиентиРованы, то сУществует непрерывный путь, соединяющий две эти системы, т.
е. существует система векторов й~(1), ..., й»(1), непрерывно зависящая от вещественного параметра 1, 0 ( 1 ( 1, и такая, что й;(0) =(ь й,(1)=д, и при любом г из промежутка О =1(1 система векторов й~ (1), ..., й»(1) остается базисом подпространства Р. Если же 1ь ..., 1» и уь ..., д» имеют противоположную ориентацию, то такого пути не существует. Теперь докажем теорему, вскрывающую геометрическое значение внешнего умножения векторов. ТеоРем а 9. ПУсть (ь ..., 1» — линейно независимаЯ система векторов в и-мерном евклидовом пространстве Р», и пусть дь ... ..., у» — другая система векторов.
Для того чтобы имело место равенство 1, Л 1» Л ... Л 1» = д1 Л д» Л ... Лд», (3) необходимо и достаточно, чтобы системы )ь ..., )» и дь ..., д» порождали одно и го же надпространство в Е", были бы в нем одинаково ориентированы и объемы У(1ь ..., 1») и У(уь ..., д») были бьь равны.
Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть авенство (3) выполнено. Тогда при любом й ! (1(й, будет , Л1»Л ... Л1» Лу; = 0 и, следовательно, система 1„..., 1», у~ линейно зависима, откУда в силУ независимости 1"ь ..., 1» следует, что д; = г с;А, 1=1, 2, ..., й. Тогда д1Л ... Лу»= / 1 = де1(сн))~ Л ... Л г», так что де1(с„) =+ 1. Следовательно, системы )ь ..., 1» и дь ..., д» порождают одно и то же надпространство и одинаково в ием ориентированы.
Так как У(дь ... ...,у») =~ де((сн) ~ $'(1ь ..., 1»), объемы равны. Докажем теперь достаточность. Пусть (ь ..., )» и дь ..., и» порождают одно и то же подпространство, имеют одинаковыв ориентации и Ь ф, ..., 1») — Ъ (д~ ° ° у»). Тогда у~ = 2 си)н причем де1(сн)) О и (де1(си) (= 1, т. е. де1(со)=1. Ясно, чте »т~ Л ° Лд» = де1(снЦ, Л ...
Л1» — — )1 Л ... Л1'». 1гл. хч 414 АЛГЕБРЫ Доказанная теорема позволяет трактовать ),Л)»Л ... Л1» как «направленный объем» параллелепипеда, натянутого на 1ь ... ..., 1». Действительно, это внешнее произведение определяет как величину объема, так и его «направление», т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
