1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 84

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 84)

Читатель уже неоднократно встречался с алгебРами. Напомним некоторые знакомые примеры алгебр. 1. Поле С, комплексных чисел над полем Р вещественных чисел образует, очевидно, алгебру размерности 2. 2, Кольцо квадратных матриц порядка и с элементами из поля К образует алгебру иад этим полем размерности и'. 3. Кольцо многочленов К((] образует алгебру бесконечной размерности над полем К. 4. Пусть ( — фиксированный многочлен степени и из К1(). Классы сравнений по модулю ( образуют алгебру размерности и.

Все эти алгебры ассоциативны. Все онн, кроме алгебры квадратных матриц, коммутативны. Примером неассоциативной алгебры может служить пространство векторов в трехмерном евклндовом пространстве с умножением в смысле векторного умножения. Мы будем рассматривать только конечномерные алгебры.

С каждым элементом х алгебры А связаны два оператора, действующие в линейном пространстве алгебры. Это оператор ира- овщиа сведения ввв ваго умножения Я»: у э.ух, сопоставляющий каждому элементу у ~ А его произведение на х справа, и оператор левого умножения 2'»: у - ху. Оператор Я» линеен в силу линейности умножения в алгебре относительно левого множителя.

Далее, отображение х «Я, пространства алгебры А в пространство 5 линейных операторов тоже линейно в силу линейности умножения в алгебре относительно правого множителя. Аналогично, линеен оператор 2', и линейно отображение х Ю,. Операторы правого и левого умножения связаны очевидным соотношением: Ы',(у) = Я,(х). Задание некоторого линейного отображения х эф данного векторного пространства А в пространство В линейных операторов, действующих в А, можно рассматривать как задание алгебры, для которой операторы ф суть операторы правого умножения. Действительно, если для элементов х, у е- =А положить ух = ф»(у), то линейность этого умножения относительно первого множителя обусловливается линейностью операторов ф, а линейность относительно второго множителя — линейностью отображения х~-» ф .

Аналогично алгебра может быть задана и посредством задания операторов левого умножения. Две алгебры А и В называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А на В, преобразующее произведение прообразов в произведение образов. Например, алгебра С комплексных чисел (как алгебра над полем Р) изоморфна алгебре вещественных матриц вида ( ь ) . Действительно, отображение ф: ф(а+ И) = (ь ) линейно, взаимно однозначно и ф](а+ Ьь)(с+ й)] = ( с+ „ьс )=(Ь )( с»= (а+ )ф(с+ ). Взаимно однозначное соответствие о с ь ~ (а Ь с) ~ -с О а) — ь — а о между тройками вещественных чисел н антисимметрнчными матрицами третьего порядка есть нзоморфизм алгебр, если тройки умножать по правилу векторного умножения векторов, заданных в декартовой системе координат, а «произведением» матриц Ь и М считать В ° М = ЕМ вЂ” Мь. 2.

Структурные константы алгебры. Для того чтобы описать правило умножения в данной конечномерной алгебре, достаточно задать «таблицу умножения» для какого-либо ее базиса, т. е. записать произведение каждой пары элементов выбранного базиса в виде линейной комбинации его элементов: с.е =аь е; аэ ен )х В~ мь' и (мы пользуемся тензорными обозначениями). Константы а," назы- АЛГЕБРЫ Ггл. хт ваются структурными константами алгебры. Покажем, что они составляют дважды ковариантный и один раз контравариантный тензор.

Пусть Г =с'е,— новый базис алгебры. Тогда е =у'),. Далее, Г' 1 =с'сГе,е =с'сГа»е»=а»»Гс'сГу»(„так что новые структурные константы а,"чс'сну'„получены из исходных по правилу преобразования дважды ковариантного и один раз контравариантного тензора, По этой причине набор структурных констант называют также структурным тензором. Если алгебры А и В изоморфны, то в соответствующих (в силу изоморфизма) базисах структурные константы совпадают.

Ясно и обратное, если у двух алгебр структурные константы совпадают, то сопоставление базисных элементов осуществляет изоморфизм алгебр. Поэтому для изоморфизма двух алгебр необходимо и достаточно, чтобы в них существовали базисы, определяющие одинаковые структурные тензоры. Следовательно, для того чтобы алгебры, заданные структурными тензорами в некоторых базисах, были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы зти структурные тензоры были связаны соотношением а'" =а» с'сГу'„при некоторых с'. 3.

Некоторые классы алгебр. Как уже было сказано выше, алгебры с ассоциативным умножением называются ассоциативными алгебрами. Ассоциативность будет иметь место, если выполнены пз равенств: (е;е;)е» = е;(е»е»), где еь ..., е„— какой-либо базис алгебры. Запишем это условие в терминах структурных констант. Имеем; ее =а»е, (е,е,)е»=а»че е,=а»а»,е„. Далее, ее = =а'„е,, е»(е,е,)=а,'„е,.е,=а,".,а,'те .

Таким образом, условие ассоциативности имеет вида» а»» =а' а»,. Положив а»а», а" а,',=Ь;„, получим, что Ь»,» есть тензор структурных констант для тройных произведений е,е е» = Ь» е ассоциативной алгебры. В терминах операторов умножения условие ассоциативности формулируется проще и естественнее. Именно, ассоциативность эквивалентна каждому из трех следующих свойств операторов умножения (записанных как левые операторы, т. е. первым действующим считается тот, который записан справа): )) у).»=я»я„, й) мл»=ад., з) ы.»-тл».

Алгебра называется коммутативной, если ху = ух при любых х и у из алгебры. Алгебра называется антикоммутативной, если квадрат любого ее элемента равен нулю. В этом случае для любых х и у из алгебры выполнено соотношение ху = — ух, ибо О =(х+у) (х+у)=хе+ух+ ху+у'= ух+ ху. Алгебра называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна и для любых трех ее элементов выполнено соотношение Якоби: х(ух)+ у(хх)+ г(ху) = О.

зп овщие сведения Среди алгебр, встречающихся в приложениях, алгебры Ли играют особую роль. В частности, они тесно связаны с группами Лн, Любая ассоциативная алгебра может быть «превращена» в алгебру Ли посредством введении нового «умножения»» по правилу х»у ху — ух.

Ясно, что х»х 0 при любом х. Соотношение же Якоби легко проверяется: х (у»г)+у (гох)+го (х»д) х(уг — гд) (уг гу)х+ + у (гх — хг) — (гх — хг) д+ г(хд — ух) — (ху — ух) г О. Алгебра (не обязательно ассоциативная) называется алгеброй с делением, если уравнение ху = г разрешимо относительно х при данных у Ф 0 и г.

Другими словами, алгебры с делением характеризуются тем, что все операторы правого умножения, кроме нулевого, невырожденны. В алгебрах с делением уравнение ху г при дФ 0 разрешимо относительно х однозначно, ибо невырожденный оператор имеет нулевое ядро. В частности, из равенства ху=О следует, что при уФО х — О и что х=Ф 0 возможно только при у = О. Но это значит, что любой оператор левого умножения, кроме умножения на О, имеет нулевое ядро и, следовательно, невырожден.

Поэтому и каждое уравнение ху г при хФО разрешимо относительно у. Легко видеть, что над полем С. не существует алгебр с делением, кроме самого С . Действительно, если размерность н алгебры с делением больше 1, то в ней существует два линейно независимых элемента х и у. Рассмотрим соответствующие им операторы правого умножения Я, и Я„и их матрицы )г и Я„в некотором базисе. В силу невырожденности операторов правого умножения бе11«„чьО и бе1)с„чьО. Рассмотрим элемент х+ 1у при тен С. Оператор правого умножения на него есть )с + 1)с„. Его определитель бе1()г + г)с«) де1)г + ...

+ 8" бе1)г„есть полинам степени и от 1, следовательно, обращается в О при некотором значении 1. Это невозможно в алгебре с делением, ибо х+ 1д Ф О, и, следовательно, оператор Я, + 1Я„должен быть невырожден. Что касается алгебр размерности 1, то, как легко видеть, их существует только две, с точностшо до изоморфизма, — алгебра с нулевым умножением (т. е. алгебра, в которой произведение любых двух элементов равно 0) и С. Над полем вещественных чисел алгебры с делением существуют — в частности, поле С.

С важной алгеброй размерности 4 мы познакомимся в следующем параграфе. 4. Идеалы алгебры. Правым идеалом алгебры А называется подиространство ( такое, что при любых дан Х, хек А будет ухы А Другими 'словами, правый идеал алгебры есть надпространство, инвариантное для всех операторов правого умножения. Аналогично определяется левый идеал алгебры. Подпространство, являющееся правым идеалом и левым идеалом одновременно, называется двусторонним идеалом. Ясно, что в коммутативной или в антикоммутативной алгебре все идеалы двусторонние.

АЛГЕБРЫ ггл. хч Двусторонние идеалы играют в теории алгебр такую же роль„ как нормальные подгруппы в теории групп: именно они, и только они, являются ядрами гомоморфизмов алгебр. Гомоморфизмом, или гомоморфным отображением алгебры А в алгебру В называется линейное отображение чг; А- В, сохраняющее умножение, т. е. такое, что гр(ху) = Ч (х) <р(у) Легко видеть, что ядро Х любого гомоморфизма чг алгебры А есть двусторонний идеал.

Характеристики

Список файлов лекций