1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Если взять (2ЬИ х|) + 2(Ь!, х,) + (4»и х,) + с 2 (Ьь Ьг) то уравнение примет вид (,~д, д) + 2 (Ь,, д) = О. Пусть Ьг = — ро, где Π— нормированный вектор. При этом уравнение примет вид (оггд, д) = 2р(о, д). Теперь сделаем поворот осей, приняв за новый базис нормированные собственные векторы и|, ..., иы принадлежащие ненулевым собственным значениям Ль ..., Л» оператора Ф, и нормированные собственные векторы и»+|, ..., и„, принадлежащие нулевому собственному значению, включив в их число вектор с.
Пусть с = и»+ь Уравнение в новых координатах д'„..., д„' примет вид Л,д', + ... + Л д» = 2рд'+,. Гиперповерхности с такими уравнениями (в (й+ 1) -мерном пространстве) носят название лараболоидое, причем эллиптических, если все Л|, ..., Л» одного знака, и сшаерболических, если среди Ль ..., Л» имеются числа противоположных знаков. Гиперболические параболоиды классифицируются по максимальному числу собственных значений Ль ..., Л» одного знака.
% 71 ЛИНЕПНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ УНИТАРНОГО ПРОСТРАНСТВА 371 й 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное 1. Сопряженные .отображения. Пусть 5 и Т вЂ” два унитарных пространства и Ф вЂ” линейное отображение 5 в Т. Сопрягсенныи с,Ф отображением Ф' называется отображение Т в 5, обладающее свойством (,Фх,у) =(х, н1'у) при любых х ~ 5 и уев Т. Выберем в пространствах 5 н Т ортонормальные базисы. Пусть А — матрица оператора Ф по отношению к этим базисам. Записав скалярные произведения (Фх, у) через координаты векторов х и у и сделав такие же преобразования, как в аналогичной ситуации для оператора из 5 в 5, легко получим, что поставленному требованию удовлетворяет оператор, матрица которого сопряжена (т.
е. транспонирована к комплексно сопряженной) с матрицей А. Единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора базисов доказывается так же, как для операторов из 5 в 5. Именно, если (Фх, у) =(х, .Ф*у) и (,Фх, у) =(х, Яу) при любых х ее5, у~ Т, то (х, (Ф' — Я)у) =О при всех хоев, следовательно, (М' — Я)у = 0 при всех уев Т, а это и означает, что Я = лог". Для операции сопряжения верны свойства: 1. (оо*)* = ьь.
2. (РР1+.ФО) *= Ф;+.яФ,'. 3. (СМ)"= СгОС", 4. Если,Ф отображает 51 в 5о и Я отображает 51 в 5о, то для Я.яь', отображающего 51 в 5о, верно (ЯФ)" = Ф*Я". Доказательства ничем не отличаются от доказательств аналогичных свойств в ситуации операторов из 5 в 5. Предложение 1. Образ оператора Ф есть ортогональное дополнение х ядру оператора .Ф', Действительно, если у ее 'Бега', то при любом х = ьвгееФ5 будет (х, у) =(Мг, у) =(г,,Ф*у)=0.
Обратно, если у ортогонален всем векторам я11г из ооС5, то (Фг, у)=-(г, .Ф*у)=0 при всех г ее5, следовательно,,Ф*у = О. Предложение доказано. В силу симметрии ль и Ф* по отношению операции сопряжения, из предложения 1 следует Предложение 2. Образ оператора Ф" есть ортогональное дополнение к ядру оператора ЯС. 2.
Каноническая форма матрицы линейного отображения унитарного пространства в унитарное. Пусть,Ф вЂ” линейное отображение унитарного пространства 5 в унитарное пространство Т и .Ф' †сопряженн отображение. Рассмотрим оператор Ф*.Ф, отображающий 5 в 5. Он самосопряжен, ибо (Ф*Ф)* = .Ф*Ф*" = =,рд*Ф Далее, кег Яь".РР = 'кег.яс, Действительно, еслн .Ф'лФх = 0 при хы 5, то (М'.Фх,х) =(Мх, Фх)= О, откуда .Фх= О, Таким образом, кег Ф'Ф о: — кег,Ф. Обратное включение тривиально, Пусть Р'= кегФ, 5о РА =А'Т, То —— .Ф5 и Я=Т,'='нега". Так как 5 = 5о1Ь'Р, то То =,Ф5 =-Ф5о+,ФР =М5о.
Таким образом, Ф отображает 5о на все Т,. Аналогично, .4" отображоет евклидова и ю<ит»гное пгосто»яств» 1гл, х<ы 372 0 ... 0 ... 0 0„ щ 0 0 " и» 0 0 т-». » т-», »-» Числа 1»ь ..., 1»» носЯт название главных или сингУлЯРных значений оператора Ф. На языке матриц полученный результат можно сформулировать следующим образом. Для любой комплексной п<Хп-матрицы А существуют унитарные матрицы В и С такие, что В'АС есть матрица вида М, причем я равно рангу матрицы. Действительно, любая комплексная п»Хп-матрица может рассматриваться как матрица линейного отображения и-мерного унитарного пространства 5 в и»-мерное унитарное пространство Т по отношению к некоторым ортонормальным базисам.
Матрицы С и В преобразования координат от исходных базисов к базисам и,, ..., и и оь ..., о унитарны. В силу формулы преобразования матрицы линейного отображения при преобразованиях координат, в новом базисе матрица вида М выражается посредством формулы В-'АС = В'АС. Число й = йгп То = йт,Ф5 равно рангу матрицы А. 3. Обобщенный обратный оператор. Пусть Ф вЂ” оператор, отображающий п-мерное унитарное пространство 5 в и-мерное Тд на все 5о. Очевидно, что ядро,яФ на 5» состоит только из нулевого вектора, и то же имеет место для оператора .яР на Т,, Оператор Ф*Ф на 5» не только самосопряжен, но и положительно определен.
Действительно, при хеп5» и хФО имеет место (лЕ"мех, х) =(Фх, .Фх) =» О, ибо при х чь О и лФх Ф О. Положим Ешли= п, б)ш Т = »и и дпп5г=йшТ»=й. В 5<» найдем ортонормировапный базис иь ..., и» нз собственных векторов оператора г<»*,Ф. Тогда Ф*Фи< — — 7<;аь причем 7«) О. Положим 7<, = 1»< Векторы Фи; попарно ортогональны. Действительно, (А но л(~ и ) = (и„м» .ч»и ) = (и,, 1»»<и ) = р' (ии и ) = О. Положим о, = 1»,-.'Фйг ВектоРы о; не только оРтогональны, но н нормнрованны, ибо(о„о,.) = 1», '(.Фи„ге<и,) = 1», '(Ф'Фио и,) = =(и„и<) = 1.
Таким образом, векторы о<, ..., о» образуют базис Ты Ясно, что Фи< = рлоь Пусть и»еь ..., и — ортонормальиый базис Р, о».»ь ..., о ортонормальный базис <;7. Тогда совокупности векторов иь ..., и», и»+ь ., и„и о<, ..., о», о»+ь ..., о образуют ортонормальные базисы пространств 5 и Т. По отношению к этим базисам оператор .Ф имеет следующую матрицу: % 71 линепные отовгажвния зннтлпного поостохнствх 373 унитарное пространство Т. Пусть 5о, Р, То и Я вЂ” те же пространства, что и в п. 2. Йолуобратный оператор, построенный исходя из разложений 5 = 5о9 Р и Т = То 9(), называется обобщенным обратным и обозначается через .Ф+.
В этой ситуации операторы ,Ф+лй и .Ф.Ф+ будут операторами ортогонального проектирования, т. е. будут самосопряжены. Легко видеть, что если оператор Я, действующий из Т в 5, удовлетворяет условиям лФЯФ =.Ф, Я,ФЯ = Я, Ялй и .4Я само- сопряжены, то Я = АО+. Действительно, первые два условия показывают, что Я есть полуобратный оператор для некоторых разложений 5 =5оЮЫегФ, Т=,Ф5®о7', оператор ЯФ проектирует 5 на 5о параллельно кег,Ф, а оператор .ФЯ проектирует Т на То = .Ф5, Из самосопряженности операторов .ФЯ и Я.Ф следует, что оба проектирования ортогональны, т. е.
5о = (йег,Ф)х и С7 = =(яс5) ~-. Поэтому Я = лй+. Если ортонормальные базисы в 5 и Т выбраны так, что т Х и- матрица оператора Ф равна ( щ О ... О О и, ... О О ьл-о ... и О О м-М о и-ь о-я то, очевидно, лй+ будет 'иметь пХ т-матпицу такого же вида, только вместо рь рь ", ро будут р, ', р,, ..., р,,'. Понятие обобщенного обратного оператора естественно переносится на матрицы, так как каждую матрицу можно рассматри.
вать как матрицу оператора по отношению к ортонормальиым базисам. Для вычисления матрицы А+, обобщенной обратной для тХ и. матрицы А ранга й, можно, например, поступить так. Представить А в виде произведения ВС тХй-матрицы В ранга я на яХ и- матрицу С ранга й. Тогда матрицы В*В и СС' с:,осспряжены и невырожденны. Легко проверить, что А+ = С'(СС*)-'(В*В)-'В'. Для этого нужно убедиться в выполнении равенств ААоА = А, А+АА+ = А+ и в самосопряженности А+А и АА~, что не представляет труда.
4. Роль обобщенного обратного оператора в теории систем линейных уравнений. Сначала введем одно важное понятие, Пусть в унитарном пространстве 5 даны подпространство Р и вектор г. Расстоянием ог вектора г до надпространства Р называется минимум длин векторов г — и при и ен Р. Пусть г = х+ р при х я Р, уя Рх. Тогда )г — и)о =(х — и+у, х — и+ у)=(х — и, х — и)+(у, у), ибо векторы х — и и у ортогональны, Ясно, что минимум реализуется при и =х и равен (у,у)=)у~а Таким образом, расстояние от г до Р равно длине ортогональной проекции ввклидово и книг«снос пгостгхнствь 374 ~гл, хгм вектора г на Рх и реализуется на векторе х, являющемся ортогональной проекцией г на Р.
Обратимся теперь к системе линейных уравнений. Систему гп линейных уравнений с п неизвестными в векторно-операторной форме можно рассматривать как задачу определения вектора к из уравнения Фх = 1, где,Ф вЂ” оператор из и-мерного пространства 5 в лг-мерное пространство Т, а ) — данный вектор в Т. Для систем с комплексными коэффициентами (в частности, с вещественными) пространства 5 и Т можно рассматривать как унитарные пространства с данными ортонормальными базисами. Вектора х, удовлетворяющего уравнению Фх = 1, может не существовать. Для любого вектора х е5 вектор 1 — Фхен Т называется вектором невязки.
Обобп(енньсм решением или решением в смысле наименьших квадратов называется вектор хь, при котором вектор не- вязки имеет минимальную длину. Векторы х, отличающиеся иа слагаемые из ядра,Ф, дают одни н тот же вектор невязкн. Среди них имеется кратчайший. Он называется нор»чальным обоби(енньсм решением.
Покажем, что вектор,М+1 дает нормальное обобщенное решение уравнения Фх = 1. Действительно, .М.Ф+1 есть ортогональная проекция вектора 1 па Ть =.эФЯ. Поэтому па этом векторе невязка имеет минимальную длину. Далее, лФ+1 еп Яь = (кег,Ф).". Поэтому длина любого вектора ь«'+1+ у прн уеп *кегФ, квадрат которой равен (,Ф')('+)д(х, имеет минимум при у = О. б. Линейное отображение евклидова пространства в евклидово.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
