1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 78
Текст из файла (страница 78)
При продолжении взаимно сопряженных Операторов ,яГ и .Ф" с 5 на 5 они останутся сопряженными. Действительно, (.Ф (х + ~у), и + (о) = (л~х + гл!у, и + ~о) = = (яАх, и) + (,Фу, о) — (.Фх, о) ~ + (,Фу, и) ( = = (х, .Ф'и) + (у, Ф'о) — (х, Ф*о) ~'+ (у, Я'и) ~ = =((х+ уг), (ля'и+,зФ'сч)) =(х+ уй Ф'(и+ о()). 3. Нормальные операторы в евклидовом пространстве. Нормальный оператор,Ф в евклидовом пространстве 5 остается нормальным и при его продолжении на комплексификацию 8 пространства 5. Поэтому в Я существует ортонормальный базис из собственных векторов, диагонализующнй матрицу оператора А, Для вещественных собственных значений можно взять вещественные собственные векторы, т.
е. лежащие в 5. Действительно, координаты собственных векторов относительно базиса 5 определяются из линейных однородных уравнений с вещественными коэффициентами в случае вещественности собственного значения. Комплексные собственные значения появляются парами сопряженных с одинаковой кратностью. Выбрав ортонормальный базис из собственных векторов, принадлежащих некоторому собственному значению Л = а+ Ьг' при 'Ь ныл, базис из собственных векторов для собственного значения Л = а — Ь( можно взять из векторов, сопряженных с векторами базиса собственных значений для Л.
Такой базис будет ортонормальным. Теперь натянем на каждую пару и+ о~ н и — о( сопряженных векторов двумерное комплексное подпространство. Все эти подпространства инвариантны, ортогональны ' друг другу и вещественным собственным ввклидозо и унитАРнои пгостРАнствх !ГЛ. Х!П векторам, соответствующим вещественным собственным значениям. Комплексное пространство, натянутое на векторы и+ Ы и и — о(, очевидно, совпадает с комплексным подпространством, натянутым на вещественные векторы и и о, и, следовательно, является комплексификацией вещественного подпространства, натянутого на и и о.
Далее, из ортогональности собственных векторов и+ Ы и и — Ы, принадлежащих различным собственным значениям Х = = а + Ы и Х = а — Ь|', следует: О =(и+ о(, и — Ы)=(и, и) — (о, о)+1((о, и)+(и, о)) = =(и, и) — (о, о)+ 21(и, о), ибо в евклидовом пространстве 3 скалярное произведение симметрично. Из этого равенства следует, что (и, о) = О, т. е. векторы и н о ортогональпы, а также (и, и)=(о, о).
Вспомним теперь, что вектор и+ и нормированный, т. е., ввиду ортогональности и и о, (и, и)+(о, о) =1. Поэтому (и, и) = (о, о) =1/2, так что векторы и и о не нормированны, но становятся нормированными после умножения на ~/2. Итак, для нормального оператора, действующего в евклидовом пространстве Я, существует ортонормальный базис, составленный из собственных векторов, принадлежащих вещественным собственным значениям, и умноженных на ~/2 вещественных и мнимых частей собственных векторов, принадлеххащих комплексным собственным значениям. Одномерные подпространства, натянутые на вещественные собственные векторы, и двумерные, натянутые на компоненты комплексных собственных векторов, инвариантны, так что матрица оператора в построенном базисе квазидиагональна и составлена из диагональных блоков первого и второго порядка.
Блоки первого порядка — это вещественные собственные значения. Найдем блоки второго порядка. Пусть и+ о( — собственный вектор, принадлежащий собственному значению а+ Ьй Тогда лЯ(и+ о() =(а + Ы) (и+ о(), откуда Фи=пи — Ьо, Фо = Ьи + ао. Ровно те же соотношения сохранятся после умножения векторов и и о на х~2. Таким образом, блоки второго порядка имеют вид ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛНДОВОЯ ПРОСТРАНСТВЕ Заметим еще, что эти блоки появляются из подпространства, натянутого на сопряженные собственные векторы, принадлежащие сопряженным собственным значениям а ~ Ьй так что наряду с а Ы блоком ( ь ). записанным при помощи собственного значега — Ы ния а+Ь~, не нужно включать блок ~э ), соответствующий собственному значению а — Ьй 4. Самосопряженные операторы В евклидовом пространстве. Нормальный оператор в евклидовом пространстве самосопряжен в том и только в том случае, если все его собственные значения вещественны.
Действительно, самосопряженный оператор в евклидовом пространстве остается самосопряженным и в комплекснфикацин. Поэтому существует ортонормальный базис в самом евклидовом пространстве, в котором его матрица диагональна. В терминах матриц это значит, что для любой вещественной симметричной матрицы А существует ортогональная матрица С такая, что С-'АС= СТАС диагональна. Это обстоятельство было выяснено еще в гл. Ч в связи с ортогональным преобразованием квадратичной формы к каноническому виду. Тесная связь между теорией самосопряженных операторов в евклидовом пространстве с теорией квадратичных форм ясно видна из того, что скалярное про:юведение (Фх, х) выражается через координаты вектора х в ортонормальном базисе в виде квадратичной формы с матрицей, равной матрице оператора .Ф в том же базисе, и при ортогональном преобразовании координат матрица оператора и матрица квадратичной формы преобразуются одинаково: А-э С-'АС = СТАС ибо для ортогональной матрицы С вЂ” ' = Ст.
Для самосопряженных операторов в евклидовом пространстве имеют место те же свойства, которые отмечались для самосопряженных операторов в унитарном пространстве, и нх доказательства ничем не отличаются от доказательств в случае унитарного пространства. Поэтому ограничимся их перечислением. Самосопряженный оператор положительно определен в том ч только в том случае, когда его собственные значения положительны. Из самосопряженного положительно определенного оператора можно извлечь положительно определенный квадратный корень. Любой невырожденный оператор можно представить в виде произведения положительно определенного самосопряженного оператора на ортогональный, как в одном, так, и в другом порядке.
Оператор ортогонального проектирования есть самосопряжениый идемпотентный оператор и обратно, самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования. евклидово и гниткеное пгостехнствх [гл. хгм 6. Ортогональные операторы. Ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу в любом ортонормальном базисе. Так как ортогональный оператор нормален, существует ортонормальный базис, в котором матрица оператора блочно-диагональна и состоит из вещественных чисел Х; на диагонали и блоков вида (- .) а Ьх Из ортогональности такой матрицы следует, что )ч = -~-1, и в каждом блоке второго порядка аз+ Ьз = 1.
(Это можно увидеть также из того, что ортогональный оператор становится унитарным при продолжении на комплексификацию, и, следовательно, все его собственные значения равны 1 по модулю.) Можно положить а = сов ф, Ь = з!и ф. Оператор на плоскости с05$ маф ) с матрицей ( . 1 есть оператор вращения плоскости на ч — 5!и ф с05 ф ) угол — ф.
Ортогональный оператор называется собственно ортогональным, если определитель его матрицы равен 1; если же определитель равен — 1, то оператор называется несобственно ортогональньт Порядок базисных векторов можно выбрать так, чтобы по диагонали следовали сначала 1, потом — 1 и за ними блоки второго порядка. В случае, если оператор собственно ортогонален, число диагональных элементов, равных — 1, четко. Матрицу втоо' Рого поРЯдка 1ч о ) Удобно РассматРивать как блок втоРого сов п ип пч порядка( „.„, ), геометрически означающий поворот плоскости на и. Таким образом, действие собственно ортогонального оператора геометрически означает следующее.
Пространство разбивается в ортогональную сумму подпространств, одно из которых натянуто на собственные векторы, принадлежащие собственному значению 1, — это подпространство неподвижных векторов, и нескольких двумерных подпространств, каждое из которых вращается на некоторый угол (вообще говоря, разные плоскости на разные углы).
В случае несобственно ортогонального оператора имеется еще один базисный вектор, переходящий в противоположный под действием оператора. й 6. !1реобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду 1. Пространство точек. Пусть дано векторное г(ространство Я, Лространством точек для Я называется однородное пространство М для аддитивной группы пространства 5 с нулевыми стабилизаторами для всех точек М (заметим, что, в силу коммутатнвнпсти группы, стабилизаторы всех точек совпадают).
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА э г> ззт Подробнее, М есть множество объектов, называемых точками, для которых определено действие сдвига на вектор, переводящее точку в точку. Записывая эту операцию знаком +, мы придем к следующим свойствам этой операции: Е (т+ х)+ у = т+(х+ у), где т ЕЕМ, х, у ен5, 2. т + О = т, где Π— нулевой вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
