1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому подпространство Рм натянутое на векторы а1 и и„инвариантно как для ,Ф, так и для Ф". Его ортогональное дополнение Рг тоже инвариантно для Ф и Ф", которые на РФ останутся взаимно' сопряженнымн, В Р~~ находится нормированный собственный вектор им который ортогонален и~ и им он будет собственным вектором и для оператора .Ф'.
Продолжая этот процесс шаг за шагом, построим ортонормальную совокупность собственных векторов для Ф, которая в конце концов даст базис пространства. В этом базисе матрицы операторов .Ф и Ф' диагональны. Соответствующие диагональные элементы будут сопряжены как собственные значения Операторов,Ф и Ф', соответствующие одному и тому же собственному вектору. Теорема доказана. По ходу доказательства теоремы мы конструировали ортонормальный базис из собственных векторов. Но некоторые собственные векторы ортогональны автоматически.
П р е д л о ж е н и е 8, Собственные векторы нормального оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Действительно, пусть и и о — собственные векторы нормального оператора Ф, соответствующие собственным значениям Х и и, Х~ р. Тогда и и о будут собственными векторами и для сопряженного оператора Ф*, соответствующие собственным значениям Х и р. Подсчитаем двумя способами число („сФи, о). С одной стороны, (Фи, о) =(Аи, о)= А(и, о). С другой стороны, (Фи, о) = =(и, .яг'о)=(и, ро)= р(и, о). Сравнив, получим (Х вЂ” ц) (и, о)= = О, откуда (и, о) = О, что н требовалось доказать.
Доказанное предложение дает возможность указать другую конструкцию для построения ортонормального базиса из собственных, векторов. В силу диагонализуемости матрицы нормального оператора любой вектор пространства равен сумме собственных векторов, и, следовательно, пространство равно сумме подпространств собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. В силу предложения 8 эта сумма ортогональная. Поэтому для построения ортонормального базиса всего пространства достаточно объединить ортонормальные базисы всех надпространств собственных векторов.
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА <гл. хпг Нормальность оператора не только достаточна для диагонализируемости матрицы в некотором ортонормальном базисе, но и необходима. Действительно, если матрица оператора зР равна д)ад(Л<, Лг, ..., Л,), то в том же базисе матрица сопряженного базиса сопряжена с матрицей .Ф, т. е. равна д)ап(Л<, Лг, ..., Л,), а любые диагональные матрицы коммутируют. 4.
Самосопряженные операторы. П р едл о жение 9. Для того чтобы норл<альньсй оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы все его собственные значен<ся были веи(ественными. Действительно, матрица самосопряженного оператора в любом ортонормальном базисе совпадает с сопряженной, в частности, диагональная матрица, получающаяся в базисе нз собственных векторов. Но диагональная матрица совпадает с сопряженной, составленной из комплексно сопряженных чисел, в том и только в том случае, когда она вещественна. Элементы, находящиеся на диагонали, равны собственным значениям. Предложение о возможности унитарного преобразования матрицы самосопряженного оператора к вещественной форме в терминах матриц означает, что для любой эрмитовой матрицы А существует унитарная матрица С такая, что С-'АС= С'АС есть вещественная диагональная матрица.
Это равносильно тому, что эрмитова форма с матрицей А может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с унитарной матрицей. Это было сформулировано в конце гл. Ч. Если оператор зФ самосопряженный, то (зФх, х) вещественно при всех значениях вектора х. Действительно, (.Фх, х) =(х, зя*х) (х, Фх) (Мх, х). Если все значения (,Фх, х) при ненулевых векторах х положительны, то самосопряженный оператор Ф называется положительно определенным.
Если и<, ..., и„— ортонормальный базис из собственных векторов оператора Ф при собственных значениях Л<, ..., Л„и хь хг, ..., х„— координаты вектора х в этом базисе, тб (зФх, х)=(Ф(к<и<+ ... +х„и,), х,и, + ... +х„и«) = =(х<Л<и<+ ... +х„Л,ись х<и<+ ... +х,и,)= =Л,<х,<г ) +Л <х <г Из этого равенства следует, что для положительной определенности оператора необходимо и достаточно, чтобы все его собственные значения были положительны.
П р е д л о ж е н и е 10. Из положительно определенного само- сопряженного оператора можно «извлечь квадратный кореньь, явля<оп(ийся самосопряженным положительно определенным оператором. Это значит, что для положительно определенного самосо- ОНВРАтОРЫ В унитАРнОм НРОстРАнства $4] пряженного оператора Ф существует положительно определенный оператор Я такой, что ЯА =,Ф. Доказательство. Пусть Х], ]ь ..., ]„— собственные значения самосопряженного положительно определенного оператора ,Ф и иь иь ..., и„— ортонормальный базис из соответствующих собственных векторов. Все числа Х„"Ав, ..., Х, положительны, н из них можно извлечь положительные квадратные корни. Пусть Я вЂ” оператор, имеющий собственные векторы и,, им ..., и, и собственные значения ъ4~, .т/Ц, ..., 1/Л„, Этот оператор самосопряжен, ибо его матрица в ортонормальном базисе иь иь ..., и, диагональна н вещественна.
Он положительно определенный, ибо его собственные значения положительны. Квадрат его матрицы в базисе иь ин ..., и„равен матрице оператора .Ф в том же базисе. Следовательно, Я'=.Ф. Т е о р е м а 11. Любой невырожденньсй оператор равен произведению унитарного на положительно определенный. Доказательство. Пусть .Ф вЂ” невырожденный оператор.
Тогда оператор .Ф'.Ф самосопряжепный и положительно определенный. Действительно, (,Ф"Ф)* =,Ф' (,Ф')' = Ф'.чь. Далее, прн х Ф 0 имеем (Ф"гтгх, х)=(Фх, Фх) ) О, нбо Фхчьб при х~ О. Пусть Я в квадратный корень нз оператора ,Ф"Ф. Тогда лФ',Ф = ЯА. Умножив это равенство справа и слева на Я вЂ” ', получим Я-],Ф'.ФЯ-' = Е. Но Я-].Ф' =(.яьЯ-')'. Таким образом, оператор ФЯ-] и его сопряженный взаимно обратны, т. е. Оператор ть'= ФЯ-] унитарный. Следовательно, что и требовалось доказать. Это разложение носит название полярного разложения оператора.
Существует н другое полярное разложение, в котором положительно определенный множитель находится слева, а унитарный справа. Действительно, применив полярное разложение к сопряженному оператору мг', получим Фь = чь'Я, и переход к сопряженным дает Ф Я'И' = Я-"ы' — '. Оператор Ы ' унитарен вместе с ТТ,. 5. Оператор ортогонального проектирования. Пусть О = Р Я] Ю (], где 4,] = РА.
В этом случае проектирование называется ортогональным, н соответствующий оператор называется оператором ортогонального проектирования. Оператор ортогонального проектирования самосопряжен, ибо он имеет вещественную диагональ- ЕВКЛНДОВО Н РПНТАРНОЯ ПРОСТРАНСТВА Зат югл. хпю ную матрицу в ортонормальном базисе, получающемся посредством объединения ортонормальных базисов Р и Я. Предложен ие 12.
Любой самосопряженньюй идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектировании. Действительно, любой идемпотентный оператор .ию, как мы видели на стр. 331, является оператором проектирования 5 на Р=,Ф5 параллельно Ю,Ю =(Ю вЂ” гчю)5. Нужно доказать только, что Р и Я ортогональны. Пусть х =,Фи ен Р и у = о —,Фо ен Я. Тогда (х, у) =(лйи, о —,июо).
В силу самосопряженности лй имеем (,Фи, о —.Фо)=(и, .Фо —.яйюо)=(и, 0)= О, что и требовалось доказать. 6. Унитарные операторы. Предложение 13. Для того чтобы нормальный оператор был унитарен, необходимо и достаточно, чтобы его собственные значения были равны 1 по модулю. Действительно, диагональная матрица нормального оператора в ортонормальном базисе из собственных векторов унитарна в том и только в том случае, если все ее диагональные элементы, т. е. собственные значения, равны 1 по модулю. Предложение о возможности унитарного преобразования подобия матрицы унитарного оператора к диагональной форме мы получили ранее более формальными средствами при помощи теоремы Шура. й б. Операторы в евклидовом пространстве 1.
Комплексификация евклидова пространства. Пусть 5 — евклидова пространство и Я вЂ” его комплексифнкация. Введем скалярное произведение в 5 по формуле: (х+ ую, и+ой)=(х, и)+(у, о)+ ю((у, и) — (х, о)). Нужно проверить корректность этого определения. Лддитивность по первому аргументу при фиксированном втором очевидна.
Для проверки линейности по первому аргументу достаточно убедиться в возможности вынесения комплексного множителя нз первого аргумента. Соответствующее вычисление не представляет труда, но довольно громоздко. Именно: ((а+ Ы) (х+ую), и+ Ы)=(ах — Ьу+(Ьх+ ау) ю, и+ ею)= =(ах — Ьу, и)+(Ьх+ ау, о)+ ю((Ьх+ ау, и) — (ах — Ьу, о)) = =а(х, и) — Ь(у, и)+ Ь(х, о)+а(у, о)+Ь(х, и) ю+ +а(у, и) ю' — а(х, о) ю+ Ь(у, о) ю'= . (а + Ью) ((х, и) + (у, о) + ю' ((у, и) — (х, о))) = = (а + Ы) (х + ую', и + ою). Симметрия с инволюцией очевидна — при перестановке местами х+ ую и и+ ою вещественная часть скалярного произведения не меняется, а мнимая меняет знак на обратный. ОпеРАтОРН В евклидовом пэостяхнстве Наконец, (х + ую', х+ ус) = (х, х) + (у, у)+ (((у, х) — (х, у) ) = =(х, х)+(у, у) ) О, если х+ую чьО. Таким образом, комплексификация 5 евклидова пространства 5 становится унитарным пространством.
Заметим еще, что скалярное произведение пары векторов х+у(, и+ о~ и скалярное произведение пары комплексно сопряженных с ними векторов х — уй и — о( комплексно сопряженные. Это непосредственно следует нз определения скалярного произведения в 5. 2. Операторы в евклидовом пространстве и их продолжение на комплексификацию. В евклидовом пространстве для оператора яА Определяется сопряженный оператор Ф' той же формулой (Фх, у) = (х, .чА'у) при любых х и у, что и в унитарном пространстве. Доказательство существования и единственности сопряженного оператора ничем не отличается от аналогичных доказательств для унитарного пространства. Матрица оператора лР в ортоиормальном базисе просто транспоннрована с матрицей оператора,Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
