1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Пусть хь ..., х,— координаты вектора х в ортонормальном базисе. Любая линейная функция от х представляется в виде у1х1 + ... + у х, прн некоторых уь ..., у„ т. е. в виде (х, у), где у — вектор с координатами уь ..., у„. Та. ким образом, между векторами из 5 и ковекторамн нз 5' имеется естественное взаимно однозначное соответствие у ~ (у. Далее, из линейности скалярного произведения по второму аргументу (х, с1у1 + сзуА) = с~ (х„у,) + сз (х, уз) следует, что линейной комбинации векторов соответствует такая же линейная комбинация ковекторов. Таким образом, соответствие у (у задает изоморфизм пространства 5 и сопряженного с ним пространства 8'.
2. Пространство, сопряженное с унитарным пространством. Так же, как в евкличдовом пространстве, устанавднвается взаимно Однозначное соответствие между векторами и ковекторамн по пра ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПЬОСТРАНСТВЯ нилу у~ 1у, где 1„— линейная функция со значениями 1„(х)= =(х, у). Линейность функции 1» следует нз линейности скалярного произведения относительно первого аргумента. Однако линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ковекторов с сопряженными коэффициентами, в силу свойства (х, сэуэ+ с»уз) = сэ(х, у,)+ сз(х, уз).
Таким образом, между унитарным пространством и его сопряженным имеется инволюционный изоморфизм, с заменой коэффициентов на сопряженные при линейном комбинировании. ф 4. Операторы в унитарном пространстве 1. Инвариантный флаг для оператора в комплексном пространстве. Пусть Я вЂ” векторное пространство над полем С, и вв — линейный оператор в 5. Предложение 1. Для оператора .Ф, действующего в комплексном пространстве Я, существует флаг, составленный из инвариантных надпространств.
Для доказательства достаточно установить, что для каждого Упмерного инвариантного подпространства Р, найдется объемлющее его (й+ 1)-мерное инвариантное подпространство Р»+,. Пусть 8 = 31Р» и Ф вЂ” оператор, индуцированный оператором,Ф на Я. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора,Ф н йене — соответствуюзций собственный вектор. Пусть и — произвольный вектор из класса й. Тогда Фи = — Ли (Р»), т.
е.,Фи = Ли + х при х ~ Р,. Вектор и не принадлежит Р», нбо йчьО. Пусть Р»+з — надпространство, натянутое на базис Р».и на вектор и. Оно (й+ 1)-мерно, ибо и ~з Р,, Оно инвариантно. Действительно, х ~ Р»л.э значит, что х = си + у при у ~ Р». Тогда Фх = с. Ри + Фу = сЛи + се + Фуеп ~ Р»+ь ибо и, е и Фу принадлежат Р»+ь Тем самым предложение 1 доказано.
В любом базисе флага, составленного из инвариантных надпространств„ оператор имеет верхнюю треугольную матрицу. Действительно, пусть иь иь ..., и — базис флага, состоящего из инвариантных подпространств Р,, Р... Р„. Тогда Фи| е= Р„ т, е.,Фиэ =Лэиь Далее, Фазы Р„т. е. Физ — — агзи, + Лзиь .Физ = = амиэ+ аззиз+Лзиз и т. д. Матрица из координатных столбцов вектоРов Фиь ввиз, ..., Фи, есть Л1 а~э аээ эээл О Хэ аээ ... аэл А = О О Лэ ... аэл о о о ...л„ Диагональные элементы матрицы А суть собственные значения оператора л~, ибо характеристический полинам матрицы А равен (1 — Лз) (1 — Лз) ... (1 — Л„). ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА [гл.
хи~ Пусть теперь 5 — унитарное пространство. В силу теоремы об ортогонализации для любого флага существует ортонормальный . базис. Следовательно, верна следующая теорема Шура: Теорема 2. Для любого оператора в унитарном пространстве существует ортонормальный базис, в котором оператор имеет верхнюю треугольную матрицу. Любую квадратную комплексную матрицу можно принять за матрицу линейного оператора по отношению к некоторому ортонормальному базису, Переход от исходного ортоеормгльпого базиса к ортонормальному базису инварпаптьото флага влечет пр .- образование координат с унитарной матрицей. Поэгому теорема Шура имеет следующий эквивалент на языке матриц; Для любой квадратной комплексной матрш1ы А существует такая унитарная матрица С, что С-'АС есть всрхнхл треугольная матрица.
Рассмотрим один интересный частный случай. Пусть матрица сама унитарна. Тогда верхняя треугольная матрица С вЂ” 'АС тоже унитарна и, следовательно, ее строки и столбцы нормированны, т. е. суммы квадратов модулей элементов всех ее строк н столбцов равны 1. Но легко видеть, что верхняя треугольная матрица Л! ам ам ° ° ° а1л О Ль ам ° ° - агл о о о ...
л с нормированными строками и столбцами диагональна и ее диагональные элементы по модулю равны 1. Действительно, рассматривая сумму квадратов модулей элементов первого столбца, получим 1Л,(а=1. Для первой строки теперь получим (Л~(г+ +(а1г1'+ ... +(а~л(а=1, откуда )ам1г+ ... +)а~„(У=О и ам — — ... — — аж= О. Теперь обратимся ко второму столбцу и затем второй строке. Получим 1лг~ = 1 и ам — — ... — — агл — — О и т, д. Таким образом, для унитарных матриц верна следующая теорема: Теорем а 3. Для любой унитарной матрицы А найдется такая унитарная матрица С, что С-'АС диагональна Все собственные значения унитарной матрицы равны по модулю 1. Эту теорему мы получим далее в качестве частного случая более общей теоремы.
2. Сопряженный оператор. Сопряженным оператором для данного оператора м~, действующего в унитарном пространстве 8, называется такой оператор,Ф', что при любых векторах х и у имеет место равенство (мх, у) =(х, зР'у). Докажем существование сопряженного оператора. С этой целью перейдем к координатной записи. Пусть (хь хм ..., х„)т— столбец из координат вектора х в некотором ортонормальном базисе, (уь ум ., у,)т — координаты вектора у и А = (аи) — матрица оператора Ф.
опеелтогы в знитхгном пгостгхнстве Тогда (ах, у) = =(анх, +а!2х2+ ... +а,„х„)у, + +(а21х, +аз,х2+ ... + от„х„)У2+ + (а»1х! + а»2х2 + ... + а»»х») д» = = х, (апу! + а!!у!+ ... + а»1у») + + Х2 (а12У1 + а22У2+ ... + а»2У») + + х„(а,„д, +а„,д,+ ... +а„„д„), Вторые сомножители в этой сумме комплексно сопряжены с числами 22!1У! + 1121У2 + ' ' ' + О»1У» а12У1 + а2ад2+ ... + а»2у„, а1„у!+ а2»у» + ... + а„„у„, которые являются координатами вектора Ы*у, где оператор Ф» имеет матрицу < а„аи ... а»! 1212 1222 11»2 которая транспонирована и комплексно сопряжена (т.
е. просто сопряжена, как мы условились на стр. 140) с матрицей оператора .Ф. Итак, нам удалось построить оператор,Ф* такой, что (зУх, у) =(х, .Ф'у). Теперь нужно показать единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора ортонормального базиса в пространстве 5. Пусть (.Фх, у) = (х, .Ф'у) н (Фх, у) = =.(х, Яу). Тогда при любых х и у будет (х, Ф»у) =(х, Яу), т. е. (х,,Ф»у — Яу) = О. Так как это выполнено при всех х, заключаем, что,Ф2у — Яу = О при всех у, а это и значит, что Ф'= Я.
Итак, для любого оператора Ф существует единственный сопряженный оператор, и его матрица в любом ортонормальном базисе сопряжена с матрицей оператора Ф. Отметим некоторые очевидные свойства действия сопряжения операторов. 1. (.М*) ' = .Ф. 2. (лг + Я)" = .яР'+ Я'. 3. ( .яг) ° = с Р. 4 ( »кЯ) 2 Я» ф* 858 ввклидово н энитленов пвосгглнствк сгл, хгм Свойство 1 очевидно из рассмотрения матриц для Ф и Ф'.
Это же легко проверяется и бескоординатно: (.Ф'х, у) = (у, ис"х) = (эсту, х) = (х, .Фу). Свойства 2 и 3 непосредственно получаются из определения сопряженного оператора. Свойство 4 проверяется, например, так: (гасЯх, у) =(Ях, Ф"у) =(х, Я",Ф'у). Для дальнейшего важно еще одно, менее очевидное свойство сопряженного оператора. П р ед ложен не 4.
Ортогональное дополнение Рх к инвариантному для оператора гг"' надпространству Р инвариантно для оператора .Ф . Доказательство. Пусть у ен Рх. Это значит, что у ортогонален всем векторам из Р, в частности, всем векторам,Фх при хан Р. Это значит, что (Фх, у)=0 и (х, лС*у) = О. Это равенство верно для всех х ен Р, следовательссо,,Ф"у ~ Рс-. 3. Нормальные операторы.
Оператор, действующий в унитарном пространстве, называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным. К классу нормальных операторов относятся самосопряженные операторы, совпадающие со своими сопряженными, и унитарные операторы, для каждого из которых сопряженный равен обратному. В ортонормальном базисе самосопряженный оператор имеет эрмитову матрицу, а унитарный — унитарную. Предложение 5. Если,Ф вЂ” нормальный оператор, 8'— единичный и а — любое комплексное число, то оператор Я = = М вЂ” а4в тоже нормальньссс. Доказательство.
Проверим равенство ЯЯ* = Я'Я. Имеем ЯЯ' =(Ф вЂ” а8) (м'* — ай) = вью" — аФ' — аиг+ аао; Я*Я = (.Ф* — а Ю) (.~Ф вЂ” ась ) =,Ф*Ф вЂ” аФ вЂ” аФ' + а ад'. Поэтому ЯЯ' = Я'Я, ибо,ФА'* = гч'*,Ф. Предложение 6. Собственный вектор нормального оператора есть собственный вектор и сопряженного оператора, соответствующий сопряженному собственному значению. Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть и — собственный вектор нормального оператора Ф, принадлежащий собственному значению Тогда м8и = Хи, что можно записать каь Яи = О, где Я =,Ф вЂ” Х~. Из равенства Яи = 0 следует, что (Яи, Яи) = О. Но (Яи, Яи) = =(и, Я*Яи) =(и, ЯЯ'и) = (Я*и, Я*и).
Следовательно, Я*и = О, откуда (,Ф' — 'лсв )и = 0 и,Ф*и = Хи, что и требовалось доказать. Теорем а 7. Для нормального оператора существует ортонормальный базис, в котором матрицы оператора и его сопряженного диагональны и их соответствующие диагональные элементы сопряженьь Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ис — нормированный собственный вектор для нормального оператора .Ф и Р, — одномерное подпро- ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ странство, натянутое на вектор иь Так как и~ является собственным вектором и для,Ф", подпрострапство Р, инвариантно и для Ф'.
Следовательно, ортогональное дополнение Рг к Р~ инвари. антно как для Ф, так и для .Ф'. Ограничения операторов Ф Н,Ф на РА останутся взаимно сопряженными, ибо раз равенство (.Фх, у) =(х, л~"у) верно для всех векторов х, у пространства, оно будет верно и для векторов из Р~1. Для оператора .М па Р~ найдется нормированный собственный вектор иь Он ортогонален вектору иь Вектор из будет собственным и для,Ф".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
