1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Так же можно рассуждать для всех остальных, так что часть канонической матрицы, соответствующей комплексно-сопряженным парам собственных значений, есть квазидиагональная матрица, составленная из блочно-жордановых матриц указанного вида. Вещественным же собственным значениям соответствуют обычные жордановы блоки. а Ь 0 0 — ь а о о 1 0 а Ь О 1 — Ь а оо [о о о о о о1 о о о о о о оо. о о ГЛАВА ХП1 ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА % 1. Определения и простейшие свойства 1.
Скалярное произведение. В обычной геометрии па плоскости и в пространстве существеннейшую роль играют метрические понятия, связанные с измерением. К ним относятся длина отрезка и угол между прямыми. В векторной терминологии это длина вектора и угол между векторами. Длина вектора не является линейной функцией от вектора и угол между векторами не является линейной функцией от одного нз векторов прн фиксированном втором.
Несмотря на это, из длин двух векторов и угла между ними при помощи действий, далеких от линейности, можно построить так называемое скалярное произведение векторов, являющееся билинейной функцией от векторов, т. е. линейной по каждому из векторов при фиксированном втором. Именно, скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин и косинуса угла между ними, Бнлннейность по 1ти очевидна на основании определения. Действительно, скалярное произведение векторов х и у равно длине вектора х, умноженной па величину ортогональной проекции вектора у на направление вектора х, а проекция линейной комбинации векторов на любое направление равна такой же линейной комбинации проекций. Таким образом, скалярное произведение оказывается линейной функцией от у при фиксированном х и, в силу симметрии, линейной функцией от х при фиксированном у.
Тем самым скалярное произведение векторов с точки зрения алгебры проще длины вектора и угла между векторами. В свою очередь, эти величины просто выражаются через скалярное произведение. Именно, квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя. Косинус угла между векторами равен частному от деления скалярного произведения на произведение длин. Все сказанное дает основания при введении метрических понятий в теорию многомерных вещественных пространств отталкиваться от понятия скалярного произведения.
Дадим определения. Скалярным произведением (х, у) векторов вещественного векторного пространства называется функция от векторов х, у с вещественными значениями, удовлетворяющая требованиям: 1) линейности по первому аргументу (с~х+ сну, х) = с1(х, х)+ с~(у, 2); евклидово и ~нитлгноа пгостглнствь 346 ~гл. хпю 2) симметрии (х, у) =(у, х); 3) положительной определенности (х, х))О при хчьО. Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу: (х, с у + сэг) = с1 (х, у) + сз (х, «).
Далее. длиной ~х) вектора х называется х/(х, х). В следующем пункте будет доказано неравенство (х, у)з:=: )х)ь )у)", которое делает осмысленным определение угла ф, образованного векторами х и у, посредством формулы соз ф= (к, е) ~х~ ~у Вещественное конечномерное пространство со скалярным пронзведенкем называется евхлидовым пространством. Бесконечно- мерное пространство со скалярным произведением называется вредгильбертовым. (Оно называется гильбертовым, если обладает свойством полноты как метрическое пространство, т.
е. если любая последовательность вложенных замкнутых сфер с безгранично убывающими радиусами имеет общую точку. В функциональном анализе устанавливается, что предгильбертово пространство всегда может быть пополнено до гильбертова.) В комплексном пространстве тоже вводится скалярное произведение как функция (х,у) от двух векторов х и у с комплексными значениями и удовлетворяющая следующим требованиям: !) линейности по первому аргументу (с1х + сеу, г) = с|(х, г) + сь(у, г); 2) симметрии с переходом к сопряженному (у, х) =(х, у); 3) положительной определенности (х, х) = О при х~О.
Заметим, что из псрвых двух требований следует инволюционная (т. е. с переходом к сопряженным в коэффициентах) линейность по второму аргументу: (х, с~у+ сзг)= с1(х, у)+ се(х, г) ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА зп 347 (распространенные в последние годы прилагательные «полулиней. ная» в смысле «линейная с инволюцией» и тем более «полуторалинейная» в смысле «билинейная с инволюционной линейностью по второму аргументу» мне представляются малоудачными). Из условия симметрии уже следует, что (х, х) есть вещественное число, ибо (х, х)=(х, х), условие положительной определенности добавляет к вещественности числа (х, х) еще и положительность.
Так же, как в вещественном случае, (х, х) принимается за квадрат длины вектора х, Понятие угла между векторами в комп. лексном пространстве не вводится. Конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим поставленным требованиям, называется унитарныл пространством.
Весконечномерные пространства имеют название комплексных предгильбертовых и, н случае полноты, — комплексных гильбертовых пространств. 2. Неравенство Коши. Известное под этим названием (в более конкреыюй обстановке) неравенство ((х, у) ~з =(х, х)(у, д) доказывается для вещественных и для комплексных пространств одним и тем же приемом.
Проведем доказательство для комплексного пространства. Если х=б, неравенство тривиально. Пусть х~б. Введем в рассмотрение вектор а=у — — ' х. Тогда (у, х) (х, х) (г, х)=(у, х) — — ' (х, х)=0 и, следовательно, (г, г)= (у, х) (х, х) = (х, у) — †,„' х) (х, х) = (х, у) = (у. у) — ' (х ' „, ' (у, х) (у, х) (х, у) Но (г, е) = О и (х, х) ) О.
Следова- (х, х) тельно, (х, х) (у, у) — ((х, у) /х ) О. Неравенство доказано. 3. Примеры. Простейшими примерами евклидова и унитарного пространства являются арифметические пространства, т. е. Пространства столбцов х = (хь хм ..., х,)т с вещественными элементами в евклидовом случае и с комплексными в унитарном, при скалярном произведении (х, д)=х(у1+ хздх+ ... + х у„и, соответственно, х|д1+ х,уз+ ... + х.у . Неравенство Коши для арифметического унитарного пространства имеет вид ! х,у, +ху«+ ... +х„у„1'К ~~(((х,Г-+(х.,(»+ ... +(х ~')()у (~+(у (»+ +(д (т) Оно было установлено еще в гл,!Ч в качестве примера на применение теоремы Вине — Коши.
ЕВКЛИЛОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА '348 ~гл. хнт Примером предгильбертова пространства может служить пространство бесконечных последовательностей комплексных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых компонент. Скалярное произведение х =(хь хь ...) и д =(дь дь ...) определяется как (х, д) = х1д, + х~дз+ ... Эта сумма имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых.
Для того чтобы пополнить это пространство до гильбертова, нужно присоединить бесконечные -последовательности х = (хь хм ...) со сходящимися рядами из квадратов модулей, Если х и д — две такие последовательности, то применив неравенство Коши к отрезкам ряда х,д|+ хздт+ ..., легко получим, что этот ряд абсолютно сходится. Его сумму и нужно принять за скалярное произведение, Так построенное пространство обозначается 1ь Еще один важный пример предгильбертова пространства дают комплекснозначные непрерывные на данном промежутке (а, Ь), ь функции со скалярным произведением (), д) =- ~ )(г)д(1) й. Применение нсравенства Коши в этой ситуации дает интегральное неравенство А Ь А ~ 1(е) д (1) гй ~ ($ ~ 1'(г) Р й ~ ~ д (~) г Ф. Для пополнения этого пространства до гильбертова нужно присоединить функции с суммируемым (т.
е. интегрируемым в смысле Леоега) квадратом модуля. 4, Евклидово и унитарное пространства в общем случае. Пусть 5 — евклидово пространство и еь е,, ..., е„ вЂ” некоторый его базис, Пусть х= х~е1+хзе2+ ... +х е и д =д~е~+дзез+ ... ... +д,е,. Тогда, в силу билинейности скалярного произведения, (х, д)= ~~~ Рпх;ди где до =(е„е;). В силу симметрии скалярного ь / произведения ди=д;„так что матрица (ди) (называемая матриПей Грама для базиса еь ..., е„) симметрична. Далее, (х, х) = = ~ Рих,х~ и, в силУ тРебованиЯ (х, х) ) О пРи х Ф О, (Ро)— А! положительно определенная матрица (т.
е. является матрицей Положительно определенной квадратичной формы). В матричной форме скалярное произведение записывается в виде Х'6У, где Х и У вЂ” столбцы из координат векторов х и д и 6 = (до). При преобразовании координат с матрицей С скалярное произведение в новых координатах Х', У' запишется в виде Х'ТСт6СУ', так что матрица Грама преобразуется по формуле преобразования квадра тичной формы: С'= С"6С. В главе Ч (см. стр. 153 и 163) было установлено, что поло>кительно определенная квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов новых переменных, т. е.
опгеделення и пгостеншие сволстВА эп 349 к квадратичной форме с единичной матрицей коэффициентов. Сле. довательно, в евклидовом пространстве существует такой базис, в котором матрица Грама есть единичная матрица. Это значит, что (е„е;) =1 и (еь ег) = О при 1Ф/. Такой базис называется ортонормальным. Пусть теперь 5 — унитарное пространство и еь ..., е,— его базис. Тогда (х, у)=~амх,у,=Хт6У, где Х и У вЂ” столбцы из координат х и у, 6 =(ан), где дч = (е„е,), хь ..., х„и уь ..., у.— координаты векторов х и у в выбранном базисе. В этой ситуации матрица Грама 6 = (дн) эрмитово симметрична, ибо (еь е,) =(еь е;).
Скалярное произведение имеет внд (х, х) = = ~, аих,хр т. е. представляется в виде эрмитовой формы от хь ..., х„с матрицей 6. Эта форма является положительно определенной. Прн преобразовании координат с матрицей С матрица Грэма преобразуется в С'66 = С~*66ь где 61 = с, т. е, изменяется но формуле преобразования матрицы зрмитовой формы. Положительно определенная эрмитова форма может быть преобразована к сумме квадратов модулей новых псременных т е. к эрмитовой форме с единичной матрицей. Следовательно и в этом случае существует ортонормальный базис со свойствами (еь с,) = — 1 и (е„е,) =О при (ть1. В п.
6 это обстоятельство будет установлено без ссылки на алгебраическую теорию квадратичных и эрмитовых форм, но при помощи соображений довольно прозрачных при пользовании геометрической терминологией По существу же эти соображения почти равносильны преобразованию положительно определенных форм к каноническому виду. 5. Ортогонализация совокупности векторов. Векторы и г о унитарного (или евклидова) пространства называются ортогональнылт, если (и о) = О. Из (и, о) = О следует, что (о, и) = О, так как (о, и)=(и, о). Из ортогональности и и о следует ортогональность с,и и его при любых с~ и см Нулевой вектор ортогонален любому другому.
Верно и обратное утверждение: П р е д л о ж е н и е 1. Если вектор о ортогоналел всеа векторам унитарного (евклидова) пространства, то он равен нулю. Действительно, если вектор ортогоналеп всем ве1торам пространства, то он ортогонален самому себе, т. е (я, ° ) = О и ь = О. П р е д л о ж е н и е 2. Попарно ортогональныь ненулевые векторы линейно независимы. Действительно, пусть оь ом ..., оь — попарно ортогональные ненулевые векторы, так что (о„о,)=О прн 1Ф/ и (оь о,)) О, Пусть с,о, + ... + с;о;+ ... + сьоь = О. Тогда (с1о1 +...
+ с,о,+ + ... + с,ом о,) = О, откуда с;(оь о,) = О н, наконец, с; = О, Теорема 3 (об ортогонализацнн), Пусть оь о, оь— линейно независимая совокупность векторов в унитарном (или евклидовом) ппостранстве, Исходя из нее, можно построить от- евклидова и гннтдгнов пгостеднствд ~гп. Х1М 350 личные от нул» попарно ортогональные векторы О'„О„..., О„' гак, что О,=О,+Сион Оз = Оз+ смо1+ сззоз Од 1=од 1+Сд 1 1О1+Сд 1 доз+ ... +Сд 1 д зод О = о„ + с,о, + сд о + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
