1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Тогда Р~+ ... + Р» = 5, ибо любой вектор из Я аннулируется полиномом д(1) и, в силу предложения 7, представляется в виде суммь1 векторов из Рь ..., Р». Сумма Р1 + ... + Р» прямая, ибо если вектор а принадлежит Р, и сумме Р1 + ... + Р; ~+ Рьы+ ... + Р» остальных слагаемых подпространств, то г аннулируется парой взаимно простых полиномов йч(() и у~(() .йч-~(Г)кгы(г) ...
д»(г) н, следовательно, равен О. Минимальный полином оператора,Ф на Р; есть д;(Г) или его делитель, но собственным делителем не может быть, ибо д= — у1 ... д» есть наименьшее общее кратное мипимальных полииомов оператора Ф на Р,. Однозначность разложения следует из того, что Р, есть множество всех вектоРов, аннУлнРУемых полиномом дь Предложение доказано полностью. Из предложения 8 сразу вытекает справедливость следующей теоремы; Теорема 9. Пространство, в котором действует оператор, разлагается в прямую сумму примарных надпространств.
Достаточно применить предложение 8 к каноническому разложению д=Ч~ ... ~р"» минимального полинома д на неприводи» мые множители. Подпространство, состоящее из всех векторов, аннулируемых полнномом Ч~ н назовем полным примарным подпространством, соответствующим примарному делителю ~р"~ полинома а.
8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. Теорема 10, Примарное пространство может быть представлено в виде прямой суммы циклических примарных подпространств. До к аз а тел ьств о, Применим метод математической индукции по размерности пространства. За базу для индукции можно припять примарные циклические пространства. Сделаем индуктивное предположение о том, что для примарных пространств, раа- зм ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВВ Зкй мерность которых меньше размерности рассматриваемого пространства 5, теорема верна.
Пусть минимальный полипом равен ~р . Тогда все элементы пространства аннулируются делителями этого полннома, т. е. степенями у с показателями, не превосходящими т. При этом найдется элемент, аннулируемый полиномом ~р" и не аннулируемый полиномом 1р -', иначе все векторы аннулировались бы полиномом 1р -', что противоречит минимальности полинома у". Пусть и, — такой Вектор и Р, — циклическое подпространство, порожден. ное вектором иь Если Р1 — — 5, то теорема для пространства 5 доказана.
Пусть Р, ~ 5. Рассмотрим факторпространство БУР1. Его векторы, очевидно, аннулируются полиномом ~р, так что 5/Р1 прнмарно и имеет размерность, меньшую чем 5. Поэтому к 5/Р1 можно применить индуктивное предположение. Пусть $)Р~ — РВ Ю ... Ю РЕ (черточки сверху букв обозначают, как обычно, что рассматриваются объекты, составляющие факторпространство), йь ..., йе— векторы из 5(Р1, порождаюшие Рь ..., Р,, и ~ ь ..., ~р А— анпуляторы векторов йь ..., йь Ясно, что пи ( гп при всех й Покажем, что в классах йь ..., йА можно найти элементы ин ..., им минимальными аннуляторами которых будут те же 1р н ..„Ч1 А. Действительно, пусть и', — какой-либо вектор из й,. Тогда ~" и',еи Р, так что Ч1"'и',=Р(,Ф) и„где Р— некоторый полипом. Но Ч1 аннулирует все векторы в 5, так что 1р и',=Ч~"- ~р и',= =1р — *(.Ф)Р(Ф)и, О. Следовательно, полипом ~р"' "Р делится иа 1р, и поэтому Р делится на ~р -.
Пусть Р=~р 'Р„так что ~р" (Ф)и,',=~р ° (,Ф)Р1(.4)ин откуда Ч1 (Ф)и,=О при 11,=и',— — Р, (л~) иг Ясно, что и, = и,'„так что из ~ йь Заметим, что полиномы аннулируют векторы ит и й1В одновременно, так как их минимальные аннуляторы совпадают. Аналогичным образом выбираются из,, иь Пусть Р,„..., Р,— циклические подпространства, порожденные векторами и,, иА.
Так как Р(.Ф)и, ~ 'ее Р (,Ф) йе и если Р1 (~) из —— Ре (Ф) иг, то Р1 (Ф) йз — — Рз (лР) й, и Обратно (здесь Р, Рь Ре — любые полнномы), векторы пространства Р, входят по одному во все классы, составляющие Рь н нулевой класс представляет нулевой вектор. Аналогичным образом обстоит дело с пространствами Р,...,, Р,, Сумма пространств Р, + Р2+ ... + Р, равна пространству 5, ибо любой вектор нз 5 сравним по Р, с вектором нз Р2+ ... + Р,.
Сумма эта прямая, ибо если е~ + ге+ ... + ЕА = О при г, ен Рь то г, + ... + г, = О, откуда г,, ..., гА равны нулю, ибо 5/Р1 Есть прямая сумма Рь ..., Рь Но тогда г, = ... = ЕА = О и, наКонец, г1 = О. Теорема доказана. 9. Модули иад кольцом главных идеалов. Читатель, вероятно, 'обратил внимание на сходство формулировок теорем 9 и 10 и их ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 32б ~ГЛ ХИ доказательств с теоремами теории конечных абелевых групп— теоремой о разложении конечной абелевой группы в прямую сумму примарных и теоремой о разложении примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп, Обе эти теории можно рассматривать как частные случаи более обшей теории конечно порожденных Л-периодическнх модулей над кольцом главных идеалов Л.
Дадим некоторые относящиеся сюда определения. Пусть Л— ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Модулем М над кольцом Л называется абелева группа, для элементов которой определено умножение на элементы Л, удовлетворяющее естественным требованиям: (а, + ае) х = а х + а,х, а(х, +х,) =ах, + ах„ а1 (а,х) = (а~аз) х, 1 х=х. Здесь а, аь аз е= Л н хь хн х еп М. Модуль называется конечно порожденным, если существует конечное множество хь ..., хА енМ такое, что все элементы из М представляются в виде а~х,+ ... +иьхА при аь ..., аАенЛ.
Модуль называется Л-периодическим, если для каждого хен М существует такое и ~Л, что ах = О. Каждый элемент а, обладающий этим свойством, называется аннулятором элемента х. Множество аннуляторов образует идеал кольца Л и, если Л есть кольцо главных идеалов, идеал аннуляторов оказывается главным и порождающий его элемент играет роль минимального аннулятора — всякий другой аннулятор на него делится. Далее, существует аннулятор всего модуля, например произведение аннуляторов элементов хь ..., х», порождающих М. Аннуляторы всего М снова образуют главный идеал, так что найдется минимальный в смысле делимости.аннулятор, играющий роль минимального полинома. Модуль называется примарным, если он аннулируется степенью простого элемента кольца Л.
Ввиду того, что в кольце главных идеалов существует линейное представление наибольшего общего делителя, доказываются аналоги предложений б, 7, 8 и теорема 9. Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом. Аналог теоремы 1О о разложении примарного модуля в прямую сумму прнмарных циклических доказывается так же, как сама теорема 10, может только представить некоторое затруднение выбор объектов, по которым проводится индукция. Конечные абелевы группы представляют собой конечно порожденные периодические модули для кольца х, целых чисел. Пространство с оператором,РР можно рассматривать, как конечно порожденный периодический модуль над кольцом полиномов А'(1], ф Б1 «ИНЕРТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ззт с «умножением» вектора на Р(Г) по правилу (Р(1))х = Р(,М)х.
Как кольцо л,, так и кольцо К[1[ являются кольцами главных идеалов. 1О. Некоторые следствия. П редл аж ение 11. Характеристический полинам оператора на примарном пространстве равен степени соответствующего не- приводимого полинома с показателем, равным сумме'показателей в минимальных полиномах для циклических слагаемых.
Действительно, характеристический полинам на прямой сумме инвариантных подпространств равен произведению характеристических полиномов на этих подпространствах. Примарное пространство разлагается в прямую сумму циклических подпростраиств, и иа каждом циклическом подпространстве характеристический полинам равен минимальному, Минимальный полинам оператора на каждом примарном циклическом слагаемом есть степень неприводимого полинома, именно того, степенью которого является минимальный полинам прнмарного пространства. Предложение 12.
Пусть 5 — пространство с оператором,Ф и Ф нр г ... Ч~ А — каноническое разложение характеристического 1 г А «олинома Ф. Тогда примарные сомножители ~р, н у"и ..., ~р ь равны характеристическим полиномам оператора,Ф на по~гных «римарных прямых слагаемых. Действительно, характеристический полинам оператора 5 на всем пространстве равен произведени|о характеристических полииомов на полных примарных прямых слагаемых. Зги полнномы равны степеням неприводимых полнномов, различных для различных прямых слагаемых. Следовательно, произведение этих характеристических полиномов есть каноническое разложение характеристического полинома на всем пространстве. Предложен не 13. Инвариантные надпространства примарного циклического пространства 5 с характеристическим полиномом ~р суть я~5, Ч~»5, ..., щ — '5, составляющие убываюи(ую це«очку 5 ~<р5~(р»5~ ~~р -'5 ~~р"'5 = О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и — вектор, порождающий 5, Тогда все векторы из 5 имеют вид Р(Ф)и, где Р(1) — полиномы яз КЯ. Пусть Р— инвариантное подпространство пространства 5 и о = Р~(Ф)и — такой вектор из Р, для которого полинам Р~(1) делится на возможно меньшую степень полпнома ~р. Пусть эта степень равна ~р, так что Р,(г)=~г 'Рг(~), причем Рг(1) не делится на у. Полинам Рг(Г) взаимно прост с ~р, так что существуют такие полиномы рЯ и у(1), что Р»р+ ~р д =- 1. Тогда р(Ф)о р (Ф) Р, (зЯ) и = р (.4) Е (Ф) Р»(яби = е'" (,Ф) (й' — д(мР) юр "(Ф))и чт' (Ф) и, ибо чг" (вФ) и = О.
Следовательно, у '(.Ф) и принадлежит пространству Р и порождает его, ибо полнномы Р(1) для элементов из Р делятся на ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. хы ф . Таким образом, Р=ф (А)5 при некотором п21. Включения 5 ~ ф5 .:» ф'5 ~ ... ~ ф -'5 ~ ф"5 = О тривиальны в силу инвариантности всех ф (А)5. П р е дл о же н и е 14. Прил2арное циклическое пространство неразложимо в сумму правильных инвариантнь1х подпространств. Действительно, если Р, и Рз — два инвариантных надпространства, то одно из них содержится в другом, пусть Р2~ Р1 и Р2 + Р1 = Р1 чь 5 Таким образом, разложение пространства в прямую сумму примарных циклических надпространств окончательное, полученные прямые слагаемые уже не разлагаются в прямую сумму инвариантных подпространств.
11. Каноническая форма матрицы оператора. Как мы видели выше, для упрощения матрицы оператора целесообразно разложить пространство в прямую сумму инвариантных надпространств и взять в качестве базиса объединение базисов прямых слагаемых. Тогда матрипа примет блочно-диагональный вид с блоками, равными матрицам ограничений оператора на прямые слагаемые. В качестве прямых слагаемых следует взять прнмарные циклические подпространства.
Если в прнмарном циклическом пространстве с минимальным полиномом ф, где ф — неприводимый полинам степени и, взять в качестве базиса и, Фи,,яРи, ..., Ф 2-1и, где и — порождающий пространство вектор, мы получим в качестве матрицы оператора. матрицу, сопровождающую полиноьг ф . Если это сделать в каждом примарном циклическом слагаемом, матрица оператора станет блочно-диагональной, состоящей из полиномов, сопровождающих минимальные полиномы примарных циклических слагаемых. Эту форму матрицы оператора назовем грубой канонической формой. Более полно отражает строение примарного циклического пространства форма матрицы в базисе: е1 = и, е2 — †,зФи, ..., е» вЂ вЂ ,Ф2-1и, еь+1 = ф ( Ф) и, ел+2 =,яАр (М) и, ..., е22,=,М~ — 'ф (з1) и, е22+1 = ф2(М)и, ..., е А =л1 -'1рк-'(М~)и„ Если ф(1) =12+ а112 '+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
