1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В втой ситуации за базис 5 можно взять объединение базисов прямых слагаемых, и оператор,Ф будет преобразовывать базис каждого из подпространств Р; посредством матрицы ограничения оператора,Ф на Рь так что в целом матрица окажется блочно-диагональной1 А, О ... О О Аз ... 0 0 О ... А Здесь А1, Аь..., А~ — матрицы оператора .Ф на инвариант. ных прямых слагаемых Рь Р„..., Р, а нулями обозначены нулевые матрицы надлежащих размеров. Из сказанного следует, что для упрощения матрицы оператора нужно стремиться, насколько это возможно, разложить пространство 5 в прямую сумму инвариантных подпространств, П р е д л о ж е н и е 2. Ядро и образ любого полинома от оператора .Ф (в частности, самого оператори) являются инвариантными подпространствами.
Доказательство. Пусть вектор х принадлежит ядру оператора )(лФ). Это значит, что ((.Ф)х= О. Но тогда .~Ф1(Ф)х= О и, в силу перестановочности значений полиномов, 1( чг),Фх = О, так что Фх принадлежит ядру оператора 1(лс). Это значит, что ядро 1( яс) инвариантно. Пусть теперь х принадлежит образу )(Ф), т. е. х=((Ф)у.
Тогда Фх=зв)(Ф)у=)(Ф)(лгу), так что .Фх тоже принадлежит образу Г(Ф), что и означает, что образ 1" (Ф) есть инвариантное подпространство. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. Пусть в пространстве 5 действует оператор Ж Для некоторого вектора х из 5 построим наименьшее инвариантное надпространство, содержащее вектор х. С атой целью введем в рассмотрение совокупность х, Фх, ..., Ф»» 1х, продолжая ее до тех пор, пока в первый раз не возникнет линейная зависимость, так что х, .Фх, ..., лР»-1х — линейно независимая совокупность векторов, а х,,Фх, ..., лс»-1х, Ф»х — уже линейно зависимая.
Тогда Фй ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 321 вектор,Ф»х есть линейная комбинация предшествующих: .оа х = — а,.Ф х —... — а»,.'4х — а»х. » »-1 (Мы сознательно взяли коэффициенты линейной комбинации со знаком минус.) Пространство Р, натянутое на векторы х,,Фх, ...,,Ф» — 'х, инвариантно.
Действительно, если у е: =Р, то у = с,х+ сзФх+ ... + с»се» вЂ” 'к и о»»у = СНа+ с»Ф»х+ ... + с» ь»Р»-'х+с»лЯ»х= = — с»(а1зР— 'х+ ... + а»,вух+ а»х) + с,.зтх + с»Фх + ... + с, 1.оа»-'х~ Р, ибо все слагаемые принадлежат Р. Далее, если Я вЂ” какое-либо инвариантное подпространство, содержащее вектор х, то оно содержит и векторы оах,.Фх,...,.Ф» 'х, и, следовательно, »»:з Р, Таким образом, Р есть минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор х; оно называется циклическим лодлространством, порожденным вектором х. Равенство М»х = — а|лР-'х — ... — а» Ноях — а,х можно записать в виде ~(.Ф)к = О, где 1(1) = ~»+ а,Р '+ ...
+ а»,1+ а». Поли номы Р (г), обладающие свойством Р (м») х = О, называются аннуляторами вектора х. Покажем, что )(г) является аннулятором наименьшей степени среди ненулевых аннуляторов. Действительно, если Ь»Р '+ Ь1Г»»+ ° ° + Ь»-»1+ Ь» — 1 есть аннуля- тоР ДлЯ вектоРа х, то Ьол㻠— 'х+ Ь»РР-'х+ ... + Ь»»Фх+Ь» х= =О, что возможно только прн Ьо = Ь1 = ... —— - Ь» . = Ь» = О, в силу линейной независимости х, Фх, ..., Ф»-'х. Поэтому полипом )(1) называется мини,иальным аннулятором вектора х. Предложение 3.
Любой аннулятор вектора х делится на минимальный аннулятор. Действительно, пусть Р(й) — некоторый аннулятор вектора х и ((г) — минимальный аннулятор х. Поделим Р(г) на ((~) с остатком: Р(1) = д(1)((Г)+ г((), причем степень г(1) меньше степени ((1), Тогда Р(Ф)= д(,Ф))(М)+г(М) и Р(л»)х = у(Я((Як+ г(мг)х, откуда г(5Ф) х = О, ибо Р(оа) х = О и )(оа) х = — О. Следовательно, г(г)= О, ибо )(1) — аннулятор наименьшей степени. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полинам.
Пусть в векторном пространстве 5 действует оператор Ф. Обозначим через Р циклическое подпространство, порожденное вектором х ен 5, и пусть ("(~) = — Р + + а~д»-'+ ... + а»+,с+໠— минимальный аннулятор вектора х. За базис Р можно принять векторы х, Фх, .и~'х, ...,,Ф» 'х. Под действием оператора Ф они превращаются, соответственно, в 322 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ХН О О ... Π— а » ! О ... Π— а »-! О ! ... Π— а »-2 О О ... ! — а ! Матрица этого вида носит название сопровождающей для поли- нома 1(!).
Предложение 4, Характеристический полинам оператора мФ на циклическом подпространстве, порожденном вектором х, равен минимальному аннулятору вектора х. Иными словами, нужно доказать, что характеристический полипом матрицы, сопровождающей для полинома 1(1), равен этому полиному. Это — нетрудная задача на вычисление определителей. Характеристический полинам матрицы, сопровождающей для полинома 1(!), равен О ...
Π໠— 1 ! ... О а »-! Π— ! ... О а„ О О ... — ! !+а Для вычисления этого определителя прибавим к его первой строке вторую, умноженную на 1, третью, умноженную на !», ..., послед- нюю, умноженную на 1»-!. Получим; О О ... О 1 (!) — ! ! ... О а Π— ! ... О а »-2 О О ... — 1 !+а ΠΠ— ! ... О О О ... — ! Предложение доказано. Сопоставим это предложение с предложением 1, получим, что характеристический полинам оператора М (на всем пространстве) делится на минимальный аннулятор любого вектора и, следовательно, характеристический полипом от оператора аннулирует все векторы пространства, т. е. является нулевым оператором.
Тем самым мы снова доказали в терминах операторов теорему Гамильтона — Кэпи, доказанную ранее в терминах матриц, 6. Минимальный полинам оператора. Минимальным полиномом оператора,Ф, действующего в пространстве 5, называется поли- номом наименьшей степени, аннулирующий все векторы простран- ,Фх,м2»х, ...,,Ф»-!х, М»х, причем эа»х= — а»х — а» !лах — ... ... — а,я!~ 'х. Следовательно, матрица оператора,Ф в этом бази- се равна Ей ЛИНЕЯНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ зез ства 5, т. е, такой полинам д(!) наименьшей степени, что у(.яР) = = О. Обычным приемом деления с остатком легко убедиться в том, что если Р(,Ф) = О, то Р(Г) делится на минимальный полипом.
Поэтому минимальный полипом является делителем характеристического. Минимальный полинам есть наименьшее общее кратное минимальных аннуляторов векторов базиса. Действительно, минимальный полинам является кратным для всех таких аннуляторов и любое кратное аннуляторов векторов базиса аннулирует базисные векторы, а с ними и все векторы пространства. Более общо, если пространство 5 есть сумма (не обязательно прямае сумма) инвариантных надпространств Рь ..., Р„то минимальный полипом оператора лР на 5 равен наименьшему общему кратному минимальных полнномов оператора,Ф на подпро. странствах Рь ..., Рь Действительно, минимальный полинам Ф на 5 целится на минимальный полинам .~Ф на Р„т.
е. является кратным для всех минимальных полнномов надпространств Рь Рь Вместе с тем любое кратное этих полиномов, в частности, наименьшее общее кратное аннулирует все надпространства Р, ..., РА и их сумму 5. 7. Разложение пространства с оператором в прямую .сумму примарных подпространств. Пространство, в котором действует оператор, называется примарным, если минимальный полинам оператора является степенью неприводимого полинома над основным полем. Цель настоящего пункта — доказать, что пространство можно разложить в прямую сумму инварнантных примарных надпространств. С этой целью докажем несколько вспомогательных предложений. В их формулировках будет всюду предполагаться, что векторы принадлежат пространству, в котором действует оператор .Ф. П редл о же н не б. Если вектор аннулируется двумя взаимно простыми полиномами, то он равен нулю. Действительно, минимальный аннулятор такого вектора делит пару взаимно простых полиномов и, следовательно, равен 1, так что 1 аннулирует вектор, и сам вектор равен нулю.
Предложение 6. Если вектор г аннулируется полиномом д(Г)= а,(!)д,(г), разлагающимся в произведение двух взаимно простых полиномов д1(!) и д2(Г), то вектор можно представить в виде суммы двух векторов, один из которых и аннулируется полиномом д,(Г), другой — полиномом дз(!), Д о к а з а т ел ь с т в о. В силу взаимной ьростоты д, н д2 найдутся такие полиномы и и о, что ид,+ од,=!. Тогда и(ьь)д1(лв) + о(зв)у~(Ф) = Е, и г = Юг = и(зу)уз(Яг + + о(яФ)д1 (Ф) г = г, + гь Вектор г~ — — и(зЯ) д,(зт) г аннулируется полнномом д~(г) ибо й (лР) г~ = й ( н') и(Ф)уг(Ф) г = = и(Ф)д,(л~)дз(Ф)г = О.
Аналогично, вектор гз = о(Ф)у,(лс)г аннулируется полиномом дг(Г). ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 324 [гл, хн Предложен не 7. Если вектор е аннулируется полиномом й(Г)=ь1(г) ... ь»(г) при попарно взаимно простых сомножителях дь ..., у», то г представляется в виде суммы й векторов, аннУлиРУюи4ихсЯ, соответственно, полиномами дь ..., У». Доказывается тривиальным применением метода математической индукции, иа основании предложении б.
Л р е д л о ж е н и е 8. Пусть минимальный полинам оператора гв (на всем пространстве) разлагается в произведение д'(() = = д, (() ... д» (1) попарно взаимно простых полиномов. Тогда пространство однозначно разлагается в прямую сумму инвариантных подпространств Рь ..., Р», на которых оператор,Ф имеет минимальные полиномы йь, д». Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через Р; множество всех векторов, аннулируемых полиномом дь иными словами, Р,=(»егд;(,Ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
