1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 65
Текст из файла (страница 65)
2. Сумма и пересечение подпространств. Пусть Р и 1;1 — два подпространства пространства 5. Их суммой Р+ О называется множество векторов х+ у при хеиР и дев 11. Ясно, что любая линейная комбинация векторов из Р+ Я принадлежит Р+Я, так что Р+Я есть подпространство пространства 5 (быть может, совпадающее со всем 5). Далее, пересечение РП 1,1 подпрострапств Р й Я, т, е. множество векторов, принадлежащих одновременно Р и ф есть, очевидно, подпространство (быть могкет, состоящее только из нулевого вектора). зов ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [гл.
Кн Ясно, что подпространства Р и 1,1 содержатся в Р+ 9 и Р+ 1~ содержится в любом подпространстве, содержащем Р и Я. Иными словами, Р+11 есть наименьшее подпространство, содержащее Р и 1,1. Пересечение Р(К содержится в Р и Я, и любое подпростраиство, содержащееся в Р и 1,1, содержится и в Р П Я. Это значит, что Р П Я есть наибольшее среди подпространстн, содержащихся в Р и 1с.
Теорем а 1. О1т (Р+ ф+ б1п1~ Р П Я) = б1нп Р + б1П1 Я'. Доказательство. Обозначим Р+ 1Э = Р и Р П Я = Т, Размерности подпространств будем обозначать соответствующими малыми буквами. Выберем прежде всего базис Т. Пусть это еь ем ..., е1. Имеем Т с Р и Т с Я. Поэтому базис Т можно дополнить до базиса Р н до базиса Я. Пусть е1, ем ..., е«, е1+1, ..., е,— базис Р и пусть Покажем, что векторы е1, ., е1, е«чн ...„е„е',+и ..., е', составляют базис 1« = Р+ 9.
Любой вектор ген«« равен х+у при хе=†Р, у ен ф Следовательно, г = х1е1+ ... +х1ес+ х1+1е1«.1+... ... + х,е, + у,е, + ... +у,е, + у„,е'„, + ... + у„е',, так что векторы е„..., е„е««1, ..., е, е',+н ..., е порождают 1«. Докажем их линейную независимость. Пусть откуда и = — с,е, + ... + с«е1+ с«„.1е1«1+ ... + с„е = «« / = — с е —...— се. 1-Р1 И1 ' '' ««' Вектор и принадлежит Р, ибо он есть линейная комбинация векторов базиса Р, но вместе с тем и ~ 9, ибо он есть линейная комбинация части базисных векторов 1;1. Следовательно, и ен РП 1,1 и являешься линейной комбинацией векторов базиса этого подпространства: и = а1е1+ ... + а1е«. Приравнивая это представление 'и к его представлению через базис Я, получим: « «« ае+...+ае= — с е —...— се 1 1 ''' 11 1-1-1 1.11 «« или, что то же самое, а,е, + ...
+а«е«+ с'„,е',+, + ... + с'е'„=О. Но векторы е„..., ен е',„„..., е' линейно независимы, ибо они составляют базис Я. Следовательно, с,', = ... =с' =О, а, = ... =ૠ— — Ои с,е1 + ... + с«е, + с«+1е1+1 + ... + срер = О. подпрострхнствь зов Н силу линейной независимости базиса надпространства Р получаем с1, с! сьы ср О, Итак, все коэффициенты линейной комбинации векторов е, ..., еь е1+ь ..., е„е,' о ..., е', оказались равными нулю.
Следовательно, эти векторы линейно независимы. Так как они порождают Р+ Я, они составляют базис Р+ О. Их число, т. е дпп(Р + (е), равно р+ д — ( = йт Р+ йт ь) — йгп(Р() ге), Тем самым теорема доказана. Доказанная теорема служит основой интуиции в вопросе о расположении надпространств в многомерных пространствах. Так, в четырехмерном пространстве 5 два двумерных подпространства Р и Я (т. е. две плоскости, проходящие через начало координат) могут иметь три возможности взаимного расположения.
Возможно„ что нх сумма дает все 5. Тогда дип(Р() Я) = О, т. е. плоскости пересекаются в одной точке. Возможно, что йт(Р+ Я) = 3, т. е. обе плоскости лежат в трехмерном пространстне и не совпадают. В этом случае йт(РП®=1, т. е. плоскости пересекаются по прямой. Наконец„если днп(Р+ Я) = 2, то Р+ Я совпадает с Р, с Я и с их пересечением, т. е. это тот случай, когда плоскости Р и Я совпадают. 3. Прямая сумма надпространств. Сумма двух псдпрострааств Р и Я называется прямой суммой, если представление любого вектора из Р+ Я в виде суммы вектора из Р и аскара из ь) однозначно, или, что то же самое, нз равенства и+ о = О при и ~ Р, вен ьр следует и =О, о = О.
Прямая сумма обозначается Р чр Я. Говорят, что если 5 = Р Э (е, то 5 разлагается в прямую сумму своих подпространств Р и (). Предложение 2. Для того чтобы сумма Р+ О бьчло прямой, необходимо и достаточно, чтобы РП ье = О. Действительно, если сумма прямая и ге= Р Г) О., то О=г+( — г) прн г~Р и — ге=9 и, следовательно, г= О. Обратно, если РПГе=О и г=и,+о, =из+ох при иь и,с= Р и оь о,с= ф то и1 — из = оч — оь В левой части — вектор из Р, в правой — вектор из Я, следовательно, это — нулевой вектор и и1 = им о~ = ов Сумма Р+ (е' прямая, П р е д л о ж е н и е 3.
Для того чтобьс сумма Р + Я была прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов Р и Я составляло базис Р+ (е, Ясно, что объединение базисов Р и (е порождает Р+ С. Далее, выражая через базисы Р и ге' векторы и ~ Р и о ь— = 9 в равенстве и+ о = О, мы получим равную нулю линейную комбинацию векторов объединения базисов Р и Я, и она может быть только три- з1о ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~гл. Кн виальной в том и только в том случае, когда объединение базисоа Р и с) образует линейно независимую совокупность векторов. Понятие суммы подпрос~ранств естественно распространяется на любое конечное число слагаемых подпространств.
Именно, суммой Р, + Р, + ... + Р, называется множество сумм и|+ и»+ ... ... + и» при и; е- :Рь Ясно, что, сумма надпространств есть подпространство. Оно порождается объединением базисов слагаемык подпространств. Сумма надпространств называется прямой суммой, если представление ее векторов в виде и~ + и» + ... + » », и, еп Рь однозначно или, что то же самое, из равенства и~+и»+... ... + и» вЂ” — О при и; е= Р; следует, что и, = О, » =!,, я.
Заметим, что можно определить сумму бесконечного множества подпространств Рь »е=!, как множество конечных сумм векторов из пространств Р,. Понятие прямой суммы естественно рас. прострапяется на случай бесконечного множества подпространств, но оно имеет смысл только для бескопечномерных надпространств.
П р е д л о ж е н и е 4. Для того чтобы сумма Р~ + Р, +... + Р» была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение каждого из надпространств Р» с су,ямой остильных состояло только из нулевого векторш Действительно, если сумма прямая и вектор г принадлежит Рг и сумме остальных слагаемых подпространств, то г — и, — ... ... — и; 1 — и;+, — ... — и» = О и г = О. Обратно, если при всех ( пересечение Р, с суммой остальных подпространств есть нулевой вектор, то из равенства и|+ ... +и~ ~+и~+и~+~+ ... + и» = О следует и; = — и, — ... — и~-1 — и»»м — ...
— и»',от« куда и~ = О. Предложение 5. Для того чтобы сумма Р»+Рт+ ... ... + Р, были прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов Рь Р,, Р, составляло базис суммы, Доказательство аналогично доказательству предложения 3. Предложение б. Для того чтобы сумма Р, + Р,+ ... ... + Р» была прямой, необходимо и достаточно, чтобы Р~ П Р» = = О, (Р, + Р,)() Р,=О, и т.
д., т. е. пересечение каждого, надпространства Р~ с суммой предшествующих состояло только из нулевого вектора. Необходимость следует из предложения 4. Доказательство достаточности проведем индукцией пз числу слагаемых подпростраиств. Из (Р, + ... + Р, ,)() Р» = О следует, что если и, + ... ... + и» ~ + и, = О, то и» = О и и, + ... + и» » = О. В силу индуктивного предположения и~ = ... = и, ~ = О.
Вазу для индукции дает случай й = 2 (предложение 2). 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. Пусть 3 — векторное пространство н Р— его подпространство. Скажем, что векторы иь ..., и» линейно независимы относительно Р, если из включения с,и, + ... + с»и» е= Р следует, что. с| = ...
= с» — — О. подптостт»яств» зы Предложение 7. Для того чтобы совокупность иь ..., и» векторов была линейно независима относительно надпространства Р, необходимо и достаточно, чтобы совокупность иь, и», е|, ..., е, где еь ..., е — базис Р, была линейно независимой. Действительно, если иь ..., и» линейно независимы относительно Р, то из с~и, + ...
+ с»и» + Ь,е, + ... + Ь,ем = О следует, что с1и1 + ... +с»и» ~ Р, поэтому с~ =.... = с» =О и также Ь, = ... =Ь =О, в силу линейной независимости еь ..., е, Обратно, если иь ..., иы еь ..., е линейно независимы, то из с,и, + ... + с,и» ~ Р следует с1и~ + ... + с»и» = Ь,е~ + ... +Ь„е„, откуда с~ = ... =с» = О. Векторы иь ..., и» образуют базис 5 относительно Р, если онн линейно независимы относительно Р и любой вектор хьп 5 представляется в виде их линейной комбинации, с точностью до векторои из Р.
Точнее — если х = с1и|+ ... +с»и»+у, при уепр. П редло жение 8. Для того чтобы векторы иь ..., и» составляли базис 5 относительно Р, необходимо и достаточно, чтобы вектор»я иь ..., и», еь ..., е„„где еь ..., е — базис Р, составляли базис 5. Действительно, линейная независимость иь ..., им еь ..,, е необходима и достаточна для линейной независимости и|, ..., и» относительно Р. Для того чтобы иь ..., и» порождали 5 с точмостью до векторов из Р, необходимо и достаточно, чтобы иь ... ..., им еь ., е порождали 5. Из предложений 7 и 8 следует, что любая совокупность векторов, дополняющая базис Р до базиса 5, есть базис 5 относительно Р. Любая линейно независимая относительно Р совокупность векторов может быть дополнена до базиса 5 относительно Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
