1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Число векторов, составляющих базис 5 относительно Р, равно разности размерностей 5 и Р. б. Факторпространство. Пусть 5 — векторное пространство и Р— его подпространство. Скажем, что векторы х, у~ 5 сравнимы по подпространству Р (и запишем х = у(Р)), если х — у еп Р. Ясно, что 5 «расслаивается» па классы сравнимых по Р векторов. Далее, если х = — у (Р) и и = — г (Р), то с|х+ с»и — = с|у+ с»г (Р).
Это обстоятельство делает корректным определение операции взятия линейных номбинаций на классах сравнений по Р. Ясно, что нлассы образуют векторное пространство по отношению к этой операции. Оно называется факторпространством и обозначается 57Р.
Если отвлечься от операции умножения элементов фактор- пространства на элемент основного поля, 5/Р есть факторгруппа аддитивной группы (т. е. группы относительно сложения) пространства 5 по аддитивной группе надпространства Р. П р е д л о ж е н и е 9, Классы по Р, содержащие базис 5 относительно Р, образуют базис 5/Р, Обратно, элементы, взятые по одному из классов базиса 5(Р, составляют базис 5 относительно Р. 312 ввктоеные пеостехнстьх 1гл, кп Действительно, включение с~и~+ ...
+ с»и»ев Р равносильно сравнению с1и~+ ... + с»и» = О (Р) и равенству с,й-)- ... ... + с»й» — — О (черточка обозначает переход к классам сравнений по Р), так что линейная независимость иь ..., и„относительно Р равносильна линейной независимости элементов йь ..., й, факторпростраиства. Равенство х = с~и~ + ... + с»и»+ у при уевР равносильно сравнению х = с~и, + ... + с»и» (Р) и равенству х = = с~й~+ ... + с»и» в факторпространстве.
Отсюда следует„в частности, что размерность факторпространства 5)Р равна разности размерностей 5 и Р. й 3. Линейные функции 1. Сопряженное пространство. Линейными фуннииями иа век-торном пространстве 5 называются функции, определенные на векторах этого пространства со значениями в основном поле К, удовлетворяющие условию линейности: Цс~х+ с»у) = с1Цх) + + с»Цу). Пусть в 5 выбран базис еь ем ..., е . В силу линейности значение функции ! иа любом векторе определяется значениями иа базисе; действительно, если (хь ..., х„)' — столбец из координат вектора х, так что х = х1е~+ ...
+х,е„, то Цх) = х~Це,)+... ... + х»Це»). Ясно, что любая функция, выражаемая через координаты по формуле !(х) = а~х~ + ... + и„х„, будет линейной функцией. Таким образом, между линейными функциями на 5 и строками (аь ..., а„) в формуле Цх) = а~х~+ ... + а.х„имеется взаимно однозначное соответствие. Значение функции Цх) на векторе х равно произведению строки из коэффициентов линейной функции на столбец из координат вектора х.
Для линейных функций естественным образом определяются действия сложения и умножения на элементы основного полн, именно, по определению, ((~+ !»)х= (1(х)+ !»(х) и (с!)х =сЦх). По отношению к этим действиям линейные функции образуют векторное пространство, называемое сопряженным с пространством 5 и обозначаемое 5".
Оно, очевидно, изоморфно пространству строк коэффициентов линейных функций и, следовательно, и-мерно, так же как 5. Однако естественного изоморфизма между 5 и 5', который бы не зависел от выбора базиса, не существует. Элементы хе-=5 естественно порождают линейные функции на пространстве 5', если считать х(!) = Цх). Поэтому 5 изоморфно погружается в (5")*. Образ при этом погружении совпадает с пространством (5*)*, ибо размерности пространств 5 и (5")' равны. Это позволяет рассматривать пространство 5 как сопряженное с пространством 5*.
Линейные функции на пространстве 5 называют также ковекторами. В этой терминологии значение линейной функции на векторе называется скалярным произведением ковектора на вектор млн вектора на ковектор. а'з1 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКПИИ з1з 2. Дуальиый базис. Пусть в пространстве 5 выбран базис, Покажем, что в 5' существует базис, в котором координатами ко- вектора оказываются коэффициенты в выражении значения ли- нейной функции через координаты вектора. Обозначим через 1; функцию, сопоставляющую каждому век- тору из 5 его 1-ю координату в выбранном базисе еь еь ..., е„. Ясно, что )~ — линейная функция и 1;(е)=1, 1;(е;)= О'при 1Ф1.
Тогда 1(х) = й,х~ + азхз+ ... + а„.х„= а111(х) + ан',(х)+ ... + а,1„(х)=(а111+аз1т+ ... +а,~,) (х), Таким образом, коэффициенты аь аь ..., а„оказываются ко- ординатами ковектора 1 в базисе )ь /ь ..., 1,. Этот базис назы- вается дуйльнььи с базисом еь еь ..., е„пространства 5. Если рассматривать 5 как пространство, сопряженное с 5', то, очевид- но, базисом, дуальным с базисом 1ь 1ь ..., 1„, является исходный базис еь ез, ..., е,.
3. Преобразование координат в 3* при преобразовании коорУ динат в 5. Пусть в 5 выбран новый базис еь е2, ..., е„, связан. ный с исходным соотношениями е, = сне, + с„е, + ... + с„,е„, е' = с„е, + сз,е, + ... + с . еге Тогда координаты в исходном базисе выражаются через коорди- наты в новом базисе по формулам; х, = снх', + с„х', + ... + с,„х„', Р / хз = свх~ + смхз + ... + Ст х, Линейная функция Цх)= а1х1+ азхз+ ... + а,х„с координатами аь аь ..., а, в базисе, дуальном с исходным, выразится через новые координаты вектора х по формуле: 1(х)=й,(снх, + с„х,+ ...
+ с, х )+ + ах(сих, + с„хе+ ... + сь х )+ + а„(с„,х', + с„т,'+ ... + с„„х„') = = (снй, + с„й, + ... + с„,й„) х', + +(с„а, + с а,+ ... + С„,,й„)х,'+ +(сыа, + с,„ат+ ... + с„„а„) х'„, вектоеные паостаанства 1гл. кн 314 е„е', тан что координаты 1(х) в базисе, дуальном с базисом ..., е'„, равны: а, = с„а, + сиаз+ ...
+ с„,а„, а,'=с„а, +с „д + ... +с„,а„, а'„=с,„а, +с,„аз+ ... +с„„а„. 4 4. Линейные отображения векторных пространств 1. Ядро и образ прн линейном отображении. Линейным отображением или линейным оператором векторного пространства о в векторное пространство Т называется функция .М, определенная на 5 со значениями в Т, удовлетворяющая требованию линейности за(с,х+ сту) = сьФх+ сэву. Линейные отображения будем записывать рукописными прописными буквами перед обозначением вектора, опуская скобки. Пусть д1ш5 =п и о(т Т =гл и в пространствах 5 и Т выбраны базисы еь ..., е„и 1ь ", 1 .
Пусть, далее, .Ф вЂ” линейное отображение из 5 в Т. Ясно, что значения Ф вполне определяются значениями на базисе еь ..., е„, ибо, в силу линейности, ,Ф(х~с1+ ... +х„е„)= х~.Фе1+ ... +х,.яге . Обозначим через (ан... а ~)г, ..., (апа ..., а „)г столбцы из координат векторов л~еь ...,,Фе„ в базисе )ь ..., 1'„ и буквой А — матрицу, составленную из этих столбцов: а„ а„ ... ага аи ам °" ага Тогда координаты (уь ..., уа)т вектора у =.Фх выражаются по формулам у,=анх, +анхз + ° .. +аыха Уз=анХ, +аЗЗХт + ... +агаХ„, у„=а ~х~+а„ахз+ ° ..
+а„„х„ через координаты вектора х или, в матричных обозначениях, У= АХ, Тем самым формула преобразования совпадает с формулой перехода от исходного базиса к новому. Как говорят, координаты ковектора изменяются коаариннгно с изменением базиса пространства 5, в отличие от координат вектора, которые, как мы виделн выше, изменяются контраварнантно. ВА! ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВГКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ згв где через Х и У обозначены столбцы из координат векторов х и у.
Матрица А называется матрицей отображения .Ф, Ядром кег.Ф отображения,Ф называется множество всех векторов нз 5, отображаемых в О пространства Т. Образом !ш.Ф или .Ф5 отображения .Ф называется множество векторов Фх при х ее 5. Ясно, что ядро и образ .~Ф являются подпространствами, соответственно, пространств 5 и Т. Векторы из 5, сравнимые по еег,Ф, т.
е. отличающиеся слагаемым из кег,Ф, имеют, очевидно, одинаковые образы в Т. Обратно, если .Фх = лРЕ, ТО,Ф(х — г) = О, т. е. х и г сравнимы по кег,Ф. Следовательно, между векторами образа Ф5 оператора .Ф и элементами факторпространства 5/кегФ имеется взаимно однозначное соответствие. Это соответствие, очевидно, сохраняет линейные комбинации, так что пространство Ф5 нзоморфно факторпространству 5/йегФ. Следовательно, й!ш.Ф5 = йш 5 — йгп кег.Ф, 2.
Изменение матрицы оператора при преобразовании координат в пространствах 5 и Т. Пусть в пространствах 5 и Т базисы ен ..., е„и Г!, ..., Г', заменены на базисы ен ..., е'„и '~;, ..., )'. Соответствующие этим заменам матрицы преобразования координат обозначим через С и В, столбцы из координат венторов х и у =.Фх в исходных базисах обозначим через Х и У, в преобразованных — соответственно, Х' и У'. Матрицу оператора лР обозначим А. Тогда У = АХ, Х = СХ', У = ВУ', так чтоУ'= В 'У. Следовательно, У' = В-'У =  — 'АХ = В-'АСХ'.
Поэтому матрнцей оператора Ф по отношению к новым базисам является матрица А' = В-'АС 3. Каноническая форма матрицы линейного отображения. Прежде всего заметим, что размерность образа М5 равна максимальному числу линейно независимых векторов в порождающей это пространство совокупности векторов Фе!, ...,,иге„, т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы А оператора ЛФ. Таким образом, й!ш.Ф5 = г, где г — ранг матрицы А. В силу соотношения между размерностями ядра н образа, отсюда следует, что йш йег ЛФ = н — г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
