1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Так как сте- пень )(х, у) равна п, степени полиномов а;(у) не превосходят ~. Соответственно, степени Ь|(у) не превосходят ~'. Составим резуль- тант )(„(), у), рассматривая ) и у как полиномы от х с коэффи- циентами, зависящими от у. Этот результант является полиномом Г(у) от у, степень которого не превосходит тп, что следует нз того, что вес каждого члена результанта равен тп.
Допустим сначала, что результант не равен нулю тождественно. Тогда он .имеет конечное число корней, не более чем тп. Подставив любой корень результанта в полиномы )(х, у) и у(х, у), мы получим по- .линомы от одного неизвестного х, результант которых равен нулкз. Значит, они имеют общие корни, каждый из которых, вместе со значением для у, дает решение системы. Легко видеть, что все решения находятся на этом пути. Действительно, если хь у, — ре- зпение системы, то зависящие только от х полиномы Г(х, у1) и а(х, у,) имеют общий корень хь и, следовательно, их результант равен нулю, т.
е. у1 является корнем результанта г(у)=)с„((, у). Таким образом, система г(х, у)=О, у(х, у) = 0 имеет конечное число решений (ха у;). Для опенки нх числа наложим дополни- .тельные ограничения иа коэффициент перекоса а. Именно, потребуем, чтобы в новых неизвестных все решения имели различные «эрдинаты. Это приводит снова к конечному числу запретов для и, именно, запрещены равенства д~ — ах;=у; — ахь При таком выборе а яля каждого у' найдется только одно значение для х.
Так как число корней результанта не превосходит тп, то и число решений системы не превосходит тп. Если же результант )г (), у) равен нулю тождественно, то для любого у найдется соответствующее значение для х, так что си- стема будет иметь бесконечно много решений. Причиной этого является наличие в этом случае нетривиаль- ного общего делителя ~р(х, у) у полиномов Цх, у) и у(х, у), н лю- бое решение уравнения у(х, у) =0 дает и решение системы. 5.
Связь днскриминанта полинома с результантом полннома и сто производной. Наличие кратного корня у полинома )'(х) = зсо СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ [гл. Ку = аЛХл+ а(Хл '+ ... + ал РаВНОСИЛЬНО НаЛИЧИЮ ОбЩЕГО КОРИ(а )'(х) н его производной. Поэтому обращение в нуль )г(1(, ~') равносильно обращению в нуль дискриминанта. Счедовательно, (г(Г, Г''а и РЯ должны быть тесно связаны. Найдем эту связь.
ПуетЬ )'(Х) = аэ(Х вЂ” Х,) (Х вЂ” Х1) ... (Х вЂ” Хл). ТОГда ('(Х() = а,(Х( — Х,) ... (Х( — Хл), (хэ) = пО (Хэ — Х1) (ХЯ вЂ” Х3) ° ° ° (ХЯ вЂ” Хл), )'(Х ) = аа(Хл — Х,) (Մ— Х1)... (Մ— Х„(). Следовательно, Д (), )') = ао ~)' (х,) (' (хг) .
~' (х„) = а',л ' (х( — хэ) ... (Х( Хл) (ХЗ Х() .. (Х1 Хл) ° . (Хл Х() (Хл Хл — 1) Каждая разность х( — х; входит в полученное произведение два раза с противоположными знаками. Поэтому л (» — 11 л (л — !( (СУ, Г)=а,'"-'( — )) ' П (х — х(7-пл(-)) Р(0- 1>/ Тем самым предполагаемая связь установлена. ГЛАВА Хп ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 5 1. Определения и простейшие свойства 1.
Определение и примеры. Напомним (стр. 75), что вектор- ным пространством 5 над полем К называется аддитивно записан- ная абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля К, удовлетворяющее требованиям: с(и, + и ) =си, +си,, (с, + с>) и=с,и+с,и, с, (с>и) = (с,с,) и, 1 и=и, где с, сь см 1 — элементы поля К, и, иь и> — элементы векторного пространства. Элементы векторного пространства будем называть аектораии, элементы поля К для краткости будем называть числами (хотя они могут иметь другую природу).
Примерами векторных пространств над полем к вещественных чисел могут служить множества векторов на плоскости илн в пространстве. Другие (уже над любым полем К) примеры— матрицы фиксированного строения, в частности, строки и столбцы с элементами из поля К, полиномы от одной (нли нескольких) букв с коэффициентами из поля К, полиномы ограниченной степени с коэффициентами из поля К. Исследование векторных пространств составляет содержание линейной алгебры. В приложениях линейной алгебры к другим математическим дисциплинам рассматриваются преимущественно векторные пространства над полями .С.
и 1,". В теории информации полезными оказываются векторные пространства над конечными полями, особенно над полем С>Р(2) из двух элементов. Отметим еще свойства нуля векторного пространства. 1. 0 и = О. Действительно, 0 и + 0 и = (О+ 0) и = 0 и. Добавив к обеим частям этого равенства элемент, противоположный к 0 и, получим О.и = О. 2. с 0 = О. Действительно, с.О+ с 0 = с(0+ 0) = с О, откуда с 0=0. 3. Если си = О, то либо с = О, либо и = О. Действительно, если счьО, то существует с-' и с-'си = с-'0 = О, т. е. сс =О. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА !Гл хп 2.
Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. Линейной комбинацией векторов иь им ..., и„из 5 называется вектор с~и1+сзит+ ... +с„и при с~епК. Ясно, что линейной комбинацией линейных комбинаций векторов иь ..., и является снова линейная комбинация этих векторов. Совокупность векторов иь ..., и называется линейно независимой, если равенство с~и1 + ... + с и = 0 возможно только при с1 = ... —— с = О. Если же существуют не равные одновременно нулю сь ..., с„такие, что с,и1+ ... + с и„= О, то совокупность векторов иь ..., и называется линейно завлсимой.
Определения эти совпадают с определениями, данными на стр. 108 в применении к строкам. Предложение 1. Совокупность векторов иь ..., и линейно зависима в том и только в том случае, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных. Предложение 2. Если совокупность еекторое иь ..., и линейно независима, а совокупность иь..., и, и„+1 линейно зависима, то вектор и .н есть линейная комбинация векторов иь ..., и . П редло же н не 3. Если векторы оь ..., ОА являются линейными комбинациями векторов иь ..., и и й ) т, то совокупность оь ..., РА линейно заеиси,иа. Доказательства этих предложений ничем не отличаются от доказательств аналогичных предложений для строк (стр. !08 — 110).
Совокупность векторов называется порождающей, если все векторы пространства являются нх линейными комбинациями. Если для пространства 5 существует конечная порождающая система, то пространство называется конечномерным, в противном случае— бесконечномерным. В конечномерном пространстве не могут сушествовать сколь угодно большие (по числу векторов) линеино независимые совокупности векторов, ибо, согласно предложению 3, любая совокупность векторов, превосходящая по числу векторов порождающую совокупность, линейно зависима.
Пространство матриц фиксированных размеров и, в частности, пространство строк фиксированной длины конечномерны, в качестве порождающей системы можно взять матрицы с единицей на одной позиции и с нулями на остальных. Пространство всех полиномов от х уже бесконечномерно, ибо совокупность полиномов 1, х, хз, ..., х" линейно независима при любом и. В дальнейшем будем рассматривать конечномерные пространства.
Предложение 4. Любая лгинимальная (по числу векторов) порождающая совокупность векторов линейно независима. Действительно, пусть и,, и.— минимальная порождающая совокупность векторов. Если она линейно зависима, то один из векторов, скажем и„ есть линейная комбинация остальных иь ... Фи ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ..., и„, и всякая линейная комбинация иь ..., и„н и„есть линейная комбинация меньшей совокупности векторов и1, ..., и» и которая тем самым оказывается порождающей. Предложен ие 5.
Любая лгаксимальная (по числу векторов) линейно независимая совокупность векторов является порождающей. Действительно, пусть иь ..., и„— максимальная линейно независимая совокупность и и — любой вектор пространства. Тогда совокупность иь ..., и„ и не будет линейно независимой, и„ в силу предложения 2, вектор и есть линейная комбинация иь, и„.
Предложен ив 6. Любая линейно независимая порождающая совокупность является минимальной среди порогкдающих и максимальной среди линейно независимых. Действительно, пусть иь ..., и, — линейно независимая порождающая совокупность векторов. Если оь ..., о, — какая-то другая порождающая совокупность, то и„..., и„являются линейными комбинациями оь ..., ОА, и отсюда заключаем, что и «й, ибо если было бы п ) й, то, в силу предложения 3, иь ... , и„была бы линейно зависимой совокупностью. Пусть теперь гвь ..., в, — какая-либо линейно независимая совокупность.
Векторы гвь ..., в являются линейными комбинациями векторов ии ..., и„ и, следовательно, т ( и, ибо при т ) и, в силу того же предложения 3, шь ..., ш„ составляли бы линейно зависимую совокупность. Таким образом, в предложениях 4, 5, 6 устанавливается тождественность трех понятий — минимальная порождающая совокупность векторов, максимальная линейно независимая совокупность векторов и линейно независимая порождающая совокупность.
Совокупность векторов, удовлетворяющая этим условиям, называется базисом пространства, а число векторов, составляющих базис, называется размерностью пространства. Размерность пространства 5 обозначается йт5. Таким образом, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов (мы часго в дальнейшем будем говорить слова «линейно независимые» и «линейно зависимые векторы» вместо того, чтобы сказать «векторы, составляющие линейно зависимую совокупность» и — соответственно — для линейно независимой совокупности) и минимальному числу порождающих векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
