1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

+ й»о». Поэтому оь о,, о„— образующие группы Н и их число равно и или меньше, еслч среди них есть нули. Теорема доказана. 2. Целочисленные унимодулярные матрицы. П р едл о же ни е 2. Для того чтобьч матрица А с целылш элементами имела обратную А-' тоже с целыми элементами, необходимо и достаточно, чтобы бе1 А = .+1. Доказательство. Пусть А и А-' имеют целые элементы.

Из равенства АА-' = Е следует, что бе1 А.бе1А-' 1, но оба эти определителя — целые числа. Поэтому бе1 А= ~1. Это условие и достаточно, ибо союзная с А матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения к элементам матрицы А, имеет целые элементы, а матрица А-' получается из союзной делением на .бе1 А = е1, так что элементы А-' — тоже целые числа. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !Гл. х Матрицы с целыми элементами и с определителем ~1, т. е. целочисленно обратимые, носят название целочисленнык унимодулярнык матриц. 3. Унимодулярная замена образующих конечно порожденной абелевой группы. Предложение 3.

Пусть и,, и2, ..., и„— образующие абелевой группы 6 и М =(тп) — целочисленная унимодулярная матрица. Тогда элементы оь оь ..., о„ где о, =тни, +т„и, + ... +т,лил, О2 =т„и, +т22и2+ ... + тз„ил, Ол = тл,и, + т„зи, + ... + тллил, тоже составляют систему образующих групп2я 6. Доказательство. Пусть М-'=(йп). Положим иц = йно~ + Клог + ° ° ° + Колол 2е2 л2~о! + ~22о2 + + й2лол Щл = Аль~ + йл2О2+ ° ° ° + йллпл Тогда элементы 2еь Гст, ..., ю выРажаютсЯ чеРез иь и,, ..., ил с матрицей коэффициентов М-'М = Е, так что Гс1= иь Гоз= и2, ... ..., Гол =ил. Таким образом, образующие иь иь ..., и, выража- ЮТСЯ ЧЕРЕЗ ОЬ Огл ..., Ол С ЦЕЛЫМИ КОЭффИЦИЕНтаМИ, СЛЕДОВательно, и любой элемент группы 6 выражается через о,, оь..., ол с целыми коэффициентами, т.

е. оь оь ..., о составляют систему образующих группы 6. 4. Свободная конечно порожденная абелева группа. Абелева группа, имеющая образующие, не связанные соотношениями, называется свободной абелевой группой, а ее образующие, не связанные соотношениями, называются свободными образуюи(ими. Пусть иьи2,'..., и,— свободные образующие свободной абелевой группы Р. Тогда любой элемент к~Р представляется через образующие г = т,и, + т2и2+ ... + т,и, однозначно, ибо иначе между образующими было бы нетривиальное соотношение.

Поэтому 6 есть прямая суммы бесконечных циклйческих групп: 6= и~к'. Юи27Е ... Юи,х„ Свободные образующие в свободной абелевой группе могут быть выбраны разными способами, однако их число Г не зависит от выбора образующих. Действительно, 6/26=к'/2~Ел,/27Е ... ... (ь 7/2Х (Г прямых слагаемых, изоморфных циклическим группам второго порядка), и потому 2' равно порядку группы 6/26, кОнечнО поРОжденные Авелевы ГРуппы 48! так что 2', а вместе с ним и т, получает инвариантное истолкование, не зависяшее от выбора системы свободных образующих. б.

Вспомогательные предложения. П р е д л о ж е н и е 4. Пусть (аь аь ..., а») — строка, составленная из целых чисел, и й — наибольший общий делитель чисел а!, аь ..., аь Существует такая целочисленная унимодулярная матрица, что (а!, аь ., а»)М =(д, О, ..., 0). Доказательство. Применим индукцию по длине строки й.

Базу для индукции дает случай Ь = 2. Пусть й — наибольший об- ший делитель чисел а, и а,. Он допускает линейное представлеи — ь! ние й = а!и+ а»о. Возьмем матрицу М = ~ ), где Ь! —— ь,)' а, а, иа, + аа, = — „. Ь,= —. Матрица М уннмодулярна, ибо иЬ, + ОЬ»= -1, Далее, (а,, а»)М =(а!и+ а»о, — а4Ь»+ а»Ь!)=(й, 0). Допустим теперь, что предложение доказано для строк длины А — 1. Тогда найдется целочисленная уиимодулярная матрица М! порядка й — 1 такая, что (аь ..., а,)М! =-(йы О, ..., 0), где й» вЂ” наибольший общий делитель чисел аь ..., а». Пусть теок перь М» — — 1 О „) .

Тогда (а!, а4, ..., а»)М»-— -(а!, йь О, ..., 0). Далее, наибольший общий делитель чисел а! и й» равен й. Найдем целочисленную унимодулярную матрицу Мь второго порядка тат м о кую, что (а „й,) Мз = (й, 0). Положим М, = ( . М,— ( о е»- г тоже целочисленная увимодулярная и (аь йь О, ..., 0)М4 = =(й, О, ..., 0). Таким образом, матрица М = М»МО очевидно, целочисленная унимодулярная, дает требуемое: (аь аь ..., а»)М =(й, О, ..., 0), Предложен не 5. Если числа а!, аы ..., а» в совокупности взаимно простые, то существует целочисленная унил4одулярная матрица с первой строкой (аь аы ..., а»), Доказательство, В предположении взаимной простоты чисел а„а„..., а, будет д = 1, так что сушествует целочисленная унимодулярная матрица М такая, что (аь а», ..., а»)М = =(1, О, ..., 0).

Тогда (1, О, ..., 0)М-' =(аь а», ..., а,), Матрица М-' целочисленная унимодулярная, а последнее равенство показывает, что ее первая строка есть (аь аь ..., а»). 6. Конечно порожзенные абелевы группы без кручения. Абелева группа называется группой без кручения, если она не имеет элементов конечного порядка. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !Гл. х Т е о р е м а б, Конечно порожденная абглева группа 6 без кручения свободна, т. е. имеет свободную систему образующих. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть иь и,, ..., и» вЂ” некоторая система образующих группы 6 Если она свободна, то вопрос исчерпан.

Если же не свободна, найдется соотношение а~и~+ агиа+ ., + а»и» = О. Без нарушения общности коэффициенты можно считать взаимно простыми в совокупности, ибо если оии не взаимно просты и их наибольший общий делитель д ) 1, то .1 » а, = с1а„а, = да, ..., а = да„ д(а',и, +ага»+ ... +а'и») =О, откуда а',и, + а'и, + ... + а»и» —— О, ибо 6 — группа без кручения. Числа же а'„а'„..., а', взаимно просты. Возьмем целочисленную унимодулярную матрицу а»1 с первой строкой аь аь ..., а» и сделаем замену образующих посредством подстановки с этой матрицей: оа =а и, + а»и, + ... +а и, вг т„и, +та»и»+ ... +тыи»ь п» = т»,и, + т„аиа+ ...

+ т„„и„. Первый образующий оа равен О, и его можно исключить из системы образующих. Таким образом, число образующих уменьшилось иа 1. Если полученные образующие свободны — процесс окончен. Если не свободны, то тем же приемом можно еще уменьшить иа 1 число образующих. Через конечное число шагов мы должны прийти к системе свободных образующих. Теорема доказана. 7. Конечно порожденные абелевы группы в общем случае. Множество элементов конечного порядка конечно порожденной группы 6 образует, очевидно, подгруппу. Эта подгруппа, в свою очередь, конечно порождена и, так как ее образующие имеют конечные порядки, она конечна.

Подгруппа элементов конечного порядка группы 6 называется ее подгруппой кручения. Те о р е м а 7. Факгоргруппа конечно порожденной абелевой группы 6 по подгруппе кручения есть группа без кручения и, следовательно, свободная. Доказательство.

Пусть а — некоторый элемент фактор- группы 6/Н, где Н вЂ” подгруппа кручения. Допустим, что паа = О при целом тФО. Тогда, если а еи а, то та ~ Н. Все элементы подгруппы Н имеют конечные порядки, следовательно, при неко- .ором ценам т~ ФО будет т~гпа = О. Но это значит, что а еи Н % 91 КОНЕЧНО ПОРОЖПЕННЫЕ АЕЕЛЕВЫ ГРУППЫ и а = О. Таким образом, О/Н не имеет элементов конечного порядка кроме нуля и является группой без кручения.

Ранг группы О/Н как свободной абелевой группы называется также рангом группы О. Теорема 8. Конечно порожденная абелева группа 6 разлагается в прямую сумму группы кручения Н и свободной абелевой группы с числом свободных образующих, равным рангу 6/Н. Доказательство. Пусть аь ам ..., а,— свободные образующие группы О/Н. Возьмем произвольно элементы а, ее аь ахен аг, ..., а, ЕЕ а,.

Элементы аь ам ..., а, порождают свободную подгруппу Р группы О, ибо каждое соотношение пца~+ + Гпгаз+ ... + т,а, = О влечет за собой соотношения пма1+ + Гпзаэ+ ... + т,а, = О. Элементы группы Р содержатся по одному во всех классах смежности, составляющих 6/Н. Согласно предложению 6 из $8, Группа 6 равна прямой сумме Н н Р. Разумеется, разложение О = Н+ Р не однозначно, хотя подгруппа Н в 6 однозначно определена. Неоднозначность обусловлена тем, что элементы аь аы ..., а, выбираются внутри классов смежности йь ам ..., а, произвольным образом. Из всего сказанного следует, что конечно порожденная абелевн группа 6 разлагается в прямую сумму циклических групп, примарных конечных и бесконечных.

Число бесконечных прямых слагаемых равно. рангу группы 6, порядки примарных конечных циклических прямых слагаемых определены группой 6 (точнее, ее подгруппой кручения) однозначно. Эти порядки носят название коэффициентов кручения группы 6. Задание ранга и коэффициентов кручения определяет группу 6 с точностью до изоморфизма. Для любых наперед заданных значений ранга и коэффициентов кручения существует соответствующая абелева конечно порожденная группа. ГААВА Х1 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ % 1. Выражение симметрических изливов через основные !. Лексикографическое расположение одночленов в полнноме. Пусть г"(хь хв ..., х,) — полином с коэффициентами нз некоторой области пелостности.

Расположим его по убывающим степеням буквы хь Одночлены, содержащие х, в одинаковой степени, расположим по убывающим степеням буквы хм одночлены, содержащие х~ и хг в одинаковых степенях, расположим по убывающим степеням буквы хг н т. д. Одночлены расположатся в так называемом лехсикографичесхом порядке, напоминающем расположение слов в словарях. Будем говорить, что предшествующий в лекснкографнческом порядке одночлеп выше последующих.

Из определения ясно, что одночлен Лх",'х,"' ... х"„" выше одночлена Вха хаг' ... ха" з том и только в том слУчае, когда пеРваЯ отличная от нуля среди разностей а~ — ()ь аг — ~ь ..., а„ вЂ” р„ положительна. Одночлен, который находится па первом месте при лекснкографнческом упорядочении, носит название высшего члена полинома. Ясно, что если г'(хпх„..., х„)=а„(х,, х„...,х„)х",+а(х„х,... ..., х„)х",-'+ ..., то высшим членом полпнома г является произведение х", на высший член полннома аг(хм хм, х„), Предложение 1. Высший член произведения двух полиномов равен произведению высших членов сомножителей.

Характеристики

Список файлов лекций