1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

Гомоморфный образ б свободной группы с так построенным ядром будет иметь предписанные соотношения. Другие соотношения будут определяться всеми элементами ядра гомоморфизма, и в силу устройства этого ядра, будут следствиями предписанных соотношений в описанном выше смысле. Если в группе, кроме предписанных соотношений и их следствий, выполняются еще какие-либо соотношения, то ядро гомоморфизма будет содержать указанную нормальную подгруппу, и, в силу свойства универсальности факторгруппы, группа будет гомоморфным образом группы 6. Доказанная теорема дает возможность задавать группы при помощи задания образующих и соотношений между ними.

Эти соотношения называются определяющими соотношениями. Группы, имеющие конечное число образующих и конечное число определяющих соотношений, называются конечно определенными Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода. П р и м е р 1. Группа задана двумя образующими а и Ь, связанными соотношениями ат = 1 (т.

е. а = а-'), Ьз =! и аЬа = Ьз. Очевидным следствием из этих соотношений является аЬ'а = Ь. Последние два соотношения можно записать в форме Ьа = аЬГ и Ьза = аЬ. Эти соотношения позволяют переносить образующий а через Ь или Ьт справа налево, заменяя Ь на Ь' и Ьз на Ь. Это позволяет записать любой элемент группы в форме аьЬ при Ь = О, 1 и гп = О, 1, 2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса а справа налево и условий аз = 1 и Ьз = 1, нетрудно проверить, что символы аьЬ действительно образуют группу. Она конечна,'ее порядок равен 6. Легко видеть, что она нзоморфна симметрической группе подстановок трех элементов.

Изоморфизм дается соответствием а~-Р(1, 2), Ь~ — Р(1, 2„3). П р и мер 2. Группа задана двумя образующими с и а и соотношениями ат = 1 и аса = с-'. Здесь образующий с свободен, т. е. порождает бесконечную циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является ас а = с ' при любом це- СВОВОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 273 лом т, т. е. преобразование сопряжения посредством а вызывает в подгруппе, порожденной образующим с, единственный нетривиальный автоморфизм. Из соотношения ас а = с- следует правило переноса образующего а справа палево, именно, с а = ас — "'. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде а"с™ при й = О, ! и любом целом и. Легко проследить, что символы а'с при умножении с правилами, обусловленными соотношениями а' = 1 н с"а = ас "', действительно образуют группу.

Эта группа нам еще встретится в следующем параграфе. Однако при задании группы образующими и определяющими соотношениями имеет место одна принципиальная неприятность. Если даны два элемента группы, записанные через образующие, как узнать, равны они или нету Вопрос легко решается, если соотношения таковы, что существует каноническая форма записи. Однако такой характер соотношений является скорее исключением, чем правилом. Проблема распознавания равенства элементов ~руины, заданной образующими и определяющими соотношениями, называется проблемой тождества в теории групп.

Для свободной группы она решается благодаря канонической записи элементов в виде иесоиратимых слов. Проблема получила положительное решение для групп с одним соотношением. Однако в 1952 г. П. С. Новиков доказал, что не существует алгорнфма, позволяющего решать проблему тождества в общей постановке. Более того, им построена такая система определяющих соотношений между образующими, что не существует алгорифма для решения проблемы тождества в группе, заданной этими образующими н соотношениями.

Прн этом доказательство потребовало точного определения того, что такое алгорифм, и привлечения средств современной математической логики. Разумеется, несуществование общего алгорифма для любых элементов не значит, что задача не может быть решена индивидуальным приемом для заданной пары элементов. Из того, что алгорифмически неразрешима массовая проблема, не следует неразрешимость индивидуальных проблем. По своей принципиальной значимости результат П. С.

Новикова находится в одном ряду с классическими «отрицательными» результатами в математике, такими, как недоказуемость постулата Евклида о параллельных (следующая, например, из непротиворечивости геометрии Лобачевского) и неразрешимость в радикалах общих алгебраических уравнений пятой степени и выше. 5 7. Свободные произведения групп 1.

Определение. Пусть даны группы бь О»....., 6,. Составим слово из произвольных элементов групп бь Оь ..., О„в любом порядке. Для таких слов введем действие удлинения, заключающееся во вставке в любое место единицы любой группы и в за- элементы теогии ГРупп 274 ИГЛ. Х мене какого-либо элемента в слове равным ему произведением двух элементов той же группы, Вставку единицы можно рассматривать как частный случай замены элемента произведением, если отождествить единицы всех групп.

Тогда вставка единицы равносильна замене левого соседнего элемента а на а.1 или правого соседнего Ь на 1 Ь. Обратные операции — выбрасывание единицы и замена рядом стоящих элементов одной и той же группы их произведением — назовем сокрашением. Два слова будем считать эквивалентными, если возможен переход от одного к другому посредством конеяного числа удлинений и сокращений.

Все слова разбиваются на классы эквивалентных. Ясно, что эквивалентность сомножителей влечет эквивалентность их произведений. Это позволяет определить умножение классов эквивалентных слов. Умножение ассоциативно, роль единицы играет пустое слово (или слово, составленное из единицы, которая отождествлена с единицами всех групп). Для каждого класса существует обратный, так что классы эквивалентных слов образуют группу. Эта группа называется свободным произведением групп 6ь бм ..., 6,.

Слово называется несократимым, если в его составе нет единиц и нет соседних элементов из одной группы. Т е о р е м а. В каждом классе эквивалентнык слов имеется одно и только одно несократимое слово. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для построения из данного слова несократимого достаточно выкинуть единицы и умножить рядом стоящие элементы из одной группы. Остается доказать, что неравные несократимые слова не эквивалентны. Это мы докажем подобно доказательству аналогичного утверждения для свободной группы. Пусть А и  — различные несократимые слова, и пусть А = Аь, А|, ..., А„ь А =  — последовательность слов, в которых последующее получается из предыдущего посредством удлинения или сокращения. Переход от Аь к А, может быть только удлинением, переход от А, к А„= В может быть только сокращением.

Сумму длин слов Аь, А назовем полной высотой перехода. Пусть А; — слово наибольшей длины, Оно не может быть крайним, так что у него есть два соседних А;, и А;+. Переход от А|, к А; должен быть удлинением, от А| к А;+, — сокращением. Могут представиться следующие случаи. 1. При переходе от А; | к А| элемент Ь заменили на произведение Ь|Ь» элементов той же группы, а при переходе от А| к А;+| заменили Ь|Ь, на Ь. Ясно, что в этом случае А; | А;+|, А, можно исключить из перехода, а А| | и А|+, — «склеить». Полная высота перехода уменьшится.

2, При переходе от А;, к А, элемент Ь заменили на произведение Ь~ЬИ а при переходе от А, к А|+| соединили Ь| с предшествующим элементом а из той же группы. Это значит, что в слове А, | была последовательность букв аЬ и в слове А|+| вместо нее КОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВН ГРУППЫ % в1 появилась последовательность букв сЬ,, где с = аЬР Переход от А, 1 к АГЫ можно было сделать иначе — сперва сократить, соединив а и Ь, а потом удлинить, вставив вместо произведения аЬ равное ему произведение сЬЕ Промежуточное слово А', будет короче А~ иа 2, так что полная высота уменьшится.

Аналогично рассматривается случай, когда после замены Ь на Ь|Ь| элемент Ьу соединяется со следующим элементом, который должен принадлежать той же группе. 3. При переходе от А; 1 к А; заменили элемент Ь на произведение Ь|ЬН а при переходе от А, к А;+~ заменили с,с, на их произведение с в другом месте, не затрагивая элементов Ь1 и Ьь В этом случае для перехода от А; ~ к АГЫ можно было сперва заменить с1с, на с, а потом заменить Ь на Ь1ЬЕ Промежуточное слово А', короче слова А, на 2. Полная высота перехода тоже уменьшилась. Итак, при переходе от несократимого слова А к несократимому слову В всегда можно уменьшить полную высоту перехода. Мы получили противоречие, ибо безграничное уменьшение полной высоты невозможно. Таким образом, несократимые слова не могут быть эквивалентны и могут служить каноническими представителями классов, т. е.

удобной записью элементов свободного произведения групп. 2. Пример. Рассмотрим свободное произведение двух циклических групп второго порядка с образующими а и Ь. Несократимые слова состоят из чередующихся букв а и Ь. Положим аЬ = с. Тогда с-' = Ьа, с'" = аЬаЬ ... аЬ Ф 1, так что с порождает свободную циклическую группу.

Элементы а и с являются образующими, ибо Ь = ас. Далее, са = або = ас — '. Таким образом, свободное произведение двух циклических групп второго порядка изоморфно группе примера 2 предыдущего пункта. Эта группа имеет простую геометрпческую интерпретацию. Возьмем на плоскости две параллельные прямые х = 0 и х = с„ Обозначим через а отражение относительно первой прямой и через Ь вЂ” отражение относительно второй прямой.

Характеристики

Список файлов лекций