1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Для этого надо воспользоваться очевидным фактом, что пересечение любого множества нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа, затем рассмотреть множество всех нормальных подгрупп, содержащих 5, н взять их пересечение. Это н будет, очевидно, наименьшая из нормальных подгрупп, содержащих 5. Построенная нормальная подгруппа Н обладает тем свойством, что гомоморфизм группы 0 с ядром Н отображает все элементы из 5 в единицу.

Более того, гомоморфизм с ядром Н обладает следующим свойством универсальности: любой гомоморфный образ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 1ГЛ. Х 256 группы 6, в котором образами всех элементов из 5 является 1, есть гомоморфный образ группы 6/Н (т, е. образа группы 6 при гомоморфизме с ядром Н), Действительно, ядро Н~ гомоморфизма, при котором все элементы из 5 отображаются в 1, содержит 5, 5-' и, следовательно, Т, (/ и все произведения элементов из Н, т. е. всю нормальную подгруппу Н.

Следовательно, образ 6 при гомоморфизме с ядром Н, есть гомоморфпый образ группы 6/Н, в силу замечания об универсальности факторгруппы, которое было сделано в связи с теоремами 7 и 9. 8, Коммутаит группы. Выражение аба 'Ь ', где а и Ь вЂ” элементы группы 6, носит название коммутатора элементов а и Ь. Пусть аЬа-'Ь-' = г. Тогда аЬ = ЕЬа, так что коммутатор е играет роль как бы поправочного множителя прн перестановке элементов а и Ь.

Поэтому для того чтобы а и Ь были перестановочиы, необходимо и достаточно, чтобы их коммутатор был равен 1. Подмножество группы 6, состоящее нз всевозможных коммутаторов и их конечных произведений, носит название коамутантп группы 6. Так как элемент, обратный к коммутатору: (аЬа-'Ь-')-' = Ьаб-'а-' сам является коммутатором, коммутант есть подгруппа группы 6, порожденная множеством коммутаторов. Далее, элемент с-'(аЬа-'Ь-')с, сопряженный с коммутатором, есть тоже комму~втор.

Действительно, с-'(аЬа — 'Ь-')с= =(с-'ас) (с-'Ьс) (с-Гас)-'(с-'Ьс)-'. Поэтому коммутант есть нормальная группа группы 6. Его принято обозначать (6, 6). Факторгруппа группы 6 по коммутанту абелева. Действительно, все коммутаторы элементов группы 6 находятся в ядре естественного гомоморфизма группы 6 на факторгруппу по комму- танту и, следовательно, образы любых двух элементов группы 6 имеют единичный коммутатор, т. е. коммутнруют.

При любом гомоморфизме ~р группы 6 в абелеву группу образ является гомоморфным образом факторгруппы по коммутанту. Действительно, коммутаторы всех элементов 6 при гомоморфнзме ч~ отображаются в 1, т. е. принадлежат ядру гомоморфизма, которое, тем самым, содержит коммутант. В силу свойства универсальности факторгруппы отсюда следует, что образ группы 6 при гомоморфизме Гр есть гомоморфпый образ факторгруппы по коммутанту.

9. Центр группы. Центром группы 6 называется множество ее элементов, каждый из которых коммутируег со всеми элементами группы 6. Пусть а принадлежит центру н с — произвольный элемент группы 6. Тогда ас = са. Умножив это равенство слева и справа на а — ', получим са-' = а-'с, так что а — ' тоже принадлежит центру. Далее, если а н Ь принадлежат центру, то при произвольном с ее 6 аЬс =асЬ =саЬ, т. е. аЬ тоже принадлежит центру, Та- и»ямов пзонзведаннв ггзпп 25т ким образом, центр есть подгруппа группы 6.

Из равенства с-'ос = а при любом сан 6 следует, что центр является нормальной подгруппой группы 6. $ 4. Прямое произведение групп !. Внешнее прямое произведение. Пусть имеются две группы 61 и Оз. Рассмотрим их декартово произведение, т. е. множество пар ((хь хг)) х,ен Оь хаен Ог). Введем для них «покомпонентное» лы умножение: (хь хз)(уь уг) =(х1уь хауз).

Свойство ассоциативности, очевидно, имеет место, так как оно имеет место в компонентах. Элемент (1, 1) является единицей относительно введенного умножения. Для (хь х,) обратным будет, очевидно,(х, х;'). Таким образом, декартово произведение групп превращено в группу, которая называется внешним прямым произведением групп О~ и Ог и обозначается 6, Х Оь Выясним некоторые свойства внешнего прямого произведения. 1. Множество элементов вида (х, 1) есть нормальная подгруппа группы 6~ Х Ог, изоморфная группе Оь То, что элементы вида (хь 1) образуют подгруппу, очевидно.

Столь же очевиден ее изоморфизм с группой 61 в силу соответствия (хь 1) хь Подгруппу, образованную элементами вида (хь 1), обозначим Оь Из цепочки равенств (у „ у ) (х,, 1)(у,, у ) = (у, ', у-')(хо !)(Уп уг) = =(У~ х|уп Уз 1уг)=(у~ х1У1 1) следует, что 6, — нормальная подгруппа в 6|Х Оь 2. Множество элементов вида (1, хз) есть нормальная подгруппа группы О! Х 62, изоморфная 6» Это свойство ничем, кроме обозначений, не отличается от предыдущего.

Подгруппа, образованная элементами вида (1, хг), обозначается Оь 3. Элементы из подгрупп 6~ и Ог, соответственно, коммутируют при умножении. Действительно, (хь 1) (1, хг) = (хь хз) и (1, х,) (хь 1) = (хь х ). 4. 61 П 6, = 1. Очевидно. 5. 616г = 6~ Х Оь Действительно, любой элемент (хь хг) из 6, Х Оз равен (хь !) (1, хг). 2. Разложение группы в прямое произведение.

По большей части прямые произведения возникают при изучении конкретных классов групп. П р е д л о ж е н и е 1. Пусть в группе 6 имеютсч две нормальные подгруппы Н~ и Нг такие, что Н, ПНг= 1. Тогда элементы из Н, коммутируют с элементами из Нг. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !ГЛ Х Доказательство. Пусть х~ еН~ н х,ен Нг Рассмотрим нх коммутатор г = х,х,х, 'х-'.

При расстановке скобок г = =х,(х,х, 'х ) становится ясно, что ген Нь ибо первый множитель принадлежит Н~ по условию, а второй принадлежит Нь ибо х ~ Н н Н1 — нормальная подгруппа. Расстановка скобок г=(х,х.,х )хг из аналогичных рассуждений дает г~НЕ Но Н, н Не имеют единственный общий элемент — единицу. Следовательно, х,х,х, 'х, ' = 1 и Х1хз = хгхь Теорема 2. Пусть в группе б имеются две нормальн»яе подгруппы Н~ и Нг такие, что Н~ () Нг —— ! и Н1НЕ = 6. Тогда 6 изоморфна прямому произведению Н~ и Нь До к аз а тельство. Рассмотрим внешнее прямое произведение Н~ Х Нт и сопоставим каждой паре (хь х,) ен Н1Х Нт элемент х1х» группы 6. Это отображение гомоморфно. Действительно, произведению пар (хь хг) (уь ут) =(х,уь хгуг) сопоставляется элемент х~у1хгут е= б.

Но в силу предложения 1, у|хг = хтуь так что х1у~хтуг = к~лгу~уз = (х1хг) (у|у»), т. е. образ произведения пар равен произведению образов. Это отображение является отображением на всю группу 6, ибо О =Н,НЕ Оно взаимно однозначно, пбо если х»хг=у1уг при хь у~енН, и хь у,~НМ то у х, =у,х Левая часть приадлежит Нь правая Нь следовательно у х,= =у,х 1, ибо Н|ПНг= 1, и х1 — — уь хг=уь Таким образом, отображение (хь хг)- х|х, оказывается действительно изоморфизмом групп Н1 Х Нг и 6. В этой ситуации говорят, что 6 разлагается в прямое произведение нормальных подгрупп Н| н Нм и произведение Н,Н» в этом случае называют внутренним прямым произведением нормальных подгрупп Н~ и Нь Понятие прямого произведения естественно обобщается на произвольное конечное множество групп.

Именно, (внешним) прямым произведением групп бь Ом ..., 6» называется множество строк (хь хь ..., Х») при х~ ~ 6; с покомпонентным умножением: аа (ХЬ Хд ~ Х») (У~ У», ~ У») — (Х~УЬ Х»У» ° ° Х»»У») Легко видеть, что это множество есть группа с единицей (1, 1, ..., 1). Прямое произведение обозначается 61ХО,Х ...

° Х бм Имеют место следуюшие свойства. 1. Множество элементов вида (1, 1, ..., хь 1, ..., 1) образует нормальную подгруппу группы 6~ Х 6» Х .. Х бм изоморфную группе бь Обозначим ее б» 2. Произведение 616Т... 6» равно б~ Х ОУХ . Х бь 3. Элементы групп 6, и 6 ! при 1чь 1' коммутируют.

4, Пересечение каждой группы О~ с произведением всех остальных ОН 1~ Н состоит только из 1. ГРУППЫ ПРВОБРАЗОВАННЙ Внутреннее прямое произведение определяется аналогично разобранному выше случаю й = 2. Именно: Т е о р е м а 3. Пусть группа 6 и»сеет нормальньсе подгруппы Нс, Н», ..., Н» такие, что НсН» ... Н, 6 и при любом с пересечение подгруппы Н; с произведением Н, ... Нс сНс+с ... Н» состоит только из 1.

Тогда 6 изоморфна прямому произведению Нс Х ... Х Н». Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предложения 1 элементы из разных подгрупп Н; и Нс коммутируют. Сопоставим элементу (хс, хь, х») ы Нс Х Н» Х ... Х Н, элемент хсх» ... х». Это отображение гомоморфно: х,х, ... х»усу» ... у» — — хсусх»у»... х»у», ибо элементы х; и ус, при счь!', коммутируют. Оно эпиморфно,, ибо Н,Н, ... Н, = О. Оно мономорфно, ибо из равенства хс ... ...

хс сх;х;+с ... х» — — у, ... у; су;ус+с ... у» следует, в силу коммутирования элементов из разных Нс, что хсу,. ' =у,х, ' ... ... у,,х, ',у,,х;.', ... у»х '. Левая часть принадлежит Н, правая — произведению всех Нс при ! ~ с, Поэтому обе части равны 1 и х; = у„и это верно для всех с = 1, 2, ..., й, Итак рассматриваемое отображение есть изоморфизм. 3. Прямое прозведение факторгрупп. Пусть Нь Нм ..., ͻ— подгруппы групп Ос, Оп ..., 6». Внешнее прямое произведение Н, Х Н, Х...

Характеристики

Список файлов лекций