1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В этих предположениях функция ) имеет на интервале единственный корень с. Допустим, для определенности, что и (" положительны на интервале а с (а,Ь). Это значит, что ( возрастает х, х,Ь и выпуклость ее графика направлена вниз (рис. 17). Возьмем начальное приближение хз справа от корня (например, хо=Ь). Рис. П. Геометрически очевидно, что следующее приближение х! будет ближе к с чем хз и останется справа от с.
Подтвердим это вычислением: ( (хо) х, х,— —, !'(хд ' В силу возрастания ( заключаем, что ('(х,) ) О, но и )'(х,) ) О по условию, следовательно, к! ~ хо. Далее, х, — с (', "В 1 1" (с — ((с — ха)) ( ~(( > О " г' Э РАСПРГДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА [гл. Рх ибо с < с — 1(с — х») < хо, а )" положительна на всем интервале (а, Ь). Вычисляя далее последовательные приближения х», хм ..., мы по;!учим убывающую последовательность, ограниченную снизу Рес.
19. Рес. 18. числом с. Она сходится и, как мы видели выше, сходится к корню ), который на промежутке (а, Ь) только один, именно, с. Легко видеть, что если )' н )" отрицательны на промежутке (а, Ь), то начинать приближения тоже следует справа от корня (рнс. 18). Если же 1' и )" сохраняют на (а, Ь) противоположные знаки, то приближения следует начинать слева (рис.
19, 20). а х» х! Пример 1. Найти приближения к с Ь 1/2, т. е. к положительному корню полинома 1" = х' — 2. Здесь )'= 2х, 1Р = 2, так что /' и 1" положительны на (О, +ОО). В качестве начального приближения можно взять любое »исло, большее /2. В качестве ля можно взять 2,8, а М = 2.
Поэтому х» — ~/2 < (х» ! — т/2)'/2,8. В качестве хе возьмем 3/2. Погрешность х» не превосходит 0,1. Следующее приближение х! равно 17/12. Его погрешность не превосходит 0,01/2,8 — 0,003. Следуюшее приближение х» равно 577/408. Его погрешность не превосходит 0,003'/2,8 = 0,000003. Разложение в десятичную дробь дает 577/408 = 1,414215... вместо ~/2 = 1,414213 ... П р имер 2.
Уточнить значение корня полинома 1'= л~ — х — 1, зная, что 13 < х < 14, Здесь 1'= Зх» — 1) 5, 1" = бх < 8,4, М/2т ж 0,84 < 1. Начиная с приближения х,=!,4 с погрешностью меньше 0,1, мы придем к приближению х!, погрешность которого меньше 0,01, сле- зн ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕИ ПОЛИНОМА 241 дующее приближение хо будет иметь погрешность меньше 0,0001, следующее хо даст 8 верных десятичных знаков после запятой. Посмотрим, как уточняется приближение хо = 1,325 =53/40, по- грешность которого меньше 1/3000. Д.чя него х~ = 180877/136540 (в обыкновенных дробях).
Оно приближает корень с точностью до 1/9000000, т. е. с точностью до одной единицы седьмого знака после запятой. В десятичных дробях х~ = 1,3247180..., Метод Ныл~она может применяться н к системам уравнений. П р и м е р. Решить приближенно систему х' — у — 1=0, у' — х — 2 =О.
Построив графики, найдем приближенно координаты их точки пересечения при положительных х и у. Получим начальное приближение хо = 1,7, уо = 2. При этом приближении невязка в первом уравнении равна — 0,11, во втором 0,3. Положим х = 1,7+ Ь, у = 2 + Ь. После подстановки получим 3,4Ь+ Ьо — Ь вЂ” 0,11 = О, — Ь + 4Ь + Ь'+ 0,3 = О. Числа Ь и Ь малы. Отбросив их квадраты, получим линейную систему 3,4Ь вЂ” Ь вЂ” 0,11 О, — Ь+4Ь+0,3=0, откуда найдем приближенные значения для Ь и Ь, которые дадут следующее приближение (хь у~) к (х, у).
Именно, Ь = 0,015, Ь = = — 0,059, так что л|= 1,715, у| =-1,941. Невязкн этого приближения равны 0,000225 и 0,52481, значительно меньше невязок для хо уо. ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП $ !. Простейшие сведения 1. Об ассоциативности. Пусть М вЂ” множество, в котором определена бинарная операция, сопоставляющая каждой упорядочепион паре а, Ь элементов из М третий элемент — их «произведение» аЬ. Из упорядоченной тройки аЬс элементов из М можно построить два произведения (аЬ)с и а(Ьс), из четверки а, Ь, с, с( — уже пять: ((аЬ)с)д, (а(Ьс))д, (аЬ) (сд), о(Ь(сд)) н а((Ьс)д), из пятерки элементов — уже 14 и т. д. (Можно доказать, что число осмысленных расстановок скобок в упорядоченной совокупности из и элементов равно (2п — 2) 1/ (и! (и — 1) !).) Ассоциативность действия означает, что оба произведения (аЬ)с и а(Ьс) тройки элементов а, Ь, с равны.
П р е д л о ж е н и е 1. Если действие в М ассоциативно, т. е. М есть полугруппа, то произведение упорядоченной совокупности аь ам ..., а, элементов не зависит от способа расстановки скобок, т. е. от порядка выполнения бинирныл операций Д о к а з а т е л ь с т в о. Назовем произведение (... ((а1аг) а») аь.,), в котором сомножители присоединяются последовательно по одному слева направо, левонормированным. Докажем по индукции, что произведение с любой расстановкой скобок равно левонормировапному.
Для и = 3 это верно в силу ассоциативности. Пусть и > 3 и уже установлена справедливость предложения для произведений из пг элементов при п~ ( и — 1. Рассмотрим произведение и элементов а1аг ... а„ с какой-то расстановкой скобок (мы ее пе пытаемся записать). Так как действие бьшарно, это произведение равно произведению двух произведений а~аз... а» и а»+, , а„, г какнми-то расстановками скобок. В силу индуктивного предположения оба этп сомножителя равны левонормированным произведениям.
Если й = и — 1, то рассматриваемое произведение равно [а1аг ... а„ и) а„ и получается пз,чевопормнровапного произведения а~а» ... а, ~ присоединением'справа еше одного сомножителя а,ь так что оно само левонормированпо. Если же Ь : и — 1, то (а,аг ... а,)(а»~, ... а„)=(а,а, ...
ак) ((акы ... а„~)а„) и, в силу ассоциативности, равно ((а|аг ... а») (а»+~ ... а„1))а.. В силу индуктивного предположения (а|а» ... ак) (а»м ... а. ~) равно левонормированному произведению а1аа ... а ь и после %и пеоствишив свкпвння присоединения а получается снова левонормированное произве- дение. Предложение доказано. Доказанное предложение дает возможность при записи «длин- ных» произведений в полугруппе не расставлять скобок, указываю- щих порядок выполнении бинарной операции. В частности, произведение и равных сомножителей не зависит от способа расстановки скобок, так что имеет определенный смысл выражение а" (илн па при аддитивной записи) н а'" аь = а'"+». 2. Аксиомы группы. В первой главе мы определили группу как полугруппу (т.
е. множество с бинарным ассоциативным дейст- вием), в которой существует нейтральный элемент е — такой, что ае =- еа = а при любом а, и для любого а существует обратный элемент а-' — такой, что а-'а = аа-' = е. Убедимся в том, что эти аксиомы группы можно несколько ослабить. П р е дл о ж е н не 2. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент е, т. е. такой, что еа а при любом а, и для любого элемента а существует левый обратный а', т. е.
такой, что а'а = е, то полугруппа является группой. Именно зти требования были приняты в классической аксиома- тике теории групп, Доказательство. Докажем, что левый нейтральный эле- мент е является и правым нейгральным, т. е. ае = а при любом а. С этой целью рассмотрим произведение а"а'аа'а, где а' — левый обратный для а, а" — левый обратный для а', и подсчитаем его двумя способами. Во-первых, а"а'аа'а = ((а"а)) а) (а'а) = (еа) е = ае.
Во-вторых, а"а'аа'а а" ((а'а) а')а а" (еа') а а"а'а =- =(а"а')а =еа=а. Итак, ае а при любом а. Теперь докажем, что левый обратный а' элемента а является и правым обратным для а, т. е. аа' = е. С этой целью рассмотрим элемент а"а'аа'. Во первых, а"а аа' = ((а"а )а)а' =(еа)а'= аа'. Во-вторых, а"а'аа' а" ((а'а) а') = а" (еа') = а"а' = е. Итак, аа' = е, т.
е. а' есть правый обратный для а. В далькейшем в мультнпликативной записи вместо а' будем писать а '. Предложение 3. Если в полугруппе имеется левый ней- тральный элемент е и правый нейтральный элемент е', то они сов- падают. Действительно, ее' = е', так как е — левый нейтральный эле- мент и ее' = е, так как е' — правый нейтральный элемент. Отсюда следует, что в условиях предложения 3 полугруппа со- держит только один левый нейтральный элемент, ибо любой левый нейтральный элемент равен выбранному правому нейтральному элементу е' и, по аналогичной причине, в этих условиях полугруппа содержит единственный правый нейтральный элемент.
В част- ности, в группе существует только один нейтральный элемент. При ЗЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Х использовании мультнпликатнвной записи нейтральный элемент группы будем называть единицей группы и обозначать 1. Предложение 4. В группе уравнение ах = Ь при данных а и Ь имеет единственное решение х = а-'Ь. Уравнение уа = Ь имеет единственное решение у = Ьа-'. Действительно, положим х = а-'Ь; тогда ах = а(а-'Ь) = Ь.
Обратно, если ах= Ь, то а-'ах=а-'Ь и х а — 'Ь. Этим доказано существование н единственность решения уравнения ах=-Ь. Уравнение уа =Ь рассматривается аналогично. Из предложения 4 непосредственно следует единственность обратного элемента для любого элемента группы. 1'руппа (полугруппа) называется конечной, если она состоит нз конечного числа элементов.
Число элементов конечной группы (полугруппы) называется ее порядком. Приведем несколько примеров групп сверх тех примеров, которые приводились в $3 гл. 1. Невырожденные квадратные матрацы с вещественными элементами, очевидно, образуют группу относительно умножения. Эта группа неабелева н бесконечная. Незырожденные матрицы с элементами из конечного поля тоже образуют неабелеву группу, но эта группа конечна. Выяснение ее порядка является не очень простой задачей. Множество всех подстановок п элементов образует конечную неабелеву (при и ) 2) группу порядка и!. Эта группа называется симметрической группой. 3. Умножение подмножеств группы.
Пусть 6 — группа, А и В— два подмножества ее элементов. Произведением АВ этих подмножеств называется множество произведений аЬ, где а Р:- А, Ь ее В. Ясно, что имеет место свойство ассоциативности (АВ) С = А(ВС), ибо оба эти произведения составлены из элементов аЬс = (аЬ)с = а (Ьс), а ~ А, Ь вй В, с ен С. Если одно из подмножеств состоит из одного элемента, например В = (Ь), то произведение АВ обозначается АЬ, т. е. в этом контексте нет необходимости отличать элемент от составленного нз него одноэлементного множества. Введем еще одно обозначение. Через А-' обозначим множество всех элементов, обратных к элементам множества А. Заметим, что А-' отнюдь не является обратным к А в смысле умножения подмножеств группы.
4. Подгруппы. Подмножество Н элементов группы б называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в 6. Из этого определения следует, что если а, Ь ев Н, то аЬ ~ Н. Ясно, далее, что единица Н является единицей б, ибо если еа=-а, е,аев Н, то е= па-' = 1~ б. Таким образом, единица группы б принадлежит любой ее подгруппе. Ясно также, в силу единственности обратного элемента в группе, что обратный элемент для любого элемента подгруппы будет для него обратным и во всей группе.
245 пеостелн1ие сведения зп П р е д л о ж е н и е 5. Если подмножество Н элементов группы 6 содержит вместе с двумя элементами а, Ь их произведение аЬ и вместе с каждым элементом а его обратный а-', то Н есть подгруппа 6. Действительно, надо лишь показать, что Н обладает единицей, Но единица 6 равна аа-' при а еи Н и, следовательно, принадлежит Н согласно условиям предложения. 5. Классы смежности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
