1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (827005), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

ней двух полиномов говорят, что корни разделяются. Из сказанного ясно также, что корни всех полиномов рь р,, ... вещественны и корни соседних полиномов разделяются. Интересно заметить, что установленная связь между свойствами ряда Штурма для пары полиномов и тем, что их корпи вещественны н разделяются, обратима. Именно, если имеются два поли- нома 1о и )4 степеней и и и — 1 соответственно, с положительными старшими коэффициентами и с вещественными разделяющимися корнями, то алгорифм Евклида для построения ряда Штурма проходит без вырождения, так что все неполные частные имеют первую степень и старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны. Действительно, пусть х), х», ..., х„— корни полинома )о, а К), ..., $„) — корни полпнома 1), причем Х! ( Б) ( Хо ( ° ° ° ( Хо-) ( $п-) ( Хо.

Для полинома Ц) степени 2и — 1 числа хь Ь, хь ..., $„), хо будут корнями, причем простыми, ибо их число равно степени поли- нома. Поэтому )о)1 меняет знак каждый раз, когда х проходит через эти корни. При достаточно больших по модулю отрицательных значениях х полипом Я) принимает отрицательные значения. Поэтому первая перемена знака, когда х проходит через хь будет . с минуса на плюс. Следующая, прн переходе через $ь будет с плюса на минус и т.

д. Таким образом, при переходе через все корни х), ..., Х„полинома 1о полинам Я1 меняет знак с минуса на плюс, так что все корни )о имеют первый тип по отногпеншо к )"ь Следовательно, разность числа перемен знаков в значениях ряда (ГЛ. 1Х РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА 232 Штурма, построенного исходя из (и и (! при помощи алгорнфма Евклида, при — со и +со равна и, 1!то возможно только в случае, если алгорифм проходит без вырождения н старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны. 4.

Число корней полинома в полуплоскости. В теории дифференциальных уравнений и в ее приложениях важную роль играет распределение корней полинома в левой и правой полуплоскостях плоскости комплексной переменной г. Технически удобнее исследовать этот вопрос для верхней и нижней полуплоскости; первая задача сводится ко второй посредством замены г = 1а. Пусть ((г)= аиг" +(а, + Ь11)г" — '+ ... + а„+ Ь„1 — полипом с вещественными а; и Ьь аи ) О. Положим д(х)=а,х" + а,х"-'+ ... +а„и й(х)= Ь1х"-'+ ... +Ь„ Будем считать, что )(г) не имеет вещественных корней. Это равносильно тому, что д(х) и й(х) не имеют общих вещественных корней, так что если они не взаимно просты, то их наибольший общий делитель не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знак при изменении х по всей вещественной оси. Пусть х двигается по всей вещественной оси от — со к +со, Тогда 1(х)=й(х)+16(х) будет описывать некоторую непрерывную линию на плоскости, не проходящую через начало координат.

Л (х) При х- +со и х — « — со 1дагй~(х)= — О, так что аргумент л (к) 1(х) при х — «+ос и х-«- — со стремится к целому кратному и, н приращение аргумента ((х) при прохождении х по всех вещественной оси равно целому кратному и. Это значит, что линия, по которой перемешаегся )(х), совершает целое число полуоборотов вокруг начала координат. Разложим ((х) на линейные множители иад,С1 ((х) = аО(х — г1) (х г2) (х — г„).

Рис. )5. Все г; лежат или выше, или ниже вещественной оси. Ясно, что 22 агй(х — г;) = Π— ( — п)=п, если г; выше вещественной оси, и !2агй(х — г;) =Π— и = — и, если г; ниже вещественной оси (см. рнс. 15). Следовательно, Л агц((х) = п(п! — п2), где и! — число корней 1(г) в верхней полуплоскости, п2 — в нижней (с учетом кратностей).

Число полуоборотов — бага~ (х) можно подсчитать при по! и мощи следующих геометрически наглядных соображений. Кривая, по которой перемещается )'(х), при каждом полуобороте должна пересекать ось ординат. Это будет происходить кагкдый раз, когда ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ШТУРМА 233 л проходит через корень нечетной кратности полинома д(х). Линия, изображающая 1'(х), может пересекать ось ординат в положительном направлении, переходя из первой четверти во вторую нли из третьей в четвертую, или в отрицательном направлении (из второй четверти в первую или из четвертой в третью; рис. 1б). Интуитивно ясно, что число полуоборотов вокруг начала равно разности числа положительных пересечений линии 1(х) с осью ординат и числа отрицательных пересечений (в предположении, что число полуоборотов в отрицательном направлении считается отрицательным числом).

Более подробно это можно пояснить еле- + дующим образом. С вектором из начала координат в 1(х) свяжем вектор единичной длины того же направления, его конец будет перемешаться по единичной окружности. Приращение аргумента 1(х), разумеется, равно приращению аргумента соответствующего единичного вектора, Ясно, что если единичный вектор проходит некоторую дугу окружности и затем возвращается обратно, то та- Рис. 16, кое перемещение можно исключить без изменения суммарного приращения аргумента. Пометим последовательные пересечения точкой 1(х) оси ординат последовательностью знаков + и †, в соответствии с направлением этого пересечения. Пусть в получившейся записи окажутся рядом + и †. Это значит, что 1(х) перешел из первой четверти во вторую (нли из третьей в четвертую) н возвратился из второй четверти в первую (соответственно, из четвертой в третью), ибо попасть в противоположную четверть, не пересекая оси ординат, 1(х) не может.

Соответствующий единичный вектор тоже идет вспять, и часть пути, содержащую обе точки пересечения, можно исключить. Аналогично можно исключить последовательность — +. После таких преобразований мы придем к движению, в котором все пересечения имеют один и тот же знак, и их число (с учетом знаков) равно разности числа положительных н числа отрицательных пересечений. Но если все пересечения имеют одинановое направление, то их число, очевидно, равно числу полуоборотов в том же направлении. Если имеет место при х = хи положительное пересечение линии ((х) с осью ординат, то либо 6(хи) = О и п(х) меняет знак с плюса на минус, либо Й(хи) ( О и е'(х) меняет знак с минуса на плюс. В обоих случаях д(х)6(х) меняет знак с минуса на плюс, т.

е. хи является корнем я(х) второго типа. Соответственно, если при х хи имеет место отрицательное пересечение, то хи является корнем д(х) первого типа относительно 6(х). Сопоставляя все сказанное, получим, что разность п~ — пи числа корней 1(х) в верхней н нижней полуплоскостях равно.

взятому со З34 наспгвдклвние когнвн полнномл <гл <х знаком минус индексу полинома п(х) относительно И(х) на всей прямой ( — оо, +оо). Определить индекс можно при помощи ряда Штурма, составленного посредством алгорифма Евклида. Если окажется, что д и И ие взаимно просты, то аа последний полином ряда следует взять наибольший общий делитель д и И, который не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знака при — оо ( х (+оо, Пример 1.

п(х) =пах" +ах"-'+ ... + а„~ Р[х[, ао) О, и д(х) не имеет кратных корней. Рассмотрим полином 1(г) = =<г(х)+ йд'(г), где Х вЂ” вещественный параметр, и вь<яснил«расположение его корней. Пусть и имеет з вещественных корней и 1 пар сопряженных комплексных, так что з+ 21 = и. Пусть Х ) О. Ясно, что индекс д(х) относительно Хп'(х) такой же, как относительно д'(х). Все вещественные корни д(х) являются корнями первого типа относительно и'(х), так что индекс д относительно д' равен з.

Следовательно, и< — пз = — з, где и< и пэ — число коРней полинома 1(г) в верхней н нижней плоскости. Вместе с и< + пз = и = з + 2< это дает и< =1 и пз а+ й При Х( О получим и< = э+1 и и<= К При непрерывном изменении )«корни 1(г) меняются непрерывно, и их пути не пересекают вещественную ось при Х че О, поэтому опн только при переходе Х через О могут переходить из верхней полуплоскости в нижнюю и обратно. При этом 1 корней д(г) (т.

е. корни 1(х) при Х О), лежащих в верхней полуплоскости, при изменении ). будут оставаться в верхней полуплоскостн, 1 корней, лежащих в нижней полуплоскости, останутся в нижней. Что касается з вещественных корней д(х), то при Х ) О они опустятся вниз, а при Х ( О поднимутся вверх. Пример 2. Узнать, сколько корней в левой полуплоскости имеет полипом 1'(г) = г'+ 2гз+ 4г+ 2. Сделав замену х= (и и умножив на — <, придем к полиному «р(и) = из — 2<из — 4и + 2< = и' — 4и+ < ( — 2и'+ 2), который имеет в верхней полуплоскости столько же корней, сколько 1(г) имеет в левой полуплоскости.

Применяя алгорнфм Евклида к из — 4и и — 2из+ 2, построим для них ряд Штурма: и' — 4и, — из+ 1, и, — 1, Получаем, что индекс и' — 4и относительно — 2и'+ 2 на промех«утке ( — оо, +со) равен — 3. Значит, все три корня полинома Ч<(и) лежат в верхней полуплоскости и, следовательно, все корни 1(а) находятся в левой полуплоскости. $ 5. Приближенное вычисление корней полинома 1.

Характеристики

Список файлов лекций